2021中考數(shù)學(xué)雙線段最值之PA+PB、PA+K·PB、PA-PB型-1.18

專題一雙線段最值之（PA+PB）型類型一：兩定一動(dòng)（將軍飲馬問(wèn)題）這類問(wèn)題的解法主要是通過(guò)軸對(duì)稱，將動(dòng)點(diǎn)所在直線同側(cè)的兩定點(diǎn)中的一個(gè)映射到直線的另一側(cè)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題。例題.如圖，A，B為兩定點(diǎn)，點(diǎn)P在定直線上運(yùn)動(dòng)，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最??？【解析】作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A’、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA’+PB=A’B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）鞏固1．如圖，在中，，是的兩條中線，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于最小值的是（）A． B． C． D．【解析】在中，，AD是的中線，可得點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于直線AD對(duì)稱，連結(jié)CE，交AD于點(diǎn)P，此時(shí)最小，為EC的長(zhǎng)，故選B.鞏固2．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值_____．【解析】如圖：連接DE交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PD＝PB，PB+PE＝PD+PE＝DE為其最小值，∵四邊形ABCD為正方形，且BE＝2，AB＝8，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝8，AE＝AB-BE＝6，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得DE＝＝＝10．∴PB+PE的最小值為10．鞏固3．如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．【解析】如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=CD=3，∴BE==．故選A．鞏固4．如圖，∠AOB邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（3，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【解析】作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等邊三角形，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴N′M⊥ON，又∵點(diǎn)N（3，0），∴ON=3，∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∴OM=1.5，∴PM=，∴P（，）鞏固5．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABC=120°，M是BC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PB+PM的值最小時(shí)，PM的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【解析】如圖，連接DP，BD，作DH⊥BC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴PB+PM=PD+PM，∴當(dāng)D、P、M共線時(shí)，P′B+P′M=DM的值最小，∵CM=BC=2，∵∠ABC=120°，∴∠DBC=∠ABD=60°，∴△DBC是等邊三角形，∵BC=6，∴CM=2，HM=1，DH=，在Rt△DMH中，DM===，∵CM∥AD，∴==，∴P′M=DM=．故選A．鞏固6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊交軸于點(diǎn)，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）∵是矩形，∴，∵，∴，∴，又∵軸，∴，∴，∵∴，即把點(diǎn)代入的得，，∴反比例函數(shù)的解析式為：．（2）過(guò)點(diǎn)作垂足為，∵，，∴，∴，∴，則關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與軸交點(diǎn)是所求點(diǎn)，此時(shí)最小，設(shè)直線AB1的關(guān)系式為，將,，代入得，解得，，∴直線的關(guān)系式為當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)鞏固7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，連接DF，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)G．（1）猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)H作MN∥CD，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，求△PDC周長(zhǎng)的最小值．【解析】（1）結(jié)論：CF=2DG．理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，又∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作點(diǎn)C關(guān)于NM的對(duì)稱點(diǎn)K，連接DK交MN于點(diǎn)P，連接PC，此時(shí)△PDC的周長(zhǎng)最短，周長(zhǎng)的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周長(zhǎng)的最小值為10+2．

鞏固8．如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C．(1)求拋物線的解析式(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，求CE+OE的最小值；(3)如圖2所示，M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P、N．①若以C，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，則△CPN的面積為；②若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以點(diǎn)D，F(xiàn)，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．注：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()【解析】(1)將代入，將和代入，拋物線解析式為(2)做點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線的對(duì)稱點(diǎn)，連，交直線于點(diǎn)．連，此時(shí)的值最小．拋物線對(duì)稱軸位置線，由勾股定理，的最小值為5(3)①當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的面積為當(dāng)時(shí)，由已知為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則為，，代入，解得，的面積為4②存在，設(shè)坐標(biāo)為則為，則點(diǎn)坐標(biāo)為把點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得(舍去)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在垂直平分線上，則當(dāng)時(shí)，由菱形性質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，、關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)坐標(biāo)為鞏固9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試探究：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A，P，C為頂點(diǎn)，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣x2+2x+3=3，則C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接DB′交y軸于M，如圖1，則B′（﹣3，0），∵M(jìn)B=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此時(shí)MB+MD的值最小，而B(niǎo)D的值不變，∴此時(shí)△BDM的周長(zhǎng)最小，易得直線DB′的解析式為y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，3）；（3）存在．過(guò)點(diǎn)C作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，如圖2，∵直線AC的解析式為y=3x+3，∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直線PC的解析式為y=﹣x+3，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線于另一點(diǎn)P，直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣，解方程組，解得或，則此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）.綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，﹣）.鞏固10．如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在直線BC上有一點(diǎn)P，使PO+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，∴C（0，3）．把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，∴B（3，0），A（﹣1，0）.將C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，解得b=2，c=3．∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．（2）如圖所示：作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O′，則O′（3，3）．∵O′與O關(guān)于BC對(duì)稱，∴PO=PO′．∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴OP+AP的最小值=O′A==5．O′A的方程為y=P點(diǎn)滿足解得：，所以P(,)（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）．又∵C（0，3，B（3，0），∴CD=，BC=3，DB=2．∴CD2+CB2=BD2，∴∠DCB=90°．∵A（﹣1，0），C（0，3），∴OA=1，CO=3．∴．又∵∠AOC=DCB=90°，∴△AOC∽△DCB．∴當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，△AQC∽△DCB．如圖所示：連接AC，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥AC，交x軸與點(diǎn)Q．∵△ACQ為直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．∴，即，解得：AQ=10．∴Q（9，0）．綜上所述，當(dāng)Q坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似．

鞏固11．在直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)三點(diǎn),,．（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；（2）是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)（在圖1中探索）；（3）在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn)，使四邊形是以為對(duì)角線且面積為的平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）【解析】根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：，∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得：，拋物線的表達(dá)式為：，函數(shù)的對(duì)稱軸為：；連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)，此時(shí)的值為最小，設(shè)BC的解析式為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：，得解得直線的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)；存在，理由：四邊形是以為對(duì)角線且面積為的平行四邊形，則，點(diǎn)在第四象限，則，將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得，解得：或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

鞏固12．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、G分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AF=14（1）求證：EF⊥AG；（2）若點(diǎn)F、G分別在射線AB、BC上同時(shí)向右、向上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只寫(xiě)結(jié)果，不需說(shuō)明理由）？（3）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)SΔPAB=S△OAB【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，∵點(diǎn)E、G分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AF=AB，∴=，=，∴，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；（2）成立；理由如下：根據(jù)題意得：=，∵=，∴=，又∵∠EAF=∠ABG，∴△AEF∽△BAG，∴∠AEF=∠BAG，∵∠BAG+∠EAO=90°，∴∠AEF+∠EAO=90°，∴∠AOE=90°，∴EF⊥AG；（3）過(guò)O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如圖所示：則MN⊥AD，MN=AB=4，∵P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)S△PAB=S△OAB，∴點(diǎn)P在線段MN上，當(dāng)P為MN的中點(diǎn)時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小，此時(shí)PA=PB，PM=MN=2，連接EG、PA、PB，則EG∥AB，EG=AB=4，∴△AOF∽△GOE，∴=，又∵M(jìn)N∥AB，∴=，∴AM=AE=×2=，由勾股定理得：PA==，∴△PAB周長(zhǎng)的最小值=2PA+AB=類型二：兩定兩動(dòng)運(yùn)用平移變換，把保持平移后的線段與原來(lái)線段平行且相等的特性下，把無(wú)公共端點(diǎn)的兩線段移動(dòng)到具有公共端點(diǎn)的新位置，從而轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問(wèn)題求解最值。例題1.已知將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？(將軍過(guò)橋)【解析】考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置．問(wèn)題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置．例題2.已知A、B兩點(diǎn)，MN長(zhǎng)度為定值，求確定M、N位置使得AM+MN+NB值最??？(將軍遛馬）【解析】考慮MN為定值，故只要AM+BN值最小即可．將AM平移使M、N重合，AM=A’N，將AM+BN轉(zhuǎn)化為A’N+NB．構(gòu)造點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A’’，連接A’’B，可依次確定N、M位置，可得路線．鞏固1．在矩形中，，，為的中點(diǎn)，若為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若想使得四邊形的周長(zhǎng)最小，則的長(zhǎng)度應(yīng)為_(kāi)___.【解析】如圖，在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．∵E為CD的中點(diǎn)，∴CE=2∴GH=DF=5，EH=2+4=6，∠H=90°，

∵BC//GH∴,

∴,∴，

∴CQ=，∴BP=CB-PQ-CQ=7-2-．

鞏固2．如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點(diǎn)P到直線l1的距離為6，點(diǎn)Q到直線l2的距離為4，，在直線l1上有一動(dòng)點(diǎn)A，直線l2上有一動(dòng)點(diǎn)B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時(shí)PA+BQ=______．【解析】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，連接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此時(shí)PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四邊形ABCP是平行四邊形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案為16．

鞏固3．如圖所示，拋物線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，且（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，求四邊形的周長(zhǎng)的最小值；（3）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）∵OB=OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3…①；對(duì)稱軸為：直線（2）ACDE的周長(zhǎng)=AC+DE+CD+AE，其中AC=，DE=1是常數(shù)，故CD+AE最小時(shí)，周長(zhǎng)最小，取點(diǎn)C關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)C（2，3），則CD=C′D，取點(diǎn)A′（-1，1），則A′D=AE，故：CD+AE=A′D+DC′，則當(dāng)A′、D、C′三點(diǎn)共線時(shí)，CD+AE=A′D+DC′最小，周長(zhǎng)也最小，四邊形ACDE周長(zhǎng)最小=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，則BE：AE，=3：5或5：3，則AE=或，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點(diǎn)E、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=kx+3，解得：k=-6或-2，故直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．

類型三：一定兩動(dòng)一定兩動(dòng)型可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短和點(diǎn)到直線的垂線段最短問(wèn)題，進(jìn)而求最值。關(guān)鍵是作定點(diǎn)（或動(dòng)點(diǎn)）關(guān)于動(dòng)折點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，通過(guò)等量代換轉(zhuǎn)化問(wèn)題。例題1.點(diǎn)P是定點(diǎn)，在OA、OB上分別取M、N，使得PM+MN最小?！窘馕觥孔鼽c(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過(guò)點(diǎn)P’作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（垂線段最短）例題2.點(diǎn)P是定點(diǎn)，在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長(zhǎng)最?。窘馕觥糠謩e作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最?。?/p>

鞏固1．如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為_(kāi)___.【解析】過(guò)C點(diǎn)作BD平行線，以為對(duì)稱軸作B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于點(diǎn)根據(jù)平移和對(duì)稱可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，即，又，根據(jù)勾股定理得，，故答案為鞏固2．如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A，C，E三點(diǎn)，其中A（﹣3，0），C（0，4），點(diǎn)B在x軸上，AC=BC，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是線段CO，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△CMN是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）試求出AM+AN的最小值．【解析】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4；∵AC=BC，CO⊥AB，∴OB=OA=3，∴B（3，0），∵BD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣×9+×3+4=5，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，5）；（2）在Rt△OBC中，BC==5，設(shè)M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，∵∠MCN=∠OCB，∴當(dāng)時(shí)，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；當(dāng)時(shí)，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，即，解得m=，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，）或（0，）；（3）連接DN，AD，如圖，∵AC=BC，CO⊥AB，∴OC平分∠ACB，∴∠ACO=∠BCO，∵BD∥OC，∴∠BCO=∠DBC，∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A、N、D共線時(shí)取等號(hào)），∴DN+AN的最小值=，∴AM+AN的最小值為．

專題二雙線段最值之（PA+K·PB）型類型一：胡不歸模型胡不歸模型問(wèn)題解題步驟如下；將線段和改為“PA+PB”形式（<1），若>1，提系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1形式解決在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個(gè)角度α，使得sinα=最后利用兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題例題1.如圖1-1所示，A是出發(fā)地，B是目的地，直線AD為驛道，AD以外為砂地，在驛道和砂地上的行走速度分別為V1和V2，在AC上找一點(diǎn)D，使從A→D→B的行走時(shí)間最短。【解析】設(shè)總時(shí)間t，,提取系數(shù)轉(zhuǎn)化為BD+AD（<1）形式；如圖1-2在AD一側(cè)構(gòu)造α，使sinα=，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義則有AD=DG，問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為BD+DG最小值問(wèn)題；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短易知DG+DB≥BG,當(dāng)且僅當(dāng)B、D、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)如圖1-3所示，再利用垂線段最短，只需過(guò)點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，此時(shí)垂線段即所求最小值

鞏固1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是()A． B． C． D．10【解析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，設(shè)AE=a，BE=2a，則有100=a2+4a2，∴a2=20∴a=2或-2（舍棄），∴BE=2a=4∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB∴CM=BE=4（等腰三角形兩腰上的高相等）∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA∴∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH∴CD+DH≥CM，∴CD+BD≥4，∴CD+BD的最小值為4，故選B

鞏固2．拋物線過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，．(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過(guò)點(diǎn)A作，垂足為M，求證：四邊形ADBM為正方形；(3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)函數(shù)的表達(dá)式為：，即：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：，則頂點(diǎn)；(2)，，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴，又∵D(2，-1)，∴AD=BD=，∴AM=MB=AD=BD，∴四邊形ADBM為菱形，又∵，菱形ADBM為正方形；(3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線BC的表達(dá)式為：y=-x+3，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)N，則，，故有最大值，此時(shí)，故點(diǎn)；(4)存在，理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為H，交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)，則最小值，在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，∴OF=，∴F(-，0)，利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為：…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，∴OQ=AO?tan∠FAQ=，∴Q(0,)，利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為：…②，聯(lián)立①②并解得：，故點(diǎn)，而點(diǎn)，則，即的最小值為鞏固3．在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點(diǎn)、(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，的面積為5．(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；(2)拋物線上動(dòng)點(diǎn)在一次函數(shù)圖象下方，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求的最小值．【解析】(1)將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到的拋物線解析式為，∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式得，，∴，∴拋物線的解析式為，即．令，解得，，∴，∴，∵的面積為5，∴，∴，代入拋物線解析式得，，解得，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為．(2)過(guò)點(diǎn)作軸交于，如圖，設(shè)，則，∴，∴∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．(3)作關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，過(guò)作于，交軸于∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最小，∵，，∴，∴．∴的最小值是3鞏固4．已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)，時(shí)，求的值；（Ⅲ）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求的值．【解析】（Ⅰ）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴．即．當(dāng)時(shí)，，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，拋物線的解析式為．∵點(diǎn)在拋物線上，∴．由，得，，∴點(diǎn)在第四象限，且在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則點(diǎn)．∴，．得．∴在中，．∴．由已知，，∴．∴．（Ⅲ）∵點(diǎn)在拋物線上，∴．可知點(diǎn)在第四象限，且在直線的右側(cè)．考慮到，可取點(diǎn)，如圖，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，與軸相交于點(diǎn)，有，得，則此時(shí)點(diǎn)滿足題意．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)．在中，可知．∴，．∵點(diǎn)，∴．解得．∵，∴．∴．

鞏固5．如圖，在平面在角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．（1）連結(jié)BD，點(diǎn)M是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)B，D重合），過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BD交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時(shí)，把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，把△AOQ繞點(diǎn)O瓶時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中邊AQ交坐標(biāo)軸于點(diǎn)C在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)G使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）如圖1∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）∵點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，且﹣4∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（1，﹣4）∴直線BD的解析式為：y＝2x﹣6，由題意，可設(shè)點(diǎn)N（m，m2﹣2m﹣3），則點(diǎn)F（m，2m﹣6）∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3∴當(dāng)m＝＝2時(shí)，NF取到最大值，此時(shí)MN取到最大值，此時(shí)HF＝2，此時(shí)，N（2，﹣3），F(xiàn)（2，﹣2），H（2，0）在x軸上找一點(diǎn)K（，0），連接CK，過(guò)點(diǎn)F作CK的垂線交CK于點(diǎn)J點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，∴sin∠OCK＝，直線KC的解析式為：，且點(diǎn)F（2，﹣2），∴PJ＝PC，直線FJ的解析式為：∴點(diǎn)J（,）∴FP+PC的最小值即為FJ的長(zhǎng)，且∴；（2）由（1）知，點(diǎn)P（0，），∵把點(diǎn)P向上平移個(gè)單位得到點(diǎn)Q，∴點(diǎn)Q（0，﹣2）∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中點(diǎn)G，連接OG，則OG＝GQ＝AQ＝，此時(shí)，∠AQO＝∠GOQ把△AOQ繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G①如圖2G點(diǎn)落在y軸負(fù)半軸，則G（0，﹣），過(guò)Q'作Q'I⊥x軸交x軸于點(diǎn)I，且∠GOQ'＝∠Q'則∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，∵sin∠OAQ＝＝＝∴，解得：|IO|＝∴在Rt△OIQ'中根據(jù)勾股定理可得|OI|＝∴點(diǎn)Q'的坐標(biāo)為Q'（，﹣）；②如圖3，當(dāng)G點(diǎn)落在x軸的正半軸上時(shí)，同理可得Q'（，）③如圖4當(dāng)G點(diǎn)落在y軸的正半軸上時(shí)，同理可得Q'（﹣，）④如圖5當(dāng)G點(diǎn)落在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得Q'（﹣，﹣）綜上所述，所有滿足條件的點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）

鞏固6．如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)B(－1，0)，D(－2，5)兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，點(diǎn)H是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H的直線PQ⊥x軸，分別交直線AD、拋物線于點(diǎn)Q、P.(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P，使∠APB＝90°，若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；(3)連接BQ，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BQ以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到Q，再沿線段QD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)t最少？【解析】（1）把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入，得，解得，∴拋物線的解析式為：（2）存在點(diǎn)P，使∠APB=90°．當(dāng)y=0時(shí)，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴OB=1，OA=3．設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，∵∠APB=90°，PH⊥AB，∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH，∠AHP=∠PHB，∴△AHP∽△PHB，∴，∴PH2=BH?AH，∴[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解得m1=，m2=，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：或

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，則DN=5，ON=2，AN=3+2=5∴tan∠DAB==1，∴∠DAB=45°過(guò)點(diǎn)D作DK∥x軸，則∠KDQ=∠DAB=45°，DQ=QG由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線BQ+QD運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=BQ+DQ，∴t=BQ+QG，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線BQ+QG的長(zhǎng)度值由垂線段最短可知，折線BQ+QG的長(zhǎng)度的最小值為DK與x軸之間的垂線段過(guò)點(diǎn)B作BH⊥DK于點(diǎn)H，則t最小=BH，BH與直線AD的交點(diǎn)，即為所求之Q點(diǎn)∵A（3，0），D（﹣2，5）∴直線AD的解析式為y=﹣x+3∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1∴y=1+3=4∴Q（﹣1，4）．類型二：阿氏圓模型“阿氏圓”模型核心知識(shí)點(diǎn)是構(gòu)造母子型相似，構(gòu)造△PAB∽△CAP推出，即：半徑的平方=原有線段構(gòu)造線段。例題1.如圖1所示，⊙O的半徑為r,點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB.連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？Step1:連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OP、OB；Step2：計(jì)算連接線段OP、OB長(zhǎng)度；Step3：計(jì)算兩線段長(zhǎng)度的比值；Step4：在OB上截取一點(diǎn)C，使得構(gòu)建母子型相似:Step5：連接AC，與圓0交點(diǎn)為P，即AC線段長(zhǎng)為PA+K*PB的最小值?！発PB（2OCOC=k·r,則可說(shuō)明△BPO△PCOk·PB=PC。∴本題求“PA+k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA+PC”A、P、三點(diǎn)共線時(shí)最?。ㄈ鐖D3）時(shí)AC線段長(zhǎng)即所求最小值。

鞏固1．如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)直線為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線的解析式為yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F(xiàn)（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3），解得m或（舍棄），∴當(dāng)FH＝HP時(shí)，m的值為．（3）如圖，∵PF是對(duì)稱軸，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點(diǎn)K，使得HK，此時(shí)K（）．∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當(dāng)E、Q、K共線時(shí)，AQ+QE的值最小，最小值．

專題三雙線段最值之（PA-PB）型類型一：同側(cè)差值最大問(wèn)題根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊，|PA-PB|≤AB,當(dāng)A,B,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，即|PA-PB|的最大值為線段AB的長(zhǎng)。例題1.兩定點(diǎn)A,B位于直線同側(cè)，在直線上找一點(diǎn)P，使得|PA-PB|的值最大？【解析】連接AB并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)p，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B’，P三點(diǎn)共線時(shí)，|PA-PB|值最大。

類型二：異側(cè)差值最大問(wèn)題將異側(cè)問(wèn)題通過(guò)作對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為同側(cè)問(wèn)題。例題2.兩定點(diǎn)A,B位于直線異側(cè)，在直線上找一點(diǎn)P，使得