一種多手機器人識別系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

一種多手機器人識別系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

機器人系統(tǒng)越來越受到重視，越來越受到重視。在機器人設計研究中，由于存在建模誤差和操作環(huán)境，如通風、摩擦、障礙物等未知因素的影響，穩(wěn)定分析是研究這些因素對吸收質(zhì)量和系統(tǒng)性能的影響，因此穩(wěn)定性是機器人工程設計的重要因素。在穩(wěn)定性應用研究中，傳統(tǒng)的穩(wěn)定性研究是建模條件差、設計困難或成本高的，這限制了機器人采集系統(tǒng)的應用。事實上，大多數(shù)實際的采集系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，并且它們只能收集一些不穩(wěn)定的點。在這種情況下，這項工作主要討論了機器人采集系統(tǒng)的幾乎穩(wěn)定性。對于給定物體,利用機器人手進行抓取操作的系統(tǒng)稱之為抓取或者抓取系統(tǒng).一般的,被抓取物體本身也稱為抓取,如簡單夾持器抓取或多指抓取.多指手機器人抓取系統(tǒng)是一個特殊的非線性系統(tǒng),對它的穩(wěn)定性研究在機器人研究史上引起了眾多的關注.1999年熊蔡華等人提出了n彈性手指純滾動抓取的系統(tǒng)模型,并利用Lyapunov直接方法研究了抓取系統(tǒng)的動態(tài)穩(wěn)定性的條件.而在現(xiàn)有文獻中非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的主要工具有Lyapunov直接方法、壓縮映像原理、非線性測度方法、非線性算子譜半徑等.所有這些方法都是在系統(tǒng)平衡點的某鄰域的整個內(nèi)部考察了平衡點的穩(wěn)定性性態(tài).實際上,很多應用系統(tǒng)并不需要其平衡點作為吸引子時處處吸引,或者不可能處處吸引,而只需要有“足夠多”的點被吸引即可.2001,AndersRanzter提出了Lyapunov穩(wěn)定性方法的“對偶”方法,稱從系統(tǒng)平衡點的某鄰域內(nèi)出發(fā)的解軌線在除去一個零測度集以外收斂到平衡點的穩(wěn)定性為幾乎處處穩(wěn)定性.本文主要應用AndersRanzter提出的“對偶”方法研究多指手機器人抓取系統(tǒng)的幾乎處處穩(wěn)定性,同時構造了密度函數(shù)以考察其平衡點的穩(wěn)定性性態(tài).為了敘述方便,在本中引用以下記號:(1)?ρ=gradρ=(?ρ/?x1?ρ/?x2…?ρ/?xn),ρ:Rn→R,(2)?f=divf=(?f1/?x1+?f2/?f2+…+?fn/?xn),f:Rn→Rn.考察抓取系統(tǒng)˙x=Ax+F(x)x˙=Ax+F(x)(1)和它的線性系統(tǒng)˙x=Axx˙=Ax.(2)其中狀態(tài)向量x∈R12,非線性函數(shù)F(x)及矩陣A滿足;Δx為抓取位置偏差變量,Δθ為抓取角度偏差變量;矩陣A,?Μb,?Bb和?Κb分別稱為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣、慣性矩陣、減震矩陣和彈性矩陣;矩陣Ci,Di和?Κi詳見參考文獻;x*=0是系統(tǒng)平衡點.這個模型是1999年熊蔡華等人提出來的,2003年王凱明考察了其模型中省略了的非線性項,并利用Lyapunov直接方法、非線性測度法以及系統(tǒng)矩陣的加權范數(shù)研究了這個模型的平衡點的穩(wěn)定性.但就作者了解的程度而言,對多指手機器人抓取系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中,到目前為止還沒有對其幾乎處處穩(wěn)定性的研究.在本文中將把AndersRanzter提出的“對偶”方法應用到機器人抓取系統(tǒng)(1)上,通過構造相應的密度函數(shù)來考察其相應的穩(wěn)定性性態(tài).換言之,將證明一下定理:定理1如果存在實數(shù)α>0,使得抓取系統(tǒng)矩陣以及非線性項滿足以下條件:(1)抓取系統(tǒng)矩陣?Bb和?Κb是正定的,(2)對幾乎所有的x有-xΤ2?Bbx2+Δ˙θΤF1(x)<α-1(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)[trace(-Μ-1b?Bb)+?F11?Δ˙θ1+?F12?Δ˙θ2+?F13?Δ˙θ3]成立,則機器人抓取系統(tǒng)(1)的平衡點幾乎處處漸近穩(wěn)定,其中Δ˙θ=[Δ˙θ1Δ˙θ2Δ˙θ3]Τ,以及F1(x)=m∑i=1(Cix1×?Κix2+Dix2×?Κix2)=(F11F12F13)Τ.為了證明以上定理,首先需要引入以下引理:引理1給定方程˙x(t)=f(x(t)),其中f∈C1(Rn,Rn)且f(0)=0.如果存在非負函數(shù)ρ∈C1(Rn0},R)使得ρ(x)f(x)/|x|在集合{x∈Rn:|x|≥1}上可積而且對幾乎所有的x都有[?·fρ](x)>0,則幾乎對所有的初值x(0)系統(tǒng)的解軌線x(t)在t∈(0,∞)都存在,而且在t→∞時趨于零;更進一步,如果平衡點x=0是穩(wěn)定的,則當ρ取負值時結論仍然成立.引理的證明見文獻.證明(定理1)令ρ(x)=[(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)]-α,f(x)=Ax+F(x)則由定理條件(2)知ρ正定而且ρ∈C1(R120},R)以及在ρ(x)f(x)/|x|在{x∈R12:|x|≥1}上可積.由于?·f=trace(-Μ-1b?Bb)+?F11?Δ˙θ1+?F12?Δ˙θ2+?F13?Δ˙θ3,?ρ=-α(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)-α-1[?Κbx1?Μbx2],?ρ?f=-α(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)-α-1[-xΤ2?Bbx2+Δ˙θΤF1(x)],所以有[??fρ)](x)=ρ??f+?ρ?f=(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)-α-1(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)[trace(-Μ-1b?Bb)+?F11?Δ˙θ1+?F12?Δ˙θ2+?F13?Δ˙θ3]-α(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)-α-1[-xΤ2?Bbx2+Δ˙θΤF1(x)].由引理知,如果以下不等式-xΤ2?Bbx2+Δ˙θ?F1(x)<α-1(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)[trace(-Μ-1b?Bb)+?F11?Δ˙θ1+?F12?Δ˙θ2+?F13?Δ˙θ3]對幾乎所有的x成立,則幾乎對所有的初值x(0),機器人抓取系統(tǒng)(1)的解軌線x(t)在t∈(0,∞)都存在而且在t→∞時趨于零.所以由引理知,機器人抓取系統(tǒng)(1)平衡點幾乎處處漸近穩(wěn)定.證畢.研究這些非線性項中F(x)信息,由定理1的結論可得到以下2個推論:推論1若存在實數(shù)α>0,抓取系統(tǒng)矩陣?Bb和?Κb是正定的而且?guī)缀跆幪帩M足以下不等式-xΤ2?Bbx2<α-1(xΤ1?Κbx1+xΤ2?Μbx2)trace(-Μ-1b?Bb),則抓取線性系統(tǒng)(2)的平衡點是幾乎處處漸近穩(wěn)定的.推論2如果推論1的條件成立并且非線性函數(shù)F(x)幾乎處處滿足不等式Δ˙θ1F11(x)+Δ˙θ2F12+Δ˙θ3F13<?F11?Δ˙θ1+?F12?Δ˙θ2+?F13?Δ˙θ3,則抓取系統(tǒng)(1)的平衡點幾乎處處漸近穩(wěn)定.機器人抓取系統(tǒng)的非線性項F(x)包含了如減震、摩擦及很多不確定因素,所以考察非線性項對穩(wěn)定性的作用對于機器人抓取系統(tǒng)的設計非常重要;同時,當機器人抓取系統(tǒng)的平衡點作為一個吸引子,并不需要對其指定鄰域(即一般文獻中的吸引域)內(nèi)的點處處吸引或者不可能處處吸