初中數(shù)學(xué)函數(shù)總結(jié)

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及常見(jiàn)題型總結(jié)函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中考中分值大約有20~25分，一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)都會(huì)考查，其中一次函數(shù)和反比例函數(shù)分值共約占其中的50%，二次函數(shù)約占另一半。函數(shù)的題型以下歸納總結(jié)了11種，當(dāng)然這并不包括所有可能出現(xiàn)的情況，僅僅只是較為常見(jiàn)的。函數(shù)有時(shí)是以下題型組合起來(lái)構(gòu)成的較為復(fù)雜的題型，因此，我們必須掌握住以下題型才能尋求突破。換句話說(shuō)，我們掌握住以下題型，復(fù)雜的題型分解開(kāi)來(lái)，我們也能各個(gè)突破，最終解決掉。一、核心知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、函數(shù)的表達(dá)式1）一次函數(shù)：y=kx+b(是常數(shù)，)2）反比例函數(shù)：函數(shù)（是常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)。注意：3）二次函數(shù)：，2、點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)的關(guān)系1）點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開(kāi)。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)時(shí)，和是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。2）點(diǎn)的坐標(biāo)：從點(diǎn)向x軸和y軸引垂線，橫縱坐標(biāo)的絕對(duì)值對(duì)應(yīng)相對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度。3）若某一點(diǎn)在某一函數(shù)圖像上，則該點(diǎn)的坐標(biāo)可代入函數(shù)的表達(dá)式中，要將函數(shù)圖像上的點(diǎn)與坐標(biāo)一一聯(lián)系起來(lái)。3、函數(shù)的圖像1）一次函數(shù)一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）的直線。k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y0x圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0x圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限，y隨x的增大而增大。k<0k<0b>0y0x圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0圖像經(jīng)過(guò)二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。2）反比例函數(shù)反比例函數(shù)k的符號(hào)k>0k<0圖像yOxyOx性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第一、三象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別在第二、四象限。在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。3）二次函數(shù)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)（1）拋物線開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而增大，簡(jiǎn)記左減右增；（4）拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，（1）拋物線開(kāi)口向下，并向下無(wú)限延伸；（2）對(duì)稱軸是x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；（3）在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時(shí)，y隨x的增大而減小，簡(jiǎn)記左增右減；（4）拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值，4、函數(shù)圖像的平移①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；②保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：③平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．二、常見(jiàn)題型：求函數(shù)的表達(dá)式常見(jiàn)求函數(shù)表達(dá)式的方法是待定系數(shù)法，假設(shè)出函數(shù)解析式，將函數(shù)上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)，求出未知系數(shù)。在函數(shù)大題中，第一小問(wèn)基本都是采用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達(dá)式。注意：二次函數(shù)的解析式常根據(jù)具體情況選擇采用以下方式求解：1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩點(diǎn)式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．【例1】（2015?武漢）已知一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4）．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）求關(guān)于x的不等式kx+3≤6的解集．【例2】（2015?海南）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)G是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，直線GC交x軸于點(diǎn)H（3，0），AD平行GC交y軸于點(diǎn)D．求該二次函數(shù)的表達(dá)式。2、將函數(shù)的知識(shí)與幾何知識(shí)聯(lián)系起來(lái)的復(fù)合題此類題目是在函數(shù)圖像中有幾何圖形，一般情況是通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可得出相對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)度，最終求得線段的長(zhǎng)度或是圖形的面積與周長(zhǎng)等?！纠?】（2015?黃岡中學(xué)自主招生）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點(diǎn)，A（0，0），在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA1B1，第2個(gè)△B1A2B2，第3個(gè)△B2A3B3，…則第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等于（）A． B． C． D．【例4】（2015?德陽(yáng)）如圖，在一次函數(shù)y=﹣x+6的圖象上取一點(diǎn)P，作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，且矩形PBOA的面積為5，則在x軸的上方滿足上述條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3、根據(jù)函數(shù)圖像判定系數(shù)的正負(fù)性或取值范圍【例5】（2015?魏縣二模）若直線y=mx+2m﹣3經(jīng)過(guò)二、三、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＜ B．m＞0 C．m＞ D．m＜0【例6】（2015?咸寧）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論：①二次三項(xiàng)式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4、根據(jù)系數(shù)的范圍判定函數(shù)圖像在坐標(biāo)系中的位置【例7】（2015?棗莊）已知直線y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那該直線不經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例8】（2015?杭州模擬）已知直線y=kx+b，若k+b＜0，kb＞0，那么該直線不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、函數(shù)值域【例8】（2015?天津）己知反比例函數(shù)y=，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y的取值范圍是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞66、函數(shù)圖像單調(diào)性的判定【例9】（2015?營(yíng)口）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣3，1），以點(diǎn)O為頂點(diǎn)作等腰直角三角形AOB，雙曲線y1=在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．設(shè)直線AB的解析式為y2=k2x+b，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是（）A．﹣5＜x＜1 B．0＜x＜1或x＜﹣5 C．﹣6＜x＜1 D．0＜x＜1或x＜﹣6【例10】（2015?上海模擬）已知正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣4，2），那么函數(shù)值y隨自變量x的值的增大而．（填“增大”或“減小”）【例11】（2015?欽州）對(duì)于函數(shù)y=，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．這個(gè)函數(shù)的圖象位于第一、第三象限B．這個(gè)函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形C．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大D．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小7、點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小比較與最值【例12】（2015?富順縣一模）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三點(diǎn)都在y=﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是．【例13】（2015?湖北校級(jí)自主招生）已知a≥4，當(dāng)1≤x≤3時(shí)，函數(shù)y=2x2﹣3ax+4的最小值是﹣23，則a=．8、函數(shù)圖像的平移在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”【例14】（2015?閘北區(qū)模擬）將一次函數(shù)y=x+3的圖象沿著y軸向下平移5個(gè)單位，那么平移后所得圖象的函數(shù)解析式為．9、利用函數(shù)解實(shí)際問(wèn)題很據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型，最終求解?！纠?5】（2015?武漢校級(jí)模擬）甲、乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個(gè)行程中，汽車離開(kāi)A城的距離y與時(shí)刻t的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示，則當(dāng)乙車到達(dá)B城時(shí)，甲車離B城的距離為km．【例16】（2015?盤(pán)錦）盤(pán)錦紅海灘景區(qū)門票價(jià)格80元/人，景區(qū)為吸引游客，對(duì)門票價(jià)格進(jìn)行動(dòng)態(tài)管理，非節(jié)假日打a折，節(jié)假日期間，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超過(guò)10人的部分打b折，設(shè)游客為x人，門票費(fèi)用為y元，非節(jié)假日門票費(fèi)用y1（元）及節(jié)假日門票費(fèi)用y2（元）與游客x（人）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）a=，b=；（2）直接寫(xiě)出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）導(dǎo)游小王6月10日（非節(jié)假日）帶A旅游團(tuán)，6月20日（端午節(jié)）帶B旅游團(tuán)到紅海灘景區(qū)旅游，兩團(tuán)共計(jì)50人，兩次共付門票費(fèi)用3040元，求A、B兩個(gè)旅游團(tuán)各多少人？10、函數(shù)與幾何綜合題此類題型一般是利用函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)，確定線段的長(zhǎng)度，最后再利用幾何知識(shí)解題，這類題有一定難度。做這類題的關(guān)鍵是將函數(shù)的知識(shí)與幾何知識(shí)聯(lián)系起來(lái)?！纠?7】（2015?錦州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，2），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是，S3的值為．【例18】（2015?麗水）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，﹣2），點(diǎn)A是該圖象第一象限分支上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，頂點(diǎn)C在第四象限，AC與x軸交于點(diǎn)P，連結(jié)BP．（1）k的值為．（2）在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)BP平分∠ABC時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．11、壓軸題中的二次函數(shù)題此類題一般第一問(wèn)是求函數(shù)的解析式，第二、三問(wèn)是與幾何知識(shí)聯(lián)系起來(lái)的求兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，求最值，求特殊點(diǎn)等題型。常用公式有：兩點(diǎn)間距離公式點(diǎn)A坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度為2）勾股定理在直角三角形中，斜邊長(zhǎng)的平方等與兩直角邊的平方和?！纠?9】（2015?威海）已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點(diǎn)A，B