湖北省咸寧市崇陽(yáng)縣白霓中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析_第1頁(yè)
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湖北省咸寧市崇陽(yáng)縣白霓中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè),,則的關(guān)系是(

)A.

B.

C.

D.不能比較大小

參考答案:C略2.如果,那么下列不等式中正確的是(

)A.

B.

C.

D.參考答案:A3.已知,且,則下列不等式恒成立的是(

)A.

B.

C.

D.參考答案:D4.已知函數(shù)的定義域是[1,2],求函數(shù)的定義域(

)A.(2,3) B.[2,3] C.[0,1] D.(2,3]參考答案:B【分析】先求出的范圍,即可求得的定義域【詳解】由題,,設(shè),,的定義域?yàn)楣蔬x:B【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題5.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,并且x+2y≥m2﹣2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(﹣2,4) B.[﹣2,4] C.(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) D.(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞)參考答案:B考點(diǎn):基本不等式.專題:不等式的解法及應(yīng)用.分析:利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)可得x+2y的最小值,x+2y≥m2﹣2m恒成立?,即可得出.解答:解:∵兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,∴x+2y=(x+2y)=4+≥4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=4時(shí)取等號(hào).∵x+2y≥m2﹣2m恒成立,∴,∴m2﹣2m≤8,解得﹣2≤m≤4.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[﹣2,4].故選:B.點(diǎn)評(píng):本題考查了“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)、恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,屬于基礎(chǔ)題.6.已知△ABC的外接圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),(0,3),且圓心M在直線上.若△ABC的邊長(zhǎng)BC=2,則等于A.

B.

C.

D.參考答案:A7.如圖所示,正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為,曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,現(xiàn)將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形中,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是(

A.

B.

C.

D.參考答案:B略8.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn),,橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)為,直線與雙曲線的一條漸近線平行,橢圓與雙曲線的離心率分別為,則取值范圍為(

)A.

B.

C.

D.參考答案:D9.如圖所示,觀察四個(gè)幾何體,其中判斷正確的是(

).A.(1)是棱臺(tái)

B.(2)是圓臺(tái)C.(3)是棱錐

D.(4)不是棱柱參考答案:C10.若,那么的最大值是A、

B、

C、1

D、2參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2,點(diǎn)D為AC中點(diǎn),點(diǎn)E滿足,則=.參考答案:﹣2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】由已知畫出圖形,結(jié)合向量的加法與減法法則把用表示,展開后代值得答案.【解答】解:如圖,∵,∴=,又D為AC中點(diǎn),∴,則===.故答案為:﹣2.12.方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一個(gè)圓,則m的取值范圍是

.參考答案:(﹣∞,)【考點(diǎn)】二元二次方程表示圓的條件.【分析】根據(jù)圓的一般方程即可得到結(jié)論.【解答】解:若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一個(gè)圓,則滿足1+1﹣4m>0,即m<,故答案為:(﹣∞,).13.動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A(-3,0)、B(3,0)的距離比為2:1,則P點(diǎn)的軌跡圍成的圖形的面積是__________。參考答案:16

14.對(duì)于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組(n是不小于3的正整數(shù)),對(duì)于任意的,,當(dāng)時(shí)有,則稱,是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”,一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”,則數(shù)組中的逆序數(shù)等于______;若數(shù)組中的逆序數(shù)為,則數(shù)組中的逆序數(shù)為_____.參考答案:

3

由題意知數(shù)組(3,1,4,2)中的逆序有3,1;3,2;4,2;∴逆序數(shù)是3,∵若數(shù)組中的逆序數(shù)為n-1,∵這個(gè)數(shù)組中可以組成個(gè)數(shù)對(duì),∴數(shù)組中的逆序數(shù)為.15.若函數(shù)f(x)=x2+ax+2b在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是.參考答案:(3,6)【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用;函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.【分析】由題意可得,畫出可行域,如圖所示,目標(biāo)函數(shù)z=2+,表示2加上點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)M(0,4)連線的斜率.?dāng)?shù)形結(jié)合求得的范圍,可得z的范圍.【解答】解:∵函數(shù)f(x)=x2+ax+2b在區(qū)間(0,1),(1,2)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),∴,即,畫出可行域,如圖所示:表示△ABC的內(nèi)部區(qū)域,其中A(﹣3,1),B(﹣2,0),C(﹣1,0).目標(biāo)函數(shù)z=2+,即2加上點(diǎn)(a,b)與點(diǎn)M(0,4)連線的斜率.?dāng)?shù)形結(jié)合可得,的最小值趨于KAM==1,的最大值趨于KBM==4,故z的最小值趨于2+1=3,最大值趨于2+4=6,故答案為(3,6).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,斜率公式,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.16.拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體,在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體,使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊,則此正方體的體積是

.參考答案:8以正方體與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊的面的對(duì)角線作垂直于水平面的截面,在正方體內(nèi)的截面為矩形ABCD,在拋物面上截得一條拋物線,如圖建立直角坐標(biāo)系,則AB為正方體的面對(duì)角線,AD為棱長(zhǎng)。設(shè),則,于是,,故正方體體積為8.17.某旅游公司年初以98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一輛豪華旅游車,第一年各種費(fèi)用為12萬(wàn)元,以后每年都增加4萬(wàn)元,該車每年的旅游效益為50萬(wàn)元,設(shè)第n年開始獲利,列出關(guān)于n的不等關(guān)系.參考答案:98+12+(12+4)+(12+4×2)+…+[12+(n-1)×4]<50n三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知圓,圓,動(dòng)圓與圓外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線。

(Ⅰ)求的方程;

(2)若直線與曲線相交于,兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以

為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).參考答案:(1)(2)直線過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.解:(1)因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以.有橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左.右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2,短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外),其方程為(2)設(shè),,聯(lián)立得,又,因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),,即,,,.解得:,,且均滿足,當(dāng)時(shí),的方程為,直線過(guò)定點(diǎn),與已知矛盾;當(dāng)時(shí),的方程為,直線過(guò)定點(diǎn).所以,直線過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.19.已知()個(gè)半圓的圓心在同一條直線上,這個(gè)半圓每?jī)蓚€(gè)都相交,且都在直線的同側(cè),設(shè)這個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成段圓弧.(1)求;(2)由(1)猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案:設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧,采用由特殊到一般的方法,進(jìn)行猜想和論證.

當(dāng)n=2時(shí),由圖(1).兩個(gè)半圓交于一點(diǎn),則分成4段圓弧,故f(2)=4=22.當(dāng)n=3時(shí),由圖(2).三個(gè)半徑交于三點(diǎn),則分成9段圓弧,故f(3)=9=32.由n=4時(shí),由圖(3).三個(gè)半圓交于6點(diǎn),則分成16段圓弧,故f(4)=16=42.由此猜想滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f(n)=n2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)n=2時(shí),上面已證.②設(shè)n=k時(shí),f(k)=k2,那么當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交,為獲得最多圓弧,任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn),所以第k+1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中的每一個(gè)半圓中的一段弧分成兩段弧,這樣就多出k條圓??;另外原k個(gè)半圓把第k+1個(gè)半圓分成k+1段,這樣又多出了k+1段圓?。鄁(k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴滿足條件的k+1個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k+1)2段圓?。散佟ⅱ诳芍?,滿足條件的n個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓弧.20.如圖在長(zhǎng)方形ABCD中,已知AB=4,BC=2,M,N,P為長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn),Q是邊CD上的點(diǎn),且CQ=3DQ,求的值.

參考答案:建立以AB為x軸,AD為y軸的坐標(biāo)系

2分則N(2,0),P(4,1),M(0,1),Q(1,2)

6分3

14分略21.(本小題滿分13分)已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若直線交橢圓于兩點(diǎn),在直線上存在點(diǎn),使得為等邊三角形,求的值.

參考答案:(Ⅰ);(Ⅱ)或(Ⅰ)因?yàn)闄E圓:的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn),

所以,橢圓的方程為………………4分(Ⅱ)設(shè),則(i)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),的垂直平分線就是軸,軸與直線的交點(diǎn)為,又,所以是等邊三角形,所以滿足條件;………………6分(ii)當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)的方程為所以,化簡(jiǎn)得

解得所以………………8分又的中垂線為,它的交點(diǎn)記為

由解得則………………10分因?yàn)闉榈冗吶切?,所以?yīng)有代入得到,解得(舍),

綜上可知,或………………13分22.小明下班回家途經(jīng)3個(gè)有紅綠燈的路口,交通法規(guī)定:若在路口遇到紅燈,需停車等待;若在路口沒(méi)遇到紅燈,則直接通過(guò).經(jīng)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn):他在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為,在第二、第三個(gè)道口遇到紅燈的概率依次減小,在三個(gè)道口都沒(méi)遇到紅燈的概率為,在三個(gè)道口都遇到紅燈的概率為,且他在各路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立.(1)求小明下班回家途中至少有一個(gè)道口遇到紅燈的概率;(2)求小明下班回家途中在第三個(gè)道口首次遇到紅燈的概率;(3)記為小明下班回家途中遇到紅燈的路口個(gè)數(shù),求數(shù)學(xué)期望.參考答案:(1);(2);(3).【分析】(1)根據(jù)對(duì)立事件的概率關(guān)系結(jié)合已知,即可求解;(2)設(shè)第二、三個(gè)道口遇到紅燈的概率分別為,根據(jù)已知列出關(guān)于方程組,求得,即可求出

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