第6講矩陣的初等變換與初等矩陣

第六講矩陣的初等變換與初等矩陣§3.1

矩陣的初等變換§3.2

初等矩陣第一節(jié)矩陣的初等變換

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬椒浅Ｖ匾淖饔?。引例：用消元法解下面的線性方程組

在上述過程中，對線性方程組的消元操作實(shí)際上就是對整個線性方程組進(jìn)行了三種操作:(1)對某一方程兩邊同時乘以不為零的常數(shù)；(2)交換方程組中兩個方程的位置；(3)給某一方程乘以常數(shù)k加到另一個方程上去。上述的三種操作又都是可逆的，因而變換前的方程組與變換后的方程組是同解方程組。同時還看到，上述變換過程中實(shí)際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，這就相當(dāng)于是對該方程組所對應(yīng)的增廣矩陣進(jìn)行了：(1)給某一行所有元素都乘以一個非零常數(shù)；(2)交換兩行元素的位置；(3)給某一行所有元素乘常數(shù)k加到另一行的對應(yīng)元素上去。把定義中和“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號是把“r”換成“c”）。矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。定義：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：1)交換兩行(記為ri?rj);2)以數(shù)k

0乘某一行所有元素（記作rj×k）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去（記作ri+krj）顯然，三種初等變換都是可逆的，且其變換是同一類型的初等變換。變換ri?rj的逆變換就是本身；變換rj×k的逆變換為rj×(1/k)；變換ri+krj的逆變換為ri+(－krj)

。如果A經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊，稱矩陣A與B是等價的，記為A～B。矩陣的等價關(guān)系有如下性質(zhì)：反身性：A～A

對稱性：A～B，則B～A傳遞性：A～B，B～C，則A～C

在數(shù)學(xué)上，我們把滿足上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱之為等價。由前面的引例可以看出，同時也不難證明對矩陣進(jìn)行行的初等變換，可以把矩陣化為行階梯矩陣，進(jìn)而可以化為行最簡矩陣。對行最簡矩陣再施以列的初等變換，行最簡矩陣可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱它為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的特點(diǎn)是：其左上角是一單位矩陣，其余元素全是零?？梢宰C明，任何一個m×n階矩陣A，都可以經(jīng)過初等變化化為標(biāo)準(zhǔn)形F。此標(biāo)準(zhǔn)形由m、n、r三個數(shù)完全確定，其中r就是行階梯矩陣中非零行的行數(shù)，所有與A等價的矩陣組成了一個集合，這個集合稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個等價類中形狀最簡單的矩陣。例1.用初等行變換化矩陣為行階梯形矩陣.例2.用初等行變換把矩陣化成行最簡形矩陣。第二節(jié)初等矩陣定義：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換所對應(yīng)的三個初等矩陣為設(shè)矩陣Am×n，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k))，En(i(k))，Em(ij(k))，En(ij(k))，則可以驗(yàn)證：定理1.設(shè)A是一個m×n階矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于對A左乘以相應(yīng)的m