高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊課件1-1-1空間向量及其運算

1.1.1空間向量及其運算第一章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.理解空間向量的概念,掌握空間向量的表示方法.(數(shù)學(xué)抽象)2.學(xué)會空間向量的線性運算及它們的運算律.(數(shù)學(xué)運算)3.能用空間向量的線性運算解決簡單的立體幾何問題.(邏輯推理)4.理解空間向量夾角的概念,并掌握兩個向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)及運算律.(數(shù)學(xué)抽象)5.能用兩個向量的數(shù)量積解決立體幾何中的角度和長度等問題.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思一天,梭子魚、蝦和天鵝發(fā)現(xiàn)路上有一輛車,上面裝滿了好吃的東西,于是就想把車子從路上拖下來,三個家伙一齊鉚足了勁,使出了平生的力氣一起拖車,可是,無論它們怎樣用力,小車還是在老地方一步也動不了.原來,天鵝使勁往天上提,蝦一步步向后倒拖,梭子魚又朝著池塘拉去.同學(xué)們,你們知道這樣拉車,車子為什么不動嗎?知識點撥1.空間向量的概念

空間向量空間中既有大小,又有方向的量零向量、單位向量始點和終點相同的向量稱為零向量,記為0.模等于1的向量稱為單位向量,一般記為e向量的模(或長度)表示向量a的有向線段的長度,記作|a|相等向量大小相等、方向相同的向量平行向量(或共線向量)方向相同或者相反的兩個非零向量共面向量空間中的多個向量,如果表示它們的有向線段通過平移之后,都能在同一平面內(nèi)微判斷(1)兩個有共同始點且相等的向量,其終點必相同.(

)(2)兩個有公共終點的向量,一定是共線向量.(

)(3)在空間中,任意一個向量都可以進行平移.(

)(4)模相等的向量不一定是相等向量.(

)(5)表示兩個平行向量的有向線段所在的直線一定不重合.(

)答案

(1)√

(2)×

(3)√

(4)√

(5)×微練習(xí)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,與向量

相等的向量共有(

)個

個個

個答案

C2.空間向量的線性運算及其運算律

(3)數(shù)乘:λa,①當(dāng)λ≠0,a≠0時,|λa|=|λ||a|,而且λa的方向:當(dāng)λ>0時,λa與a方向相同;當(dāng)λ<0時,λa與a方向相反;②當(dāng)λ=0或a=0時,λa=0.(4)線性運算律

①加法交換律:a+b=b+a;②加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c);③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.名師點析空間向量的線性運算中,加法滿足三角形法則和平行四邊形法則,減法滿足三角形法則.(2)以向量a,b對應(yīng)的有向線段為鄰邊的平行四邊形中,a+b與a-b對應(yīng)的有向線段所表示的是兩條對角線,|a+b|與|a-b|為兩條對角線的長度.(3)三個不共面的向量和,等于以這三個向量對應(yīng)的有向線段為鄰邊的平行六面體中,與這三個向量有共同始點的體對角線所表示的向量.微判斷(1)空間中兩個非零向量相加時,可以在空間中任取一點作為它們的共同始點.(

)(2)實數(shù)λ與空間向量a相乘的結(jié)果可以是0.(

)(3)若a=λb(b≠0),則λ=.(

)答案

(1)√

(2)×

(3)×微練習(xí)1A.a+b+c

B.a+b-cC.a-b-c

D.-a+b+c答案

C微練習(xí)2微思考首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形,它們的和向量有什么特點?提示

和向量為0.3.空間向量的夾角

微判斷

答案

×微思考兩個非零向量共線時,其夾角分別是多少?提示

兩個非零向量共線且同向時,<a,b>=0;兩個非零向量共線且反向時,<a,b>=π.4.空間向量的數(shù)量積(1)定義:空間中已知兩個非零向量a,b,則|a||b|cos<a,b>叫做a,b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積),記作a·b.即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0.微判斷若非零向量a,b為共線且同向的向量,則a·b=|a||b|.(

)答案

√微思考兩個向量的數(shù)量積與數(shù)乘向量有何不同?提示

兩個向量的數(shù)量積是它們的模與其夾角的余弦值的乘積,其結(jié)果是實數(shù);數(shù)乘向量是一個數(shù)與一個向量的乘積,其結(jié)果仍是一個向量,如0·a=0,而0·a=0.5.空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)a⊥b?a·b=0(a,b均是非零向量);(2)a·a=|a|2=a2;(3)|a·b|≤|a||b|;(4)(λa)·b=λ(a·b);(5)a·b=b·a(交換律);(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).名師點析(1)空間向量的數(shù)量積的運算符號是“·”,不能省略,更不能寫成“×”;(2)空間向量的數(shù)量積(內(nèi)積)是一個實數(shù)而不是一個向量,它有別于數(shù)乘向量;(3)若a·b=k,不能得出(4)a⊥b的充要條件是a·b=0,這是用向量證明空間中垂直關(guān)系的根本方法,同時也說明了命題“a·b=0?a=0或b=0”是錯誤的.微判斷(1)對于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(

)(2)對于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).(

)答案

(1)×

(2)×微練習(xí)已知|a|=1,|b|=,且a-b與a垂直,則a與b的夾角為(

)°

°

°

°答案

D解析

∵a-b與a垂直,∴(a-b)·a=0,∵

0°≤<a,b>≤180°,∴<a,b>=45°.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一空間向量的概念例1給出下列命題:①兩個空間向量相等,則它們的起點相同,終點也相同;②若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b;③在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有;④若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p;⑤空間中任意兩個單位向量必相等.其中正確的個數(shù)為(

)答案

C解析

當(dāng)兩個空間向量的起點相同,終點也相同時,這兩個向量必相等;但兩個向量相等,不一定有起點相同、終點相同,故①錯;根據(jù)向量相等的定義,要保證兩向量相等,不僅模要相等,而且方向還要相同,但②中向量a與b的方向不一定相同,故②錯;根據(jù)正方體的性質(zhì),在正方體ABCD-A1B1C1D1中,向量

的方向相同,模也相等,所以

,故③正確;命題④顯然正確;對于命題⑤,空間中任意兩個單位向量的模均為1,但方向不一定相同,故不一定相等,故⑤錯.所以正確的個數(shù)為2.反思感悟解決有關(guān)向量概念的問題,要熟練掌握空間向量的有關(guān)概念,注意區(qū)分向量與向量的模以及數(shù)量.相等向量只需方向相同,長度相等,與向量的起點和終點沒有必然的聯(lián)系.尤其要注意解決此類概念問題時,要多結(jié)合幾何圖形進行分析,并要與平面向量中的結(jié)論進行類比.變式訓(xùn)練1下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是(

)A.空間向量不滿足加法結(jié)合律B.若|a|=|b|,則a,b的長度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同

答案

D解析

A中,空間向量滿足加法結(jié)合律;B中,|a|=|b|只能說明a,b的長度相等而方向不確定;C中,向量作為矢量不能比較大小,故選D.探究二空間向量的線性運算例2如圖,已知長方體ABCD-A'B'C'D',化簡下列向量表達式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.例3已知在平行六面體ABCD

-

A'B'C'D'中,M為CC'的中點(如圖).化簡下列各表達式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.反思感悟(1)對于借助幾何圖形的向量運算,應(yīng)該在線性運算的基礎(chǔ)上挖掘好幾何體中本身的特征,如平行、相等、垂直等.(2)化歸與轉(zhuǎn)化思想意識要加強,除借助向量的運算律外,還可以將已知向量轉(zhuǎn)化為與之相等的向量以方便其運算,如例3中第(2)問將A.①② B.②③

C.③④ D.①④答案

A探究三求向量的數(shù)量積例4已知長方體ABCD

-

A'B'C'D',AB=AA'=2,AD=4,E為側(cè)面AB'的中心,F為A'D'的中點,計算下列數(shù)量積:反思感悟求兩個向量m,n的數(shù)量積一般分為兩個層次:一是結(jié)合圖形確定向量m,n的模及<m,n>的大小,直接利用空間向量數(shù)量積的定義來求,此種情況下要注意向量夾角的正確性;二是選定一組基向量表示向量m,n,從而把m,n的數(shù)量積通過運算轉(zhuǎn)化為基向量之間的數(shù)量積來求.當(dāng)題目中沒有明確基底的時候,合理選取基底是至關(guān)重要的,比如此題的基底選取既方便向量表示,又方便計算.變式訓(xùn)練4已知正四面體OABC的棱長為1.求:探究四利用數(shù)量積證明垂直問題例5如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.反思感悟(1)由數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?a·b=0可知,要證兩直線垂直,可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量(a,b是非零向量),只要證明這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)用向量法證明線面(面面)垂直,離不開線面(面面)垂直的判定定理,需將線面(面面)垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,然后利用向量法證明線線垂直.變式訓(xùn)練5如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點,G為CC1的中點,求證:A1O⊥平面GBD.又∵OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面GBD,∴A1O⊥平面GBD.探究五利用數(shù)量積求解距離或長度問題例6平行四邊形ABCD中,AB=2AC=2且∠ACD=90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成60°角,求B,D間的距離.反思感悟利用向量的數(shù)量積求兩點間的距離,可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題,其基本思路是先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個已知向量的和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|=求解.變式訓(xùn)練6在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD