第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。而這次的危機(jī)是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。

第2頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月一、危機(jī)的出現(xiàn)17世紀(jì)數(shù)學(xué)史上出現(xiàn)了一個嶄新的數(shù)學(xué)分支——數(shù)學(xué)分析，或稱微積分。微積分成為解決問題的重要工具。同時關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問題也越來越嚴(yán)重。由無窮小量究竟是不是零的問題引起了極大的爭論，從而引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。第3頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓的“無窮小”牛頓的「無窮小量」無窮小量在牛頓的微積分中的主要運(yùn)用。無窮小量的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程在邏輯上自相矛盾。也正因?yàn)樗倪壿嬌喜粐?yán)格，而遭到責(zé)難。牛頓(IsaccNewton,1642—1727)英國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家

第4頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月微積分受到攻擊與責(zé)難十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家對待微積分發(fā)展的態(tài)度。對這些基礎(chǔ)問題的討論不感興趣。認(rèn)為所謂的嚴(yán)密化就是煩瑣。在微積分的發(fā)展過程中，出現(xiàn)了兩種不榮樂觀的局面。微積分的基礎(chǔ)問題受到一些人的批判和攻擊，其中最有名的是貝克萊主教在1734年的攻擊。第5頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月貝克萊的發(fā)難貝克萊，18世紀(jì)英國哲學(xué)家，西方近代主觀唯心主義哲學(xué)的主要代表。他對微積分強(qiáng)有力的批評，在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了最令人震撼的撞擊。1734年，貝克萊以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本針對微積分基礎(chǔ)的書——《分析學(xué)家》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進(jìn)行了攻擊。他指責(zé)牛頓“依靠雙重錯誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因?yàn)闊o窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的鬼魂”。貝克萊的攻擊真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。

這使得數(shù)學(xué)家在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至柯西創(chuàng)立極限理論，才較好地反駁了貝克萊的責(zé)難。直至魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“”語言，才徹底地反駁了貝克萊的責(zé)難。貝克萊1685年3月12日出生于愛爾蘭基爾肯尼郡1753年1月14日卒于牛津。

第6頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，貝克萊的責(zé)難是有道理的。“無窮小”的方法在概念上和邏輯上都缺乏基礎(chǔ)。牛頓和當(dāng)時的其它數(shù)學(xué)家并不能在邏輯上嚴(yán)格說清“無窮小”的方法。數(shù)學(xué)家們相信它，只是由于它使用起來方便有效，并且得出的結(jié)果總是對的。特別是像海王星的發(fā)現(xiàn)那樣鼓舞人心的例子，顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力。所以，人們不大相信貝克萊的指責(zé)。這表明，在大多數(shù)人的腦海里，“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)?！钡?頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、危機(jī)的實(shí)質(zhì)

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想的不嚴(yán)密的、直觀的、強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算，而不管基礎(chǔ)的可靠與否，也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。

其實(shí)，在牛頓把瞬時速度說成“物體所走的無窮小距離與所用的無窮小時間之比”的時候，這種說法本身就是不明確的，是含糊的。當(dāng)然，牛頓也曾在他的著作中說明，然提出和使用了“極限”這個詞，但并沒有明確說清這個詞的意思。

德國的萊布尼茨雖然也同時發(fā)明了微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。正因?yàn)槿绱?，此后近二百年間的數(shù)學(xué)家，都不能滿意地解釋貝克萊提出的悖論。所以，由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的基礎(chǔ)。第8頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月三、危機(jī)的解決進(jìn)入19世紀(jì)，歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。終于在數(shù)學(xué)家們的共同努力下，到19世紀(jì)末，分析的嚴(yán)格化問題得到了解決。第9頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月第一個為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地的意見的是達(dá)朗貝爾。他在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時使用的粗糙的極限理論。到了19世紀(jì)，出現(xiàn)了一批杰出的數(shù)學(xué)家，他們積極為微積分的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家波爾查諾，他開始將嚴(yán)格的論證引入到數(shù)學(xué)分析中。1816年，他在二項(xiàng)展開公式的證明中，明確提出了級數(shù)收斂的概念，同時對極限、連續(xù)和變量有了較深入的理解。達(dá)朗貝爾（法）波爾查諾第10頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月

分析學(xué)的奠基人，公認(rèn)是法國的多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家柯西，柯西在數(shù)學(xué)分析和置換群理論方面作了開拓性的工作，是最偉大的近代數(shù)學(xué)家之一?？挛髟?821～1823年間出版的《分析教程》和《無窮小計(jì)算講義》是數(shù)學(xué)史上劃時代的著作，在那里，他給出了數(shù)學(xué)分析一系列基本概念的精確定義。例如，他給出了精確的極限定義，然后用極限定義連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性?？挛鞯?1頁，課件共13頁，創(chuàng)作于2023年2月接著，魏爾斯特拉斯建立了實(shí)數(shù)系，創(chuàng)造了精確的“”語言戴德金，康托爾等又將實(shí)數(shù)理論嚴(yán)密化。分析有了嚴(yán)密的基礎(chǔ)和完整的體系微積分學(xué)。無論是基本概念，還是在邏輯嚴(yán)密性、形式嚴(yán)謹(jǐn)性上，都有歐氏幾何學(xué)