2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3教案：1.2.1排列第一課時(shí)Word版含解析

1．2排列與組合1．2.1排列eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教材分析分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理是對(duì)完成一件事的所有方法的一個(gè)劃分，依分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理解題，首先明確要做的這件事是什么，其次分類(lèi)時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)．分類(lèi)要注意不重復(fù)、不遺漏，保證每類(lèi)辦法都能完成這件事．分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后才算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理更具有一般性，解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)往往需要先分類(lèi)，每類(lèi)中再分成幾步．在排列、組合教學(xué)的起始階段，不能嫌啰嗦，教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴(yán)格按原理去分析問(wèn)題．只有這樣才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)深刻、理解到位、思路清晰，才會(huì)做到分類(lèi)有據(jù)、分步有方，為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理既是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，也是解決排列、組合問(wèn)題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題．這兩個(gè)原理貫穿排列、組合學(xué)習(xí)過(guò)程的始終．搞好排列、組合問(wèn)題的教學(xué)從這兩個(gè)原理入手帶有根本性．排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問(wèn)題．排列與組合的區(qū)別在于問(wèn)題是否與順序有關(guān)．與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)的是組合問(wèn)題，順序?qū)ε帕小⒔M合問(wèn)題的求解特別重要．排列與組合的區(qū)別，從定義上來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單的，但在具體求解過(guò)程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無(wú)關(guān)系．課時(shí)分配3課時(shí)第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．過(guò)程與方法經(jīng)歷排列數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程，從中體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí)，正確地解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)“化歸”思想的魅力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：排列、排列數(shù)的概念．教學(xué)難點(diǎn)：排列數(shù)公式的推導(dǎo)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過(guò)程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新課))提出問(wèn)題1：前面我們學(xué)習(xí)了分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，請(qǐng)同學(xué)們回顧兩個(gè)原理的內(nèi)容，并回顧兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系．活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師提問(wèn)，學(xué)生補(bǔ)充．活動(dòng)成果：1．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題，區(qū)別在于：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，每一種方法只屬于某一類(lèi)，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個(gè)步驟，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事．應(yīng)用兩種原理解題：①分清要完成的事情是什么；②是分類(lèi)完成還是分步完成，“類(lèi)”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系；③有無(wú)特殊條件的限制．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)兩個(gè)原理，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．提出問(wèn)題2：研究下面三個(gè)問(wèn)題有什么共同特點(diǎn)？能否對(duì)下面的計(jì)數(shù)問(wèn)題給出一種簡(jiǎn)便的計(jì)數(shù)方法呢？問(wèn)題一：從5人的數(shù)學(xué)興趣小組中選2人分別擔(dān)任正、副組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？問(wèn)題二：用1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，共有多少個(gè)？問(wèn)題三：從a，b，c，d，e這5個(gè)字母中，任取兩個(gè)按順序排成一列，共有多少種不同的排法？活動(dòng)設(shè)計(jì)：先獨(dú)立思考，后小組交流，請(qǐng)同學(xué)發(fā)言、補(bǔ)充．活動(dòng)成果：共同特點(diǎn)：?jiǎn)栴}三中把字母a，b，c，d，e分別代表人，就是問(wèn)題一；分別代表數(shù)，就是問(wèn)題二．把上面問(wèn)題中所取的對(duì)象叫做元素，于是問(wèn)題一、二、三都變成問(wèn)題：從五個(gè)不同的元素中任取兩個(gè)，然后按順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？我們把這一類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為排列問(wèn)題，這就是我們今天要研究的內(nèi)容．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三個(gè)具體的實(shí)例引入新課．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知))提出問(wèn)題1：你能把上述三個(gè)問(wèn)題總結(jié)一下，概括出排列的定義嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生舉手發(fā)言、學(xué)生補(bǔ)充，教師總結(jié)．活動(dòng)成果：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．說(shuō)明：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；(2)兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同．從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)．所以符號(hào)Aeq\o\al(m,n)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例總結(jié)概括出排列和排列數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．提出問(wèn)題2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中一名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，一名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，這是不是個(gè)排列問(wèn)題，排列數(shù)怎么求？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答．活動(dòng)成果：這個(gè)問(wèn)題就是從甲、乙、丙3名同學(xué)中每次選取2名同學(xué)，按照參加上午的活動(dòng)在前，參加下午的活動(dòng)在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問(wèn)題，是排列問(wèn)題．解決這一問(wèn)題可分兩個(gè)步驟：第1步，確定參加上午活動(dòng)的同學(xué)，從3人中任選1人，有3種方法；第2步，確定參加下午活動(dòng)的同學(xué)，當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后，參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從余下的2人中去選，于是有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，在3名同學(xué)中選出2名，按照參加上午活動(dòng)在前，參加下午活動(dòng)在后的順序排列的不同方法共有3×2＝6種，如右圖所示．設(shè)計(jì)意圖：分析具體例子，鞏固排列的定義，探索求排列數(shù)的方法．提出問(wèn)題3：從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)，是不是排列問(wèn)題，怎樣求排列數(shù)？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉手回答．活動(dòng)成果：這顯然是個(gè)排列問(wèn)題，解決這個(gè)問(wèn)題分三個(gè)步驟：第一步先確定百位上的數(shù)，在4個(gè)數(shù)中任取1個(gè)，有4種方法；第二步確定十位上的數(shù)，從余下的3個(gè)數(shù)中取，有3種方法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)，從余下的2個(gè)數(shù)中取，有2種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有：4×3×2＝24種不同的方法，用樹(shù)形圖排出，并寫(xiě)出所有的排列．由此可寫(xiě)出所有的排法．顯然，從4個(gè)數(shù)字中，每次取出3個(gè)，按“百”“十”“個(gè)”位的順序排成一列，就得到一個(gè)三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù)．可以分三個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題：第1步，確定百位上的數(shù)字，在1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當(dāng)百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法；第3步，確定個(gè)位上的數(shù)字，當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后，個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從1,2,3,4這4個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出3個(gè)數(shù)字，按“百”“十”“個(gè)”位的順序排成一列，共有4×3×2＝24種不同的排法，因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù)，如圖所示．由此可寫(xiě)出所有的三位數(shù)：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.設(shè)計(jì)意圖：分析具體例子，鞏固排列的定義，探索求排列數(shù)的方法．提出問(wèn)題4：由以上兩個(gè)問(wèn)題我們發(fā)現(xiàn)：Aeq\o\al(2,3)＝3×2＝6，Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24，你能否得出Aeq\o\al(2,n)的意義和Aeq\o\al(2,n)的值？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生舉手發(fā)言、學(xué)生補(bǔ)充，教師總結(jié)．活動(dòng)成果：由Aeq\o\al(2,n)的意義：假定有排好順序的2個(gè)空位，從n個(gè)元素a1，a2，…，an中任取2個(gè)元素去填空，一個(gè)空位填一個(gè)元素，每一種填法就得到一個(gè)排列；反過(guò)來(lái)，任一個(gè)排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)Aeq\o\al(2,n).由分步乘法計(jì)數(shù)原理知完成上述填空共有n(n－1)種填法，∴Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)．設(shè)計(jì)意圖：由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生逐步推導(dǎo)出排列數(shù)公式．提出問(wèn)題5：有上述推導(dǎo)方法，你能推導(dǎo)出Aeq\o\al(3,n)，Aeq\o\al(m,n)嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己推導(dǎo)，學(xué)生板演．活動(dòng)成果：求Aeq\o\al(3,n)可以按依次填3個(gè)空位來(lái)考慮，∴Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，求Aeq\o\al(m,n)可以按依次填m個(gè)空位來(lái)考慮：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，由此可以得到排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．說(shuō)明：(1)公式特征：第一個(gè)因數(shù)是n，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n－m＋1，共有m個(gè)因數(shù)；(2)全排列：當(dāng)n＝m時(shí)即n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列．全排列數(shù)：Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0?。?.所以Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(A\o\al(n,n),A\o\al(n－m,n－m)).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生逐步利用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出排列數(shù)公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))分析下列問(wèn)題，哪些是求排列數(shù)問(wèn)題？(1)有5本不同的書(shū)，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？(2)有5種不同的書(shū)，要買(mǎi)3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？(3)用0,1,2,3,4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(4)用1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？(5)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其不同結(jié)果有多少種？(6)從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其不同結(jié)果有多少種？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己完成，沒(méi)有把握的問(wèn)題和同桌討論．教師巡視，找同學(xué)說(shuō)出答案和理由．活動(dòng)成果：(1)是(2)不是(3)是(4)是(5)不是(6)不是(2)不是從5個(gè)不同的元素中選出三個(gè)不同的元素，而是從多個(gè)可以相同的元素中，選出三個(gè)元素排成一列，不符合排列中元素不同的規(guī)定．(3)是排列問(wèn)題，但排列數(shù)中有一部分0在百位的不是三位數(shù)．(5)中選出的兩個(gè)元素的和與順序無(wú)關(guān)，不符合排列的定義．設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)排列和排列數(shù)的理解．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用新知))例1解方程：3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x).思路分析：利用排列數(shù)公式求解即可．解：由排列數(shù)公式得：3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，∵x≥3，∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝eq\f(2,3)，∵x≥3，且x∈N，∴原方程的解為x＝5.點(diǎn)評(píng)：解含排列數(shù)的方程和不等式時(shí)要注意排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)中，m，n∈N且m≤n這些限制條件，要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍．【鞏固練習(xí)】1．解不等式：Aeq\o\al(x,9)>6Aeq\o\al(x－2,9).2．求證：(1)Aeq\o\al(n,n)＝Aeq\o\al(m,n)·Aeq\o\al(n－m,n－m)(2)eq\f(（2n）！,2n·n！)＝1·3·5…(2n－1)．解答或證明：1.解：原不等式即eq\f(9！,(9－x)！)>6·eq\f(9！,(11－x)！)，也就是eq\f(1,(9－x)！)>eq\f(6,(11－x)·(10－x)·(9－x)！)，化簡(jiǎn)得：x2－21x＋104>0，解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x∈N，所以，原不等式的解集為{3,4,5,6,7}．2．證明：(1)Aeq\o\al(m,n)·Aeq\o\al(n－m,n－m)＝eq\f(n！,(n－m)！)(n－m)?。絥?。紸eq\o\al(n,n)，∴原式成立．(2)eq\f(2n！,2n·n！)＝eq\f(2n·(2n－1)·(2n－2)…4·3·2·1,2n·n！)＝eq\f(2nn·(n－1)…2·1·(2n－1)(2n－3)…3·1,2n·n！)＝eq\f(n！·1·3…(2n－3)(2n－1),n！)＝1·3·5…(2n－1)＝右邊，∴原式成立．點(diǎn)評(píng)：公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用來(lái)求值，特別是m，n均為已知時(shí)；公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！)常用來(lái)證明或化簡(jiǎn)．【變練演編】化簡(jiǎn)：(1)eq\f(1,2！)＋eq\f(2,3！)＋eq\f(3,4！)＋…＋eq\f(n－1,n！)；(2)1×1！＋2×2?。?×3！＋…＋n×n！.(1)解：原式＝1?。璭q\f(1,2！)＋eq\f(1,2！)－eq\f(1,3！)＋eq\f(1,3！)－eq\f(1,4！)＋…＋eq\f(1,n－1！)－eq\f(1,n！)＝1－eq\f(1,n！).(2)提示：由(n＋1)！＝(n＋1)n?。絥×n?。玭！，得n×n！＝(n＋1)?。璶！，原式＝(n＋1)！－1.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．計(jì)算：(1)Aeq\o\al(3,10)；(2)eq\f(A\o\al(8,12),A\o\al(7,12)).2．若Aeq\o\al(m,n)＝17×16×15×…×5×4，則n＝______，m＝______.3．若n∈N*，且55＜n＜69，則(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列數(shù)符號(hào)表示為_(kāi)_____．答案：1.(1)720(2)52.17143.Aeq\o\al(15,69－n)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．知識(shí)收獲：排列概念、排列數(shù)公式．2．方法收獲：化歸．3．思維收獲：分類(lèi)討論、化歸思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)))【基礎(chǔ)練習(xí)】1．若x＝eq\f(n！,3！)，則x＝()A．Aeq\o\al(3,n)B．Aeq\o\al(n－3,n)C．Aeq\o\al(n,3)D．Aeq\o\al(3,n－3)2．與Aeq\o\al(3,10)·Aeq\o\al(7,7)不等的是()A．Aeq\o\al(9,10)B．81Aeq\o\al(8,8)C．10Aeq\o\al(9,9)D．Aeq\o\al(10,10)3．若Aeq\o\al(5,m)＝2Aeq\o\al(3,m)，則m的值為()A．5B．3C．6D．74．計(jì)算：eq\f(2A\o\al(5,9)＋3A\o\al(6,9),9?。瑼\o\al(6,10))＝________；eq\f((m－1)！,A\o\al(n－1,m－1)·(m－n)！)＝________.【拓展練習(xí)】5．若2<eq\f((m＋1)