二重積分的變量變換_第1頁(yè)
二重積分的變量變換_第2頁(yè)
二重積分的變量變換_第3頁(yè)
二重積分的變量變換_第4頁(yè)
二重積分的變量變換_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè)，還剩12頁(yè)未讀， 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權(quán)，請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

§4

二重積分的變量變換

本節(jié)將介紹二重積分的變量變換公式,并用格林公式加以證明.特別對(duì)常用的極坐標(biāo)變換方法作了詳細(xì)的討論.

一、二重積分的變量變換公式返回三、二重積分的廣義極坐標(biāo)變換二、二重積分的極坐標(biāo)變換定理21.13

設(shè)在有界閉區(qū)域

D上可積,變換將

uv平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一對(duì)一地映成

xy平面上的閉區(qū)域

D,函數(shù)在內(nèi)分別具有

一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且它們的函數(shù)行列式則有一、二重積分的變量變換公式例1

求其中

D是由解為了簡(jiǎn)化被積函數(shù),令所圍的區(qū)域(圖21-23).

即作變換它的函數(shù)行列式為在T的作用下,區(qū)域D的如圖

21-24所示.

原象所以二、二重積分的極坐標(biāo)變換當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,或者被積函數(shù)的形式為時(shí),采用極坐標(biāo)變換(8)往往能達(dá)到簡(jiǎn)化積分區(qū)域或被積函數(shù)的目的.此時(shí),變換

T的函數(shù)行列式為定理21.14

設(shè)滿足定理21.13的條件,且在極坐標(biāo)變換

(8)下,平面上的有界閉域

D

與平

面上區(qū)域?qū)?yīng),則成立由定理21.14看到,用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分時(shí),除變量作相應(yīng)的替換外,還須把“面積微元”換

成下面介紹二重積分在極坐標(biāo)系下如何化為累次積分來計(jì)算.1.

常用的是將分解為平面中的型區(qū)域.(i)若原點(diǎn)則型區(qū)域必可表示成(圖21-27)于是有(ii)若原點(diǎn)為

D

的內(nèi)點(diǎn)(圖21-28(a)),D

的邊界的極坐標(biāo)方程為則一般可表示成于是有(iii)

若原點(diǎn)在

D的邊界上(圖21-28(b)),則為:于是有解.畫草圖例2.計(jì)算所圍第一象限部分.,由圓周,及直線1212o

例3.計(jì)算,解:畫草圖.解:畫草圖.例4.

計(jì)算,2o例5

計(jì)算其中

D為圓域:解由于原點(diǎn)為

D的內(nèi)點(diǎn),故由

(12)式,有例6

求球體被圓柱面所割下部分的體積

(

稱為維維安尼

(Viviani)

體

).解由所求立體的對(duì)稱性(圖21-31),只要求出在第一卦限內(nèi)的部分體積,再乘以4,即得所求立體的體(圖21-32),而曲頂?shù)姆匠虨樗院?由

(13)式便可求得

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽，若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間，僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理，對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容，請(qǐng)與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論