2017學年高中數(shù)學人教A版必修4示范教案：第二章第二節(jié)平面向量的線性運算（第二課時）Word版含解析

第二章第二節(jié)平面向量的線性運算第二課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計))教學分析向量減法運算是加法的逆運算．學生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算．因此，類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù))，首先引進相反向量的概念，然后引入向量的減法(減去一個向量，等于加上這個向量的相反向量)，通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則，結(jié)合一定數(shù)量的例題，深刻理解向量的減法運算．通過闡述向量的減法運算，可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算，滲透化歸的數(shù)學思想，使學生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想，同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律，從而加強了數(shù)學學科與物理學科之間的聯(lián)系，提高學生的應(yīng)用意識．三維目標1．通過探究活動，使學生掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進行，掌握相反向量．2．啟發(fā)學生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創(chuàng)造性地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量．重點難點教學重點：向量的減法運算及其幾何意義．教學難點：對向量減法定義的理解．課時安排1課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學過程))導入新課思路1.(問題導入)上節(jié)課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．向量的減法是否也有類似的法則呢？引導學生進一步探究，由此展開新課．思路2.(直接導入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算．本節(jié)課，我們繼續(xù)學習向量加法的逆運算——減法．引導學生去探究、發(fā)現(xiàn)．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①向量是否有減法？②向量進行減法運算，必須先引進一個什么樣的新概念？③如何理解向量的減法？④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則，那么，向量的減法是否也有類似的法則？活動：數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算，數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因此定義數(shù)的減法運算，必須先引進一個相反數(shù)的概念．類似地，向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．可類比數(shù)的減法運算，我們定義向量的減法運算，也應(yīng)引進一個新的概念，這個概念又該如何定義？引導學生思考，相反向量有哪些性質(zhì)？由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向，因此a和－a互為相反向量．于是－(－a)＝a.我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量與其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.所以，如果a、b是互為相反的向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.(1)平行四邊形法則如圖1，設(shè)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b，由向量減法的定義，知eq\o(AE,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.圖1又b＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝a－b.由此，我們得到a－b的作圖方法．(2)三角形法則如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，即a－b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．圖2討論結(jié)果：①向量也有減法運算．②定義向量減法運算之前，應(yīng)先引進相反向量．與數(shù)x的相反數(shù)是－x類似，我們規(guī)定，與a長度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，記作－a.③向量減法的定義．我們定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．規(guī)定：零向量的相反向量是零向量．④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①上圖中，如果從a的終點到b的終點作向量，那么所得向量是什么？②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b，怎樣作出a－b呢？討論結(jié)果：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.②略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))例1如圖3(1)，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.圖3活動：教師讓學生親自動手操作，引導學生注意規(guī)范操作，為以后解題打下良好基礎(chǔ)；點撥學生根據(jù)向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量．作法：如圖3(2)，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d.則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝c－d.變式訓練在ABCD中，下列結(jié)論錯誤的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝0分析：A顯然正確，由平行四邊形法則可知B正確，C中，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))錯誤，D中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0正確．答案：C例2如圖4，在ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，你能用a、b表示向量eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))嗎？圖4活動：本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量，這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ)．要多注意這方面的訓練，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系．解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，同樣，由向量的減法，知eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b.變式訓練1．已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量eq\o(OD,\s\up6(→))等于()A．a(chǎn)＋b＋cB．a(chǎn)－b＋cC.a＋b－cD．a(chǎn)－b－c解析：如圖5，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，結(jié)合圖形有eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b＋c.圖5答案：B2．若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.①當a、b滿足什么條件時，a＋b與a－b垂直？②當a、b滿足什么條件時，|a＋b|＝|a－b|?③當a、b滿足什么條件時，a＋b平分a與b所夾的角？④a＋b與a－b可能是相等向量嗎？解：如圖6，用向量構(gòu)建平行四邊形，其中向量eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(DB,\s\up6(→))恰為平行四邊形的對角線且AB＝a，AD＝b.圖6由平行四邊形法則，得eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為：①當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|＝|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內(nèi)角？(|a|、|b|相等)④a＋b與a－b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同)點評：靈活的構(gòu)想，獨特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)．由此我們可以想到在解決向量問題時，可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力，教師引導學生注意領(lǐng)悟.例3判斷題：(1)若非零向量a與b的方向相同或相反，則a＋b的方向必與a、b之一的方向相同．(2)△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.(3)若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A、B、C三點是一個三角形的三頂點．(4)|a＋b|≥|a－b|.活動：根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義．解：(1)a與b方向相同，則a＋b的方向與a和b方向都相同；若a與b方向相反，則有可能a與b互為相反向量，此時a＋b＝0的方向不確定，說與a、b之一方向相同不妥．(2)由向量加法法則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))是互為相反向量，所以有上述結(jié)論．(3)因為當A、B、C三點共線時也有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，而此時構(gòu)不成三角形．(4)當a與b不共線時，|a＋b|與|a－b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，其大小不定．當a、b為非零向量共線時，同向則有|a＋b|>|a－b|，異向則有|a＋b|<|a－b|；當a、b中有零向量時，|a＋b|＝|a－b|.綜上所述，只有(2)正確．例4若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)).(1)當eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))同向時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8－5＝3；(2)當eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))反向時，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝8＋5＝13；(3)當eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))不共線時，3<|eq\o(BC,\s\up6(→))|<13.綜上，可知3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.答案：C點評：此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解.變式訓練已知a、b、c是三個非零向量，且兩兩不共線，順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a＋b＋c＝0.證明：已知a≠0，b≠0，c≠0，且兩兩不共線，(1)必要性：作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則由假設(shè)eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，另一方面a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).由于eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))是一對相反向量，∴有eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故有a＋b＋c＝0.(2)充分性：作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，又由條件a＋b＋c＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＋c＝0.等式兩邊同加eq\o(CA,\s\up6(→))，得eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋c＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋0.∴c＝eq\o(CA,\s\up6(→))，故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練))課本本節(jié)練習解答：1．直接在課本上據(jù)原圖作(這里從略)．2.eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→)).點評：解題中可以將減法變成加法運算，如eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，這樣計算比較簡便．3．圖略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．先由學生回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：相反向量，向量減法的定義，向量減法的幾何意義，向量差的作圖．2．教師與學生一起總結(jié)本節(jié)學習的數(shù)學方法，類比，數(shù)形結(jié)合，幾何作圖，分類討論．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本習題2.2A組6、7、8.eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計感想))1．向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法則和三角形法則進行講解的，兩種作圖方法各有千秋．第一種作法結(jié)合向量減法的定義，第二種作法結(jié)合向量的平行四邊形法則，直接作出從同一點出發(fā)的兩個向量a、b的差，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，第二種作圖方法比較簡捷．2．鑒于上述情況，教學中引導學生結(jié)合向量減法的幾何意義，注意差向量的方向，也就是箭頭的方向不要搞錯了，a－b的箭頭方向要指向a，如果指向b則表示b－a，在幾何證明題目中，特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系．eq\o(\s\up7(),\s\do5(備課資料))一、向量減法法則的理解向量減法的三角形法則的式子內(nèi)容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同(否則無法相減)，這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點的向量．只要學生理解法則內(nèi)容，那么解決起向量加減法的題來就會更加得心應(yīng)手，尤其遇到向量的式子運算題時，一般不用畫圖就可迅速求解，如下面例題：例1化簡：eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)).解：原式＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0.例2化簡eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)).解：原式＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＋0＝eq\o(BA,\s\up6(→)).二、備用習題1．下列等式中，正確的個數(shù)是()①a＋b＝b＋a②a－b＝b－a③0－a＝－a④－(－a)＝a⑤