勾股定理的證明比較全的證明方法課件

2002年北京國際數(shù)學家大會會標北京歡迎您！2002年北京國際數(shù)學家大會會標北京歡迎您！同學們！三角形的知識之前我們已學習了不少。直角三角形是一種特殊的三角形，從今天開始，我們嘗試著研究直角三角形三邊之間的關(guān)系。同學們！三角形的知識之前我們已學習了不少。直角三角形是一種特17．1勾股定理（一）17．1勾股定理（一）學習目標1，掌握直角三角形三邊之間的關(guān)系（即勾股定理的內(nèi)容）。2，通過探究，了解勾股定理的證明過程，并掌握1----2種證明方法。學習目標1，掌握直角三角形三邊之間的關(guān)系（即勾股定理的內(nèi)容）自研共探：為了實現(xiàn)本節(jié)的學習目標，請同學們按照以下要求來自學。認真看課本P22—P24，注意：1、結(jié)合P22思考前的故事及“黃色書簽”,你在知識的認知上應(yīng)該養(yǎng)成怎樣的品質(zhì)？2、結(jié)合P22思考和圖形17.1-2，你認為老畢先生發(fā)現(xiàn)了什么？跨越兩千多年的時空，看你和老畢是否有心靈的默契？之后用P22下面三行小字驗證你的發(fā)現(xiàn)。3、用數(shù)形結(jié)合與面積法思想，借助P22探究與網(wǎng)格再驗證其它直角三角形三邊是否有同樣的性質(zhì)4、準確記憶P23命題1﹙勾股定理﹚，分清題設(shè)與結(jié)論。﹙猜想﹚5、利用P23“趙爽弦圖”和面積法證明勾股定理6、務(wù)必明確勾股定理的兩個關(guān)于：關(guān)于直角三角形與關(guān)于該種圖形邊的關(guān)系自學時間10分鐘之后比誰能做對檢測題。不會的可小聲討論或舉手問老師。自研共探：為了實現(xiàn)本節(jié)的學習目標，請同學們按照以下要求來自學看一看你同面去能學反朋發(fā)們映友相現(xiàn)，直家傳什我角作兩么們?nèi)颓?？也角，五來形發(fā)百觀三現(xiàn)年察邊朋前下的友，面某家一的種用次圖數(shù)磚畢案量鋪達，關(guān)成哥看系的拉看，地斯看一看你同面去能學反朋發(fā)們映友相現(xiàn)，直家傳什我角作兩么們?nèi)凸垂啥ɡ?畢達哥拉斯定理)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方c弦股ba勾a2+b2=c2a2=c2-b2b2=c2-a2勾股定理(畢達哥拉斯定理)直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊勾股定理的證明234252勾股定理的證明234252勾股定理的證明兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明．因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的新證法．1．傳說中畢達哥拉斯的證法2．趙爽弦圖的證法3．劉徽的證法4．美國第20任總統(tǒng)茄菲爾德的證法5．其他證法勾股定理的證明兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為AB這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹．也許有人會問：“它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？”仔細看看，你會發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這個基本圖形組成的：一個直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形．這個圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯就是利用這個圖形驗證了勾股定理．AB這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺傳說中畢達哥拉斯的證法關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的《幾何原本》第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個正方形之和”．其證明是用面積來進行的．G已知：如圖，以在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以a、b、c為邊向外作正方形．求證：a2+b2=c2．DEKAHCbcaBF傳說中畢達哥拉斯的證法關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的傳說中畢達哥拉斯的證法證明：從Rt△ABC的三邊向外各作一個正方形（如圖），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成兩個矩形．連結(jié)CD和KB．∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行線AD和CN間的距離)，∴S矩形ADNM＝2S△ADC．又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即平行線AK和BH間的距離），∴S正方形ACHK＝2S△ABK．∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB，∴△ADC≌△ABK．KAbMHCacBGF由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK．同理可證S矩形MNEB＝S正方形CBFG．∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG．即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG，也就是a2+b2=c2．DNE返回傳說中畢達哥拉斯的證法證明：從Rt△ABC的三邊向外各作一個趙爽弦圖的證法我國對勾股定理的證明采取的是割補法，最早的形式見于公元三、四世紀趙爽的《勾股圓方圖注》．在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的c“弦圖”，其中每一個直角三角形稱為“朱實”，中間的一個正方形稱為“中黃實”，以弦為邊的大正方形叫“弦實”，所以，如果以a、b、c分別表示勾、股、弦之長，朱實中黃實ba返回(b-a)2ab2?(b?a)那么：c?4?22得：c2=a2+b2．趙爽弦圖的證法我國對勾股定理的證明采取的是割補法，最早的形式證明1：該圖2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標示意圖，取材于我國古代數(shù)學著作《勾股圓方圖》。大正方形的面積可以表示為22caa1)?4?ab也可以表示為(b?a2c122)?4?ab∵c=(b?a22-2ab+a2+2ab=bb=a2+bac2；cbabcb222∴a+b=c證明1：該圖2002年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會的會標示劉徽的證法劉徽在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不移動也．合成弦方之冪，開方除之，即弦也．I令正方形ABCD為朱方，正方形BEFG為青方．在BG間取一點H，使AH=BG，裁下△ADH，移至DECF△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是為“出入相補，各從其類”，其余不動，則形成弦方正方形ABHG返回DHFI．勾股定理由此得證．劉徽的證法劉徽在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明：勾自乘為朱方總統(tǒng)巧證勾股定理學過幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛．迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種．其中，美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話．總統(tǒng)為什么會想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學家或數(shù)學愛好者？答案是否定的．事情的經(jīng)過是這樣的：1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德．他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形．于是伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味．于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題．他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法．總統(tǒng)巧證勾股定理學過幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個比總統(tǒng)巧證勾股定理CDacbcbAEaB美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德返回總統(tǒng)巧證勾股定理CDacbcbAEaB美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾勾股定理證明CD：你能只用這兩個直角三角形說明a2+b2=c2嗎？?aAcEcaBb1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”．b梯形ABCD∵S1=?a+b?221=(a2+2ab+b2)2又∵S梯形ABCD=SAED+SEBC+S1111=ab+ba+c2=(2ab+c2)2222?比較上面二式得

c2=a2+b2CED勾股定理證明CD：你能只用這兩個直角三角形說明a2+b2=c向常春的證明方法1121S?(a?b?b)(a??b)a?ab梯形ABCD222S梯形ABCD?S四邊形AECD?S?EBC121?c?(a?b)b2212112?c?ab?b22212112112?a?ab?c?ab?b22222bAaccDEa-bBbC從而得到:a?b?c222注:這一方法是向常春于1994年3月20日構(gòu)想發(fā)現(xiàn)的新法．向常春的證明方法1121S?(a?b?b)(a??b)a?a勾股定理證明：2(a+b)大正方形的面積可以表示為；也可以表示為abC4??2a2ababccbcabcabC?∵(a+b)2=4?2a2+2ab+b2=2ab+c2222∴a+b=c2勾股定理證明：2(a+b)大正方形的面積可以表示為；也可以表試一試bacccaab我們用拼圖的方法來說明勾股定理是正確的．1證明:上面的大正方形的面積為：c?