初中數(shù)學(xué)函數(shù)總結(jié)

函數(shù)知識點及常見題型總結(jié)函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中考中分值大約有20~25分，一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)都會考查，其中一次函數(shù)和反比例函數(shù)分值共約占其中的50%，二次函數(shù)約占另一半。函數(shù)的題型以下歸納總結(jié)了11種，當然這并不包括所有可能出現(xiàn)的情況，僅僅只是較為常見的。函數(shù)有時是以下題型組合起來構(gòu)成的較為復(fù)雜的題型，因此，我們必須掌握住以下題型才能尋求突破。換句話說，我們掌握住以下題型，復(fù)雜的題型分解開來，我們也能各個突破，最終解決掉。一、核心知識點總結(jié)1、函數(shù)的表達式1）一次函數(shù)：y=kx+b(是常數(shù)，)2）反比例函數(shù)：函數(shù)（是常數(shù)，）叫做反比例函數(shù)。注意：3）二次函數(shù)：，2、點的坐標與函數(shù)的關(guān)系1）點的坐標用表示，橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開。平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當時，和是兩個不同點的坐標。2）點的坐標：從點向x軸和y軸引垂線，橫縱坐標的絕對值對應(yīng)相對應(yīng)線段的長度。3）若某一點在某一函數(shù)圖像上，則該點的坐標可代入函數(shù)的表達式中，要將函數(shù)圖像上的點與坐標一一聯(lián)系起來。3、函數(shù)的圖像1）一次函數(shù)一次函數(shù)的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特征k>0b>0y0x圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0y0x圖像經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。k<0k<0b>0y0x圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0y0圖像經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。2）反比例函數(shù)反比例函數(shù)k的符號k>0k<0圖像yOxyOx性質(zhì)①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k>0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。①x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；②當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。3）二次函數(shù)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0y0xy0x性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當x>時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x<時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當x>時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，4、函數(shù)圖像的平移①將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標；②保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：③平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．二、常見題型：求函數(shù)的表達式常見求函數(shù)表達式的方法是待定系數(shù)法，假設(shè)出函數(shù)解析式，將函數(shù)上的點的坐標代入函數(shù)，求出未知系數(shù)。在函數(shù)大題中，第一小問基本都是采用待定系數(shù)法求函數(shù)的表達式。注意：二次函數(shù)的解析式常根據(jù)具體情況選擇采用以下方式求解：1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩點式；4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．【例1】（2015?武漢）已知一次函數(shù)y=kx+3的圖象經(jīng)過點（1，4）．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）求關(guān)于x的不等式kx+3≤6的解集．【例2】（2015?海南）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸相交于點C，點G是二次函數(shù)圖象的頂點，直線GC交x軸于點H（3，0），AD平行GC交y軸于點D．求該二次函數(shù)的表達式。2、將函數(shù)的知識與幾何知識聯(lián)系起來的復(fù)合題此類題目是在函數(shù)圖像中有幾何圖形，一般情況是通過點的坐標可得出相對應(yīng)的線段的長度，最終求得線段的長度或是圖形的面積與周長等?！纠?】（2015?黃岡中學(xué)自主招生）如圖所示，已知直線與x、y軸交于B、C兩點，A（0，0），在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，使一邊在x軸上，另一個頂點在BC邊上，作出的等邊三角形分別是第1個△AA1B1，第2個△B1A2B2，第3個△B2A3B3，…則第n個等邊三角形的邊長等于（）A． B． C． D．【例4】（2015?德陽）如圖，在一次函數(shù)y=﹣x+6的圖象上取一點P，作PA⊥x軸于點A，PB⊥y軸于點B，且矩形PBOA的面積為5，則在x軸的上方滿足上述條件的點P的個數(shù)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3、根據(jù)函數(shù)圖像判定系數(shù)的正負性或取值范圍【例5】（2015?魏縣二模）若直線y=mx+2m﹣3經(jīng)過二、三、四象限，則m的取值范圍是（）A．m＜ B．m＞0 C．m＞ D．m＜0【例6】（2015?咸寧）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，下列結(jié)論：①二次三項式ax2+bx+c的最大值為4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的兩根之和為﹣1；④使y≤3成立的x的取值范圍是x≥0．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4、根據(jù)系數(shù)的范圍判定函數(shù)圖像在坐標系中的位置【例7】（2015?棗莊）已知直線y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=5，那該直線不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例8】（2015?杭州模擬）已知直線y=kx+b，若k+b＜0，kb＞0，那么該直線不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5、函數(shù)值域【例8】（2015?天津）己知反比例函數(shù)y=，當1＜x＜3時，y的取值范圍是（）A．0＜y＜l B．1＜y＜2 C．2＜y＜6 D．y＞66、函數(shù)圖像單調(diào)性的判定【例9】（2015?營口）如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣3，1），以點O為頂點作等腰直角三角形AOB，雙曲線y1=在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點B．設(shè)直線AB的解析式為y2=k2x+b，當y1＞y2時，x的取值范圍是（）A．﹣5＜x＜1 B．0＜x＜1或x＜﹣5 C．﹣6＜x＜1 D．0＜x＜1或x＜﹣6【例10】（2015?上海模擬）已知正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象經(jīng)過點（﹣4，2），那么函數(shù)值y隨自變量x的值的增大而．（填“增大”或“減小”）【例11】（2015?欽州）對于函數(shù)y=，下列說法錯誤的是（）A．這個函數(shù)的圖象位于第一、第三象限B．這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．當x＞0時，y隨x的增大而增大D．當x＜0時，y隨x的增大而減小7、點的縱坐標大小比較與最值【例12】（2015?富順縣一模）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三點都在y=﹣的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是．【例13】（2015?湖北校級自主招生）已知a≥4，當1≤x≤3時，函數(shù)y=2x2﹣3ax+4的最小值是﹣23，則a=．8、函數(shù)圖像的平移在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”【例14】（2015?閘北區(qū)模擬）將一次函數(shù)y=x+3的圖象沿著y軸向下平移5個單位，那么平移后所得圖象的函數(shù)解析式為．9、利用函數(shù)解實際問題很據(jù)實際問題建立函數(shù)模型，最終求解?！纠?5】（2015?武漢校級模擬）甲、乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，汽車離開A城的距離y與時刻t的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則當乙車到達B城時，甲車離B城的距離為km．【例16】（2015?盤錦）盤錦紅海灘景區(qū)門票價格80元/人，景區(qū)為吸引游客，對門票價格進行動態(tài)管理，非節(jié)假日打a折，節(jié)假日期間，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超過10人的部分打b折，設(shè)游客為x人，門票費用為y元，非節(jié)假日門票費用y1（元）及節(jié)假日門票費用y2（元）與游客x（人）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）a=，b=；（2）直接寫出y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）導(dǎo)游小王6月10日（非節(jié)假日）帶A旅游團，6月20日（端午節(jié)）帶B旅游團到紅海灘景區(qū)旅游，兩團共計50人，兩次共付門票費用3040元，求A、B兩個旅游團各多少人？10、函數(shù)與幾何綜合題此類題型一般是利用函數(shù)圖像上點的坐標，確定線段的長度，最后再利用幾何知識解題，這類題有一定難度。做這類題的關(guān)鍵是將函數(shù)的知識與幾何知識聯(lián)系起來?！纠?7】（2015?錦州）如圖，在平面直角坐標系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為（6，2），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1、S2、S3、…、Sn，則第4個正方形的邊長是，S3的值為．【例18】（2015?麗水）如圖，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（﹣1，﹣2），點A是該圖象第一象限分支上的動點，連結(jié)AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，頂點C在第四象限，AC與x軸交于點P，連結(jié)BP．（1）k的值為．（2）在點A運動過程中，當BP平分∠ABC時，點C的坐標是．11、壓軸題中的二次函數(shù)題此類題一般第一問是求函數(shù)的解析式，第二、三問是與幾何知識聯(lián)系起來的求兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，求最值，求特殊點等題型。常用公式有：兩點間距離公式點A坐標為（x1，y1）點B坐標為（x2，y2）則AB間的距離，即線段AB的長度為2）勾股定理在直角三角形中，斜邊長的平方等與兩直角邊的平方和?！纠?9】（2015?威海）已知：拋物線l1：y=﹣x2+bx+3交x軸于點A，B