2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3教案：1.2.2組合第二課時Word版含解析

第二課時教學(xué)目標(biāo)知識與技能了解組合數(shù)的性質(zhì)，會利用組合數(shù)的性質(zhì)簡化組合數(shù)的運(yùn)算；能把一些計(jì)數(shù)問題抽象為組合問題解決，會利用組合數(shù)公式及其性質(zhì)求解計(jì)數(shù)問題．過程與方法通過具體實(shí)例，經(jīng)歷把具體事例抽象為組合問題，利用組合數(shù)公式求解的過程．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：組合數(shù)的性質(zhì)、利用組合數(shù)公式和性質(zhì)求解相關(guān)計(jì)數(shù)問題．教學(xué)難點(diǎn)：利用組合數(shù)公式和性質(zhì)求解相關(guān)計(jì)數(shù)問題．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新課))提出問題1：判斷下列問題哪個是排列問題，哪個是組合問題，并回顧排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系．(1)從A、B、C、D四個景點(diǎn)選出2個進(jìn)行游覽；(2)從甲、乙、丙、丁四個學(xué)生中選出2個人擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記．活動設(shè)計(jì)：教師提問．活動成果：(1)是組合問題，(2)是排列問題．1．組合的概念：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合與排列的區(qū)別和聯(lián)系：(1)區(qū)別：①排列有順序，組合無順序．②相同的組合只需選出的元素相同，相同的排列則需選出的元素相同，并且選出元素的順序相同．(2)聯(lián)系：①都是從n個不同的元素中選出m(m≤n)個元素；②排列可以看成先組合再全排列．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)組合的概念，檢查學(xué)生的掌握情況．提出問題2：利用上節(jié)課所學(xué)組合數(shù)公式，完成下列兩個練習(xí)：練習(xí)1：求證：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,m)Ceq\o\al(m－1,n－1).(本式也可變形為：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1))練習(xí)2：計(jì)算：①Ceq\o\al(3,10)和Ceq\o\al(7,10)；②Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,6)與Ceq\o\al(3,6)；③Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(5,11).活動設(shè)計(jì)：學(xué)生板演．活動成果：練習(xí)2答案：①120,120②20,20③792.1．組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號Ceq\o\al(m,n)表示．2．組合數(shù)的公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)或Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)(n，m∈N，且m≤n)．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)組合數(shù)公式，為得到組合數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探索新知))提出問題1：由問題2練習(xí)中所求的幾個組合數(shù)，你有沒有發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，能不能總結(jié)并證明一下？活動設(shè)計(jì)：小組交流后請不同的同學(xué)總結(jié)補(bǔ)充．活動成果：1．性質(zhì)：(1)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；(2)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).2．證明：(1)∵Ceq\o\al(n－m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！[n－(n－m)]！)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)，又Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)，∴Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)＋eq\f(n！,(m－1)！[n－(m－1)]！)＝eq\f(n！(n－m＋1)＋n！m,m！(n－m＋1)！)＝eq\f((n－m＋1＋m)n！,m！(n－m＋1)！)＝eq\f((n＋1)！,m！(n－m＋1)！)＝Ceq\o\al(m,n＋1)，∴Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)出組合數(shù)的兩個性質(zhì)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(運(yùn)用新知))類型一：組合數(shù)的性質(zhì)1(1)計(jì)算：Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,9)；(2)求證：Ceq\o\al(n,m＋2)＝Ceq\o\al(n,m)＋2Ceq\o\al(n－1,m)＋Ceq\o\al(n－2,m).(1)解：原式＝Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(6,9)＝Ceq\o\al(6,10)＝Ceq\o\al(4,10)＝210；(2)證明：右邊＝(Ceq\o\al(n,m)＋Ceq\o\al(n－1,m))＋(Ceq\o\al(n－1,m)＋Ceq\o\al(n－2,m))＝Ceq\o\al(n,m＋1)＋Ceq\o\al(n－1,m＋1)＝Ceq\o\al(n,m＋2)＝左邊．【鞏固練習(xí)】求證：Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝n2n－1.證明：左邊＝Ceq\o\al(1,n)＋2Ceq\o\al(2,n)＋3Ceq\o\al(3,n)＋…＋nCeq\o\al(n,n)＝Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(1,n)Ceq\o\al(n,n)，其中Ceq\o\al(1,i)Ceq\o\al(i,n)可表示先在n個元素里選i個，再從i個元素里選一個的組合數(shù)．設(shè)某班有n個同學(xué)，選出若干人(至少1人)組成興趣小組，并指定一人為組長．把這種選法按取到的人數(shù)i分類(i＝1,2，…，n)，則選法總數(shù)即為原式左邊．現(xiàn)換一種選法，先選組長，有n種選法，再決定剩下的n－1人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有2n－1種，所以選法總數(shù)為n2n－1種．顯然，兩種選法是一致的，故左邊＝右邊，等式成立．【變練演編】求證：Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋32Ceq\o\al(3,n)＋…＋n2Ceq\o\al(n,n)＝n(n＋1)2n－2.證明：由于i2Ceq\o\al(i,n)＝Ceq\o\al(1,i)Ceq\o\al(1,i)Ceq\o\al(i,n)可表示先在n個元素里選i個，再從i個元素里選兩個(可重復(fù))的組合數(shù)，所以原式左端可看成在上題中指定一人為組長的基礎(chǔ)上，再指定一人為副組長(可兼職)的組合數(shù)．對原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個人兩種情況．若組長和副組長是同一個人，則有n2n－1種選法；若組長和副組長不是同一個人，則有n(n－1)2n－2種選法．∴共有n2n－1＋n(n－1)2n－2＝n(n＋1)2n－2種選法．顯然，兩種選法是一致的，故左邊＝右邊，等式成立．類型二：有約束條件的組合問題2在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．(1)有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解：(1)所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有Ceq\o\al(3,100)＝eq\f(100×99×98,1×2×3)＝161700種．(2)從2件次品中抽出1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有Ceq\o\al(2,98)種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)＝9506種．(3)解法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況．在第(2)小題中已求得其中1件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)種，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,98)＝9604種．解法2抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98)＝161700－152096＝9604種．點(diǎn)評：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解．【鞏固練習(xí)】1．4名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人社會實(shí)踐活動小組，問組成方法共有多少種？解法一：(直接法)小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,6)，Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,6)種方法，所以，一共有Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,6)＝100種方法．解法二：(間接法)Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)＝100.2．按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？(1)甲、乙、丙三人必須當(dāng)選；(2)甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；(3)甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選；(4)甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；(5)甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選；(6)甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；解：(1)Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,9)＝36；(2)Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(5,9)＝126；(3)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(4,9)＝126；(4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＝378；(5)方法一：(直接法)Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,9)＝756，方法二：(間接法)Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,9)＝756；(6)方法一：(直接法)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,9)＝666，方法二：(間接法)Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(5,9)＝666.【變練演編】有翻譯人員11名，其中5名精通英語、4名精通法語，還有2名英、法語皆通．現(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語，另外4名譯法語，一共可列多少張不同的名單？解：分三類：第一類：2名英、法語皆通的均不選，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＝5種；第二類：2名英、法語皆通的選一名，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(3,4)＝60種；第三類：2名英、法語皆通的均選，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝120種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5＋60＋120＝185種不同的名單．【達(dá)標(biāo)檢測】1．計(jì)算：(1)Ceq\o\al(3,99)＋Ceq\o\al(2,99)；(2)2Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(2,8).2．從6位同學(xué)中選出4位參加一個座談會，要求張、王兩人中至多有一個人參加，則有不同的選法種數(shù)為________．3．從7人中選出3人參加活動，則甲、乙兩人不都入選的不同選法共有______種．答案：1.(1)161700(2)562.93.30eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．知識收獲：組合數(shù)的性質(zhì)，用組合數(shù)公式解決簡單的計(jì)數(shù)問題．2．方法收獲：化歸的思想方法．3．思維收獲：化歸的思想方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)))【基礎(chǔ)練習(xí)】1．求證：(1)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋Ceq\o\al(m－1,n－1)；(2)Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＋2Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋2).2．某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有______．3．100件產(chǎn)品中有合格品90件，次品10件，現(xiàn)從中抽取4件檢查．(1)都不是次品的取法有多少種？(2)至少有1件次品的取法有多少種？(3)不都是次品的取法有多少種？4．從編號為1,2,3，…，10,11的共11個球中，取出5個球，使得這5個球的編號之和為奇數(shù)，則一共有多少種不同的取法？答案或解答：2.Ceq\o\al(3,8)＝56；3．解：(1)Ceq\o\al(4,90)＝2555190；(2)Ceq\o\al(4,100)－Ceq\o\al(4,90)＝Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(3,90)＋Ceq\o\al(2,10)Ceq\o\al(2,90)＋Ceq\o\al(3,10)Ceq\o\al(1,90)＋Ceq\o\al(4,10)＝1366035；(3)Ceq\o\al(4,100)－Ceq\o\al(4,10)＝Ceq\o\al(1,90)Ceq\o\al(3,10)＋Ceq\o\al(2,90)Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(3,90)Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(4,90)＝3921015.4．解：分為三類：1奇4偶有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(4,5)；3奇2偶有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)；5奇有Ceq\o\al(5,6)，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(5,6)＝236種不同的取法．【拓展練習(xí)】現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作；有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項(xiàng)工作都能勝任)，現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù)，其中3名從事英語翻譯工作，2名從事德語翻譯工作，則有多少種不同的選法？解：我們可以分為三類：①讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事英語翻譯工作，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)；②讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年從事德語翻譯工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)；③讓兩項(xiàng)工作都能擔(dān)任的青年不從事任何工作，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3).所以一共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,3)＝42種方法．eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)說明))本節(jié)課是