15-16高中數(shù)學(xué)必修31.3-算法案例-第1課時省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

成才之路·數(shù)學(xué)路漫漫其修遠兮吾將上下而求索人教A版·必修3第1頁算法初步第一章第2頁1.3算法案例第一章第1課時輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法第3頁高效課堂2課時作業(yè)4優(yōu)效預(yù)習(xí)1當(dāng)堂檢測3第4頁優(yōu)效預(yù)習(xí)第5頁雞兔同籠問題是中國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算法》中一道名題，題目是這么：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”書中給出解法是：雞有兩只腳，兔有四只腳，把腳數(shù)除以2，共有47對腳．因為雞有1對腳，兔有2對腳，所以從47中減去25，得12即為兔子數(shù)．因為如要籠子里動物每只都只有1對腳，就會多出12對腳來，把這12對腳分別加到有2對腳動物身上，就有12只腳動物，即兔子數(shù)．整個解題過程能夠簡單地寫作：●知識銜接第6頁第7頁1．輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)(1)輾轉(zhuǎn)相除法．①算法步驟：第一步，給定兩個正整數(shù)m，n.第二步，計算m除以n所得余數(shù)r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝___，則m，n最大條約數(shù)等于m；不然返回第___步．●自主預(yù)習(xí)0二第8頁②程序框圖如圖所表示．第9頁③程序：INPUTm，nDOr＝mMODnm＝nn＝rLOOPUNTIL_______PRINT___ENDr＝0m第10頁(2)更相減損術(shù)．算法步驟：第一步，任意給定兩個正整數(shù)，判斷它們是否都是______．若是，用___約簡；若不是，執(zhí)行第二步．第二步，以較大數(shù)___去較小數(shù)，接著把所得差與較小數(shù)比較，并以___數(shù)減___數(shù)．繼續(xù)這個操作，直到所得差與減數(shù)相等為止，則這個數(shù)(等數(shù))或這個數(shù)與約簡數(shù)乘積就是所求最大條約數(shù)．偶數(shù)2減大小第11頁2．秦九韶算法(1)概念：求多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0值時，慣用秦九韶算法，這種算法運算次數(shù)較少，是多項式求值比較先進算法，其實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個______多項式值，共進行___次乘法運算和___次加法運算．其過程是：改寫多項式為：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.設(shè)v1＝____________，一次nnanx＋an－1第12頁v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝___________.vn－1x＋a0第13頁(2)算法步驟：第一步，輸入多項式次數(shù)n、最高次項系數(shù)an和x值．第二步，將v值初始化為an，將i值初始化為n－1.第三步，輸入i次項系數(shù)ai.第四步，v＝vx＋ai，i＝________.第五步，判斷i是否大于或等于___.若是，則返回第三步；不然，輸出多項式值___.i－10v第14頁(3)程序框圖如圖所表示．第15頁(4)程序：INPUT“n＝”；nINPUT“an＝”；aINPUT“x＝”；xv＝ai＝n－1WHILE___________PRINT“i＝”；iINPUT“ai＝”；ai>＝0第16頁v＝_________i＝i－1WENDPRINT___ENDv*x＋av第17頁1．用輾轉(zhuǎn)相除法求36與134最大條約數(shù)，第一步是()A．134－36＝98 B．134＝36×3＋26C．先除以2，得到18與67 D．36＝26×1＋10[答案]B[解析]求36與134最大條約數(shù)，第一步是134＝36×3＋26，第二步是36＝26×1＋10，故選D.●預(yù)習(xí)自測第18頁2．(·河北省廊坊一中月考)用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84最大條約數(shù)時，需要做除法次數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]本題考查輾轉(zhuǎn)相除法過程.294＝84×3＋42,84＝42×2，故選B.第19頁3．設(shè)計程序框圖，用秦九韶算法求多項式值，所選取結(jié)構(gòu)是()A．次序結(jié)構(gòu) B．條件結(jié)構(gòu)C．循環(huán)結(jié)構(gòu) D．以上都有[答案]D4．用更相減損術(shù)求294和84最大條約數(shù)時，第一步是________．[答案]用2約簡[解析]因為294和84都是偶數(shù)，先用2約簡．第20頁5．(·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法計算多項式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5時值，需做乘法和加法次數(shù)分別是________．[答案]6次乘法，6次加法[解析]將多項式改寫為f(x)＝(((((3x＋2)x＋4)x＋5)x＋7)x＋8)x＋1，化為6個一次因式求解，故只做了6次乘法和6次加法．第21頁高效課堂第22頁 用輾轉(zhuǎn)相除法求80和36最大條約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗所得結(jié)果．[探究]1.輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)主要區(qū)分是什么？2．將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，執(zhí)行輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)步驟即可．輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)應(yīng)用●互動探究第23頁[解析]用輾轉(zhuǎn)相除法：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0.故80和36最大條約數(shù)是4.第24頁用更相減損術(shù)檢驗：80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20，20－8＝12，12－8＝4，8－4＝4.故80和36最大條約數(shù)是4.第25頁

[規(guī)律總結(jié)]更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法都能求兩個數(shù)最大條約數(shù)，二者區(qū)分與聯(lián)絡(luò)以下表.名稱輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)區(qū)分①以除法為主．②兩個整數(shù)差值較大時運算次數(shù)較少．③相除余數(shù)為零時得結(jié)果.①以減法為主．②兩個整數(shù)差值較大時，運算次數(shù)較多．③相減，兩數(shù)相等得結(jié)果．④相減前要做是否都是偶數(shù)判斷．聯(lián)絡(luò)①都是求最大條約數(shù)方法．②二者實質(zhì)都是逆歸過程．③二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn).第26頁(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求288與123最大條約數(shù)．(2)用更相減損術(shù)求57與93最大條約數(shù)．(3)求567與405最小公倍數(shù)．[解析](1)288＝123×2＋42,123＝42×2＋39，42＝39×1＋3,39＝3×13，∴288和123最大條約數(shù)是3.(2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→(9,6)―→(3,6)―→(3,3)，∴93與57最大條約數(shù)是3.第27頁

(3)567＝405×1＋162405＝162×2＋81162＝81×2＋0∴81是567與405最大條約數(shù)，從而567與405最小公倍數(shù)為567×405÷81＝2835.第28頁 (1)(·三明高一檢測)用秦九韶算法計算多項式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，當(dāng)x＝0.4時值時，需要做乘法和加法次數(shù)分別是()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5(2)已知一個五次多項式f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1，用秦九韶算法求這個多項式當(dāng)x＝3是值．用秦九韶算法求多項式值第29頁[探究]1.用秦九韶算法求多項式值時，幾次多項式就做幾次乘法運算，對嗎？2．用秦九韶算法求多項式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0在x＝x0時值時，v0是什么？v1呢？[解析](1)將多項式改寫成以下形式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，顯然，把x＝0.4代入計算其值時，共做了6次乘法，6次加法．第30頁(2)因為f(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，所以f(3)＝391.[答案](1)A(2)391第31頁[規(guī)律總結(jié)]用秦九韶算法時要正確將多項式形式進行改寫，然后由內(nèi)向外依次計算．當(dāng)多項式函數(shù)中間出現(xiàn)空項時，要以系數(shù)為零齊次項補充．第32頁用秦九韶算法求多項式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x當(dāng)x＝3時值．[探究]處理本題首先需要將原多項式化成f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x形式，其次再搞清v0，v1，v2，…，v7分別是多少，再針對這些式子進行計算．第33頁[解析]f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324.故當(dāng)x＝3時，多項式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x值為21324.第34頁 試用輾轉(zhuǎn)相除法求325、130、270最大條約數(shù)．[探究]應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法去除，即依據(jù)m＝nq＋r重復(fù)執(zhí)行，直到r＝0為止．求多個數(shù)最大條約數(shù)●探索延拓第35頁[解析]∵325＝130×2＋65,130＝65×2，∴325與130最大條約數(shù)是65.∵270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝65×2，∴65與270最大條約數(shù)是5，故325、130、270三個數(shù)最大條約數(shù)為5.

[規(guī)律總結(jié)]了解輾轉(zhuǎn)相除法實質(zhì)，從計算結(jié)果上看，輾轉(zhuǎn)相除法是以相除余數(shù)為零而得到結(jié)果．第36頁求三個數(shù)175,100,75最大條約數(shù)．[探究]求三個數(shù)最大條約數(shù)時，能夠先求出其中兩個數(shù)最大條約數(shù)，再求這個最大條約數(shù)與第三個數(shù)最大條約數(shù)，所得結(jié)果就是這三個數(shù)最大條約數(shù)．第37頁[解析]先求175與100最大條約數(shù)：175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，75＝25×3，∴175與100最大條約數(shù)是25.再求25與75最大條約數(shù)：75－25＝50,50－25＝25，∴75和25最大條約數(shù)是25.∴175,100,75最大條約數(shù)是25.[點評]本題解法能夠推廣到求多個數(shù)最大條約數(shù)，只需依次計算即可．第38頁 已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)值．[錯解]f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)2＋2＝14；v2＝14×(－2)＋4＝－24；v3＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.[錯因分析]所求f(－2)值是正確，不過錯解中沒有抓住秦九韶算法原理關(guān)鍵，正確改寫多項式，并使每一次計算只含有一次項．●誤區(qū)警示第39頁[正解]f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v0＝3，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v4＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.第40頁(·貴陽高一檢測)用秦九韶算法計算多項式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4值時，v3值為________．[答案]－57第41頁[解析]多項式變形為f(x)＝3x6＋5x5＋6x4＋79x3－8x2＋35x＋12＝(((((3x＋5)x＋6)x＋79)x－8)x＋35)x＋12，當(dāng)x＝－4時，v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝－57×(－4)－8＝220，v5＝220×(－4)＋35＝－845，v6＝－845×(－4)＋12＝3392.第42頁當(dāng)堂檢測第43頁1．以下相關(guān)輾轉(zhuǎn)相除法說法正確是()A．它和更相減損術(shù)一樣是求多項式值一個方法B．基本步驟是用較大數(shù)m除以較小數(shù)n得到除式m＝nq＋r，直至r<n為止C．基本步驟是用較大數(shù)m除以較小數(shù)n得到除式m＝qn＋r(0≤r<n)重復(fù)進行，直到r＝0為止D．以上說法均不正確[答案]C第44頁2．更相減損術(shù)理論依據(jù)是()A．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)含有相同最小公倍數(shù)B．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)含有相同最大條約數(shù)C．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)最小公倍數(shù)不一樣D．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)最大條約數(shù)不一樣[答案]B第45頁3．用更相減損術(shù)求123與51最大條約數(shù)時，需做減法次數(shù)是()A．3 B．5C．6 D．8[