高二數(shù)學(xué)空間角的計(jì)算

3.2.3空間的角的計(jì)算

空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時(shí)，可用定量的計(jì)算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點(diǎn)之一。我們主要研究怎么樣用向量的辦法解決空間角的問題?？臻g的角：空間的角常見的有：線線角、線面角、面面角。

空間兩條異面直線所成的角可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的銳角或直角。故我們研究線線角時(shí)，就主要求范圍內(nèi)的角；斜線與平面所成的角是指斜線與它在面內(nèi)的射影所成銳角，再結(jié)合與面垂直、平行或在面內(nèi)這些特殊情況，線面角的范圍也是；兩個(gè)平面所成的角是用二面角的平面角來(lái)度量。它的范圍是。總之，空間的角最終都可以轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角。因此我們可以考慮通過兩個(gè)向量的夾角去求這些空間角。異面直線所成角的范圍：

思考：結(jié)論：一、線線角：所以與所成角的余弦值為解：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，設(shè)則：

所以：例一：練習(xí)：在長(zhǎng)方體

中，簡(jiǎn)解：直線與平面所成角的范圍：

思考：結(jié)論：二、線面角：例二：在長(zhǎng)方體中，簡(jiǎn)解：所以~~~~練習(xí)：

的棱長(zhǎng)為1.正方體xyz設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，l將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設(shè)二面角的大小為，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范圍：例三：如圖3，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線（庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長(zhǎng)為,AB的長(zhǎng)為。求庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則有于是，得設(shè)向量與的夾角為，就是庫(kù)底與水壩所成的二面角。因此ABCD所以所以庫(kù)底與水壩所成二面角的余弦值為ll三、面面角：二面角的范圍：②法向量法注意法向量的方向：一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角設(shè)平面

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角小結(jié)：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

lDCBA3.二面角：ll一進(jìn)一出，二面角等于法向量的夾角；同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角。2、如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是=（1，0，1），=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是______.3、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為______.練習(xí):1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)法向量是______.60013504.三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點(diǎn),則PA與BE所成角的余弦值為_________.

5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.6.正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點(diǎn),則二面角E-BC-A的大小是________7.正三棱柱中，D是AC的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM

解法一：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b,則C(0,0,0)故則可設(shè)=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線段的比為由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz

在坐標(biāo)平面yoz中

設(shè)面的一個(gè)法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可?。?1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角8.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖。則可得8.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，

O為AC和BD的交點(diǎn)，M為的中點(diǎn)（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B1A1C1D1DCBAOMxyz習(xí)題課例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZG解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1(1)證明：連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EGABCDPEFXYZG(2)求證：PB⊥平面EFDABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyzSABDOC證明：(1)取BC中點(diǎn)O，連接OA、OS。(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直線SD與平面SAB所成角的正弦值為例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。

DBACEPxzy解：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BE=m，則例4、(2004，天津)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)。(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點(diǎn)(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB與底面ABCD所成的角的正弦值為所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進(jìn)一出”的情況，二面角等于法向量夾角1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值(2)OS與面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【練習(xí)】

OABCSxyz1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值OABCSxyz1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(2)OS與面SAB所成角的余弦值所以O(shè)S與面SAB所成角的余弦值為OABCSxyz所以二面角B－AS－O的余弦值為1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(3)二面角B－AS－O的余弦值2、在如圖的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面ABCD與平面ABEF互相垂直?；顒?dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=BN=（1）求MN的長(zhǎng)；（2）a為何值時(shí)？MN的長(zhǎng)最??？（3）當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成二面角的余弦值。ABCDEFMNABCDMNE3、如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體