高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布7.3.2離散型隨機變量的方差訓(xùn)練提升新人教版選修3

7.3.2離散型隨機變量的方差課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有A和A,且P(A)=m,定義隨機變量X=1,A發(fā)生,0,A不發(fā)生,則DA.m B.2m(1-m)C.m(m-1) D.m(1-m)答案:D解析:隨機變量X的分布列為X01P1-mm因此E(X)=0×(1-m)+1×m=m,故D(X)=(0-m)2×(1-m)+(1-m)2×m=m(1-m).2.已知隨機變量X滿足P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.7,則E(X)和D(X)的值分別為()A.0.6和0.7 B.1.7和0.09C.0.3和0.7 D.1.7和0.21答案:D解析:由題意得E(X)=1×0.3+2×0.7=1.7,D(X)=(1-1.7)2×0.3+(2-1.7)2×0.7=0.21.3.如果X是離散型隨機變量,E(X)=6,D(X)=0.5,X1=2X-5,那么E(X1)和D(X1)分別是()A.E(X1)=12,D(X1)=1B.E(X1)=7,D(X1)=1C.E(X1)=12,D(X1)=2D.E(X1)=7,D(X1)=2答案:D解析:由題意得E(X1)=2E(X)-5=12-5=7,D(X1)=4D(X)=4×0.5=2.4.(多選題)下列說法中錯誤的是()A.離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值B.離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平C.離散型隨機變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平D.離散型隨機變量X的方差D(X)反映了X取值的概率的平均值答案:ABD解析:E(X)反映了X取值的平均水平,D(X)反映了X取值的離散程度.5.已知隨機變量X的分布列如下:XmnP1a若E(X)=2,則D(X)的最小值等于()A.12 B.2 C.1 D.答案:D解析:由題意得a=1-13所以E(X)=13m+23n=2,即m+2n=又D(X)=13×(m-2)2+23×(n-2)2=2(n-2)2,所以當n=2時,D(X)取最小值為6.設(shè)隨機變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(X)=,D(X)=.

答案:28解析:隨機變量X,Y滿足Y=2X+b(b為非零常數(shù)),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,則E(Y)=2E(X)+b=4+b,即E(X)=2.∵D(Y)=4D(X)=32,∴D(X)=8.7.隨機變量X的分布列如下,其中a,b,c成等差數(shù)列.若E(X)=53,則D(X)的值為.X123Pabc答案:5解析:因為a,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b.又因為a+b+c=1,所以b=13又因為E(X)=a+2b+3c=53,所以a=12,b=13,c=16X123P111所以D(X)=1-532×12+2-532×8.已知隨機變量X的分布列為X01xP11p若E(X)=23(1)求D(X)的值;(2)若Y=3X-2,求D(Y)的值.解由12+13+p=1,又E(X)=0×12+1×13+16x=2(1)D(X)=0-232×12+1-232×(2)因為Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5.9.在一輪投籃練習(xí)中,每名選手最多可投籃4次,現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí),否則一直試投到4次為止.已知一選手的投籃命中率為0.7,求一輪練習(xí)中該選手的實際投籃次數(shù)X的分布列,并求X的期望與方差.(結(jié)果精確到0.01)解X的可能取值為1,2,3,4.X=1表示第一次即投中,則P(X=1)=0.7;X=2表示第一次未投中,第二次投中,則P(X=2)=(1-0.7)×0.7=0.21;X=3表示第一、二次未投中,第三次投中,則P(X=3)=(1-0.7)2×0.7=0.063;X=4表示前三次未投中,則P(X=4)=(1-0.7)3=0.027.因此X的分布列為X1234P0.70.210.0630.027E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.417≈1.42.D(X)=(1-1.417)2×0.7+(2-1.417)2×0.21+(3-1.417)2×0.063+(4-1.417)2×0.027≈0.53.能力提升1.設(shè)10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,隨機變量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均為0.2,隨機變量X2取值x1+x22,x2+x32,x3+x42,x4+x52,A.D(X1)>D(X2) B.D(X1)=D(X2)C.D(X1)<D(X2) D.D(X1)與D(X2)的大小關(guān)系與x1,x2,x3,x4的取值有關(guān)答案:A解析:由題意可知E(X1)=E(X2),又因為10≤x1<x1+x22<x2<x2+x32<x3<x3+x所以X1的波動性較大,從而有D(X1)>D(X2).2.若X是離散型隨機變量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且x1<x2,若E(X)=43,D(X)=29,則x1+x2A.53 B.73 C.3 D答案:C解析:∵E(X)=23x1+13x2=∴x2=4-2x1,D(X)=x1-432×23+∵x1<x2,∴x1=1,x2=2,∴3.已知A1,A2為兩所高校舉行的考試,某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為12,該同學(xué)一旦通過某所高校的考試,就不再參加其他高校的考試,設(shè)該同學(xué)通過高校的個數(shù)為隨機變量X,則D(X)=(A.316 B.5C.2564 D.答案:A解析:因為X的取值為0,1,P(X=0)=1-12×1-12=14,P(X=1)所以E(X)=0×14+1×34=34,D(X)=0-342故選A.4.設(shè)a,b∈0,12,隨機變量X的分布列如表所示,則X02a1Pa1bA.E(X)增大,D(X)增大B.E(X)增大,D(X)減小C.E(X)為定值,D(X)先增大后減小D.E(X)為定值,D(X)先減小后增大答案:D解析:由題意可得a+b+12=1,所以b=12E(X)=0×a+2a×12+1×b=a+12-a=D(X)=0-122×a+2a-122×12+1-12因為a∈0,12,所以當a∈0,14時,D(X)單調(diào)遞減,當a∈14,12時,D5.根據(jù)以往的經(jīng)驗,某工程施工期間的降水量X(單位:mm)對工期的影響如下表所示.降水量XX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工期延誤天數(shù)Y02610若歷史氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300mm,700mm,900mm的概率分別為0.3,0.7,0.9,則工期延誤天數(shù)Y的方差為.

答案:9.8解析:由已知可得,P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以隨機變量Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3,D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延誤天數(shù)Y的方差為9.8.6.最近,李師傅一家三口就如何將手中的10萬元錢進行投資理財,提出了三種方案.方案一:李師傅的兒子認為:根據(jù)股市收益大的特點,應(yīng)該將10萬元全部用來買股票.據(jù)分析預(yù)測:投資股市一年后可以獲利40%,也可能虧損20%(假設(shè)只有這兩種可能),且獲利的概率為12方案二:李師傅認為:現(xiàn)在股市風險大,基金風險較小,應(yīng)將10萬元全部用來買基金.據(jù)分析預(yù)測:投資基金一年后可能獲利20%,可能損失10%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35方案三:李師傅的妻子認為:投資股市、基金均有風險,應(yīng)該將10萬元全部存入銀行一年,現(xiàn)在存款年利率為3%.針對以上三種投資方案,請你為李師傅家選擇一種合理的理財方案,并說明理由.解若按方案一執(zhí)行,設(shè)收益為X萬元,則其分布列為X4-2P11X的數(shù)學(xué)期望E(X)=4×12+(-2)×12=若按方案二執(zhí)行,設(shè)收益為Y萬元,則其分布列為Y20-1P311Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=2×35+0×15+(-1)×15若按方案三執(zhí)行,收益y=10×3%=0.3,因此E(X)=E(Y)>y.又D(X)=(4-1)2×12+(-2-1)2×12=9,D(Y)=(2-1)2×35+(0-1)2×15+(-1-1)由以上可知D(X)>D(Y).這說明雖然方案一、二收益均相等,但方案二更穩(wěn)妥.所以建議李師傅家選擇方案二投資較為合理.7.投資A,B兩個項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.根據(jù)市場分析,X1和X2的分布列分別為投資A項目的利潤率分布列X15%10%P0.80.2投資B項目的利潤率分布列X22%8%12%P0.20.50.3(1)若在A,B兩個項目上各投資100萬元,Y1(單位:萬元)和Y2(單位:萬元)分別表示投資項目A和B所獲得的利潤,求方差D(Y1),D(Y2);(2)將x(0≤x≤100)萬元投資A項目,(100-x)萬元投資B項目,f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和.求f(x)的最小值,并指出當x為何值時,f(x)取得最小值.解(1)由題意知,Y1和Y2的分布列分別為Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E