第九章第五節(jié)常系數(shù)線性方程

第九章第五節(jié)常系數(shù)線性方程第1頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月二階常系數(shù)齊次線性微分方程:和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當(dāng)時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關(guān)的特解:因此方程的通解為(r為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月2.當(dāng)時,特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設(shè)另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,則得因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月3.當(dāng)時,特征方程有一對共軛復(fù)根這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:利用解的疊加原理,得原方程的線性無關(guān)特解:因此原方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié):特征方程:實根特征根通解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月若特征方程含k重復(fù)根若特征方程含k重實根r,則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項特征方程:推廣:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解為例2.求解初值問題解:特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.解:位移應(yīng)滿足自由振動方程,質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運動,初始求物體的運動規(guī)律立坐標(biāo)系如圖,設(shè)t=0時物體的位置為取其平衡位置為原點建因此定解問題為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1)無阻尼自由振動情況(

n=0)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月解的特征:簡諧振動A:振幅,

:初相,周期:固有頻率機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(僅由系統(tǒng)特性確定)第10頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k這時需分如下三種情況進行討論:2)有阻尼自由振動情況大阻尼:n>k臨界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(n<k)小阻尼自由振動解的特征:由初始條件確定任意常數(shù)后變形運動周期:振幅:衰減很快,隨時間t的增大物體趨于平衡位置.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(n>k)大阻尼解的特征:1)無振蕩現(xiàn)象;此圖參數(shù):2)對任何初始條件即隨時間t的增大物體總趨于平衡位置.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(n=k)臨界阻尼解的特征:任意常數(shù)由初始條件定,最多只與t軸交于一點;即隨時間t的增大物體總趨于平衡位置.2)無振蕩現(xiàn)象;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月求方程的通解.解:通解為通解為通解為第九節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例4.第15頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.為特解的4階常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解.解:根據(jù)給定的特解知特征方程有根:因此特征方程為即故所求方程為其通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月線性常系數(shù)非齊次微分方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、二、第17頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月一、

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m次多項式.Q(x)為m次待定系數(shù)多項式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)若是特征方程的單根,為m次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,是m次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時,可設(shè)特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.的一個特解.解:本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月于是所求解為解得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第一步利用歐拉公式將f(x)變形機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的k

重根(

k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為m次多項式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月第四步分析因均為m次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第29頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例9.

的一個特解.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第31頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例10.

的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第32頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例11.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例12.求物體的運動規(guī)律.解:問題歸結(jié)為求解無阻尼強迫振動方程當(dāng)p

≠k時,齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為例3中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第34頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k時,自由振動強迫振動

當(dāng)

p

=k時,非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第35頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p與k盡量靠近,或使隨著t的增大,強迫振動的振幅這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p遠離固有頻率k;p

=k.自由振動強迫振動對機械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機的調(diào)頻放大即是利用共振原理.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束4.對于一般的f(x)，設(shè)解為用常數(shù)變易法.第37頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例13.

求微分方程的通解(其中為實數(shù)).解:特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第38頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月例14.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第39頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023年2月機動目錄上頁下頁返回結(jié)束歐拉方程常系數(shù)線性微分方程第40頁，課件共43頁，創(chuàng)作于2023