2017學年高中數(shù)學人教A版選修2-3本章整合教案：第二章隨機變量及其分布Word版含解析

本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一典型的離散型隨機變量分布列離散型隨機變量的分布列完全描述了隨機變量所表示的隨機現(xiàn)象的分布情況，是進一步研究隨機變量的數(shù)字特征的基礎(chǔ)，對隨機變量分布列的求解要達到熟練的程度，求離散型隨機變量的分布列應注意以下幾個步驟：(1)確定離散型隨機變量所有的可能取值，以及取這些值時的意義；(2)盡量尋求計算概率時的普遍規(guī)律；(3)檢查計算結(jié)果是否滿足分布列的第二條性質(zhì)．【例1】袋中有8個白球、2個黑球，從中隨機地連續(xù)抽3次，每次取1球．求：(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)X的分布列；(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Y的分布列．思路點撥：(1)為二項分布；(2)為超幾何分布．解：(1)有放回抽樣時，取到的黑球數(shù)X可能的取值為0,1,2,3.又由于每次取到的黑球的概率均為eq\f(1,5)，3次取球可以看成3次獨立重復試驗，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))).所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝eq\f(64,125)；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2＝eq\f(48,125)；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))1＝eq\f(12,125)；P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))0＝eq\f(1,125).因此，X的分布列為X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)(2)不放回抽樣時，取到的黑球數(shù)Y可能的取值為0,1,2，且有P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)；P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).因此，Y的分布列為Y012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)專題二事件的相互獨立與二項分布的應用獨立事件與二項分布是高考的一個重點，獨立事件是相互之間無影響的事件，P(AB)＝P(A)P(B)是事件A，B獨立的充要條件．二項分布實質(zhì)是獨立事件的一類具體情況．n次獨立重復試驗中某事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1，2，…，n.【例2】某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個問題，其中前兩個問題回答正確各得10分，回答不正確各得0分，第三個題目，回答正確得20分，回答不正確得－10分．如果一個挑戰(zhàn)者回答前兩題正確的概率都是0.8，回答第三題正確的概率為0.6，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分ξ的分布列和數(shù)學期望；(2)求這位挑戰(zhàn)者總得分不為負數(shù)(即ξ≥0)的概率．思路點撥：本題解題的關(guān)鍵是明確ξ的取值及ξ取不同值時所表示的試驗結(jié)果，明確ξ的取值后，利用相互獨立事件的概率公式計算即可．解：(1)如果三個題目均答錯，得0＋0＋(－10)＝－10(分)．如果三個題目均答對，得10＋10＋20＝40(分)．如果三個題目一對兩錯，包括兩種情況：①前兩個中一對一錯，第三個錯，得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前兩個錯，第三個對，得0＋0＋20＝20(分)．如果三個題目兩對一錯，也包括兩種情形；①前兩個對，第三個錯，得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三個對，前兩個一對一錯，得20＋10＋0＝30(分)．故ξ的可能取值為－10,0,10,20,30,40.P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016；P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(1,2)×0.2×0.8×0.4＝0.128；P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256；P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024；P(ξ＝30)＝Ceq\o\al(1,2)×0.8×0.2×0.6＝0.192；P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.所以，ξ的分布列為ξ－10010203040P0.0160.1280.2560.0240.1920.384ξ的期望為E(ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24.(2)這位挑戰(zhàn)者總得分不為負數(shù)的概率為P(ξ≥0)＝1－P(ξ＜0)＝1－0.016＝0.984.專題三離散型隨機變量的期望與方差期望和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在期望基礎(chǔ)之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的期望的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，現(xiàn)實生產(chǎn)生活中應用廣泛．離散型隨機變量的期望與方差是概率統(tǒng)計知識的延伸，在實際問題特別是風險決策中有著重要意義，因此在高考中是一個熱點問題．求離散型隨機變量X的期望與方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能的全部取值；(2)求X取每個值的概率或求出函數(shù)P(X＝k)；(3)寫出X的分布列；(4)由分布列和期望的定義求出E(X)；(5)由方差的定義，求D(X)，若X～B(n，p)，則可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【例3】某單位選派甲、乙、丙三人組隊參加知識競賽，甲、乙、丙三人在同時回答一道問題時，已知甲答對的概率是eq\f(3,4)，甲、丙兩人都答錯的概率是eq\f(1,12)，乙、丙兩人都答對的概率是eq\f(1,4)，規(guī)定每隊只要有一人答對此題則該隊答對此題．(1)求該單位代表隊答對此題的概率；(2)此次競賽規(guī)定每隊都要回答10道必答題，每道題答對得20分，答錯得－10分．若該單位代表隊答對每道題的概率相等且回答任一道題的對錯對回答其他題沒有影響，求該單位代表隊必答題得分的期望(精確到1分)．思路點撥：(1)記甲、乙、丙分別答對此題為事件A，B，C，分別求出P(A)，P(B)，P(C)，則代表隊答對此題即只要有一個答對即可，可借助其對立事件來解．根據(jù)題意問題，(2)符合二項分布ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(91,96)))，直接利用二項分布均值公式求均值．解：(1)記甲、乙、丙分別答對此題為事件A，B，C，由已知，P(A)＝eq\f(3,4)，[1－P(A)][1－P(C)]＝eq\f(1,12)，∴P(C)＝eq\f(2,3)，又P(B)P(C)＝eq\f(1,4)，∴P(B)＝eq\f(3,8).∴該單位代表隊答對此題的概率P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,8)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(91,96).(2)記ξ為該單位代表隊必答題答對的題數(shù)，η為必答題得分，則ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(91,96)))，∴E(ξ)＝10×eq\f(91,96)＝eq\f(455,48).而η＝20ξ－10×(10－ξ)＝30ξ－100，∴E(η)＝30E(ξ)－100＝eq\f(1475,8)≈184.專題四正態(tài)分布的實際應用對于正態(tài)分布問題，在新課程標準中的要求不是很高，只要求同學們了解正態(tài)分布中的最基礎(chǔ)的知識．但由于正態(tài)分布中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，一些結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題又成為熱點問題，這就需要同學們熟練掌握正態(tài)分布的形式，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率，運用對稱性結(jié)合圖象求相應的概率．【例4】在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學中成績在80～85分的同學有17人．試計算該班同學中成績在90分以上的同學有多少人？思路點撥：依題意，由80～85分同學的人數(shù)和所占百分比求出該班同學總數(shù)，再求90分以上同學的人數(shù)．解：∵成績服從正態(tài)分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成績在(75,85)內(nèi)的同學占全班同學的68.26%