數(shù)學(xué)物理方法-14.4 分離變量法-非齊次方程

分離變量法4

非齊次定解問題的求解齊次和非齊次的概念常微分方程中所用的術(shù)語，如方程的解、階、線性與非線性、齊次與非齊次等，均可沿用于偏微分方程中。偏微分方程中非齊次有哪些？方程是非齊次，如強(qiáng)迫振動、有熱源的熱傳導(dǎo)問題、有源擴(kuò)散問題。邊界條件是非齊次，不為0的邊界值。初始條件一般不提齊次或非齊次稱為：0初始條件，非0初始條件非齊次問題求解以齊次問題的求解方法為基礎(chǔ)。有界弦的強(qiáng)迫振動問題齊次邊界條件與零初始條件的強(qiáng)迫振動問題，即一根弦在兩端固定、初始無偏移的情況下，受外力作用所產(chǎn)生的振動方程是非齊次非齊次方程的求解根據(jù)物理規(guī)律，外力只影響振動的振幅，而不改變振動的頻率；因此，我們可以采用類似于線性非齊次常微分方程所用的“參數(shù)變易法”的形式，通過齊次方程的解來構(gòu)造非齊次方程的解；并保持如下的設(shè)想：這個定解問題的解可分解為無窮多個駐波的疊加，而每個駐波的波形（一般為三角函數(shù)）仍然是由該振動體的相應(yīng)的齊次方程的固有函數(shù)所決定。非齊次方程的求解與泛定方程相應(yīng)的齊次方程的固有函數(shù)系為兩端固定的弦的自由振動解為類似于常數(shù)變易法，假設(shè)本問題的解具有如下形式：式中，是t的待定函數(shù)。1、邊界條件自動滿足2、要滿足初始條件，則3、代入泛定方程，？一個方程，無數(shù)個un，如何確定？Fourier級數(shù)非齊次方程的求解將方程中的自由項也按上述固有函數(shù)系展開成傅里葉級數(shù)，式中時間函數(shù)un(t)方程的推導(dǎo)過程合并sin的各項系數(shù)，令為0非齊次方程的求解于是得常微分方程的初值問題：由對應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系為和，應(yīng)用常數(shù)變易法，假設(shè)非齊次方程的求解非齊次方程的求解非齊次方程的求解原定解問題的解為這種方法實(shí)質(zhì)上是將方程的自由項及解都按照相應(yīng)的齊次方程固有函數(shù)系展開，因此這種方法也稱為固有函數(shù)法。需要注意的是，隨著邊界的變化，固有函數(shù)也會變化。un(t)Xn(x)算例：幾個點(diǎn)的振動x=l/2x=l/3x=l/4幾個時間點(diǎn)的弦的位移10s0s2s1s3s立體圖txu弦的強(qiáng)迫振動：任意初始條件帶有初始形變的強(qiáng)迫振動問題1、邊界條件自動滿足2、要滿足初始條件，則3、代入泛定方程弦的強(qiáng)迫振動：任意初始條件弦的強(qiáng)迫振動：任意初始條件帶有初始形變的強(qiáng)迫振動問題此時弦的振動是由兩部分干擾引起的，其一是外部的強(qiáng)迫力，其二是弦的初始形變所產(chǎn)生的回復(fù)力。由物理規(guī)律可知，這種情形的振動可以看作是僅由強(qiáng)迫力引起的振動和僅由初始狀態(tài)引起的振動的合成。弦的強(qiáng)迫振動：任意初始條件設(shè)本問題的解為式中表示僅由強(qiáng)迫力引起的弦的振動的位移，它滿足弦的強(qiáng)迫振動：任意初始條件而則表示