數(shù)學(xué)建模之概率統(tǒng)計-1省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

概率與頻率數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)第1頁概率，又稱幾率，或然率，是反應(yīng)某種事件發(fā)生可能性大小一個數(shù)量指標(biāo)，它介于0與1之間。概率論是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律一門數(shù)學(xué)分支學(xué)科，希望經(jīng)過此次學(xué)習(xí)，能加深對頻率和概率等概念了解和認(rèn)識，并掌握一些概率統(tǒng)計基本原理。隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)某個可能結(jié)果基本知識第2頁基本知識

隨機試驗：滿足以下三個條件試驗?zāi)軌蛟谙嗤闆r下重復(fù)進行；試驗全部可能結(jié)果是明確可知，且不止一個；每次試驗結(jié)果無法預(yù)知，但有且只有一個結(jié)果。

概率與頻率概率是指某個隨機事件發(fā)生可能性一個度量，是該隨機事件本身屬性。頻率是指某隨機事件在隨機試驗中實際出現(xiàn)次數(shù)與隨機試驗進行次數(shù)比值。頻率概率隨機試驗進行次數(shù)第3頁隨機變量基本知識統(tǒng)計分析（假設(shè)檢驗、相關(guān)分析、回歸分析…)數(shù)字特征（均值、方差、相關(guān)系數(shù)、特征函數(shù)…）第4頁注：rand(n)=rand(n,n)Matlab中隨機函數(shù)randperm(m)生成一個由1:m

組成隨機排列randn(m,n)生成一個滿足正態(tài)分布m

n

隨機矩陣rand(m,n)

生成一個滿足均勻分布m

n

隨機矩陣，矩陣每個元素都在(0,1)

之間。perms(1:n)生成由1:n

組成全排列，共n!

個第5頁name

取值能夠是'norm'or'Normal''unif'or'Uniform''poiss'or'Poisson''beta'or'Beta''exp'or'Exponential''gam'or'Gamma''geo'or'Geometric''unid'or'DiscreteUniform'......random('name',A1,A2,A3,M,N)Matlab中隨機函數(shù)第6頁繪制直方圖hist(X,M)

%

二維條形直方圖，顯示數(shù)據(jù)分布情形將向量X中元素依據(jù)它們數(shù)值范圍進行分組，每一組作為一個條形進行顯示。條形直方圖中x-軸反應(yīng)了向量X

中元素數(shù)值范圍，直方圖y-軸顯示出向量X

中元素落入該組數(shù)目。M

用來控制條形個數(shù)，缺省為10。x=[1293580235210];hist(x);hist(x,5);hist(x,2);例：x=randn(1000,1);hist(x,100);histfit(x,NBINS)

%

附有正態(tài)密度曲線直方圖

NBINS

指定條形個數(shù)，缺省為x

中數(shù)據(jù)個數(shù)平方根。第7頁fix(x):

截尾取整，直接將小數(shù)部分舍去floor(x):

不超出x

最大整數(shù)ceil(x):

大于x

最小整數(shù)round(x):

四舍五入取整Matlab中取整函數(shù)第8頁x1=fix(3.9);x2=fix(-3.9);x3=floor(3.9);x4=floor(-3.2);x5=ceil(3.1);x6=ceil(-3.9);x7=round(3.9);x8=round(-3.2);x9=round(-3.5);x1=3x2=-3x3=3x4=-4x5=4x6=-3x7=4x8=-3x9=-4取整函數(shù)舉例第9頁unique(a)合并a

中相同項，并按從小到大排序若a是矩陣，則輸出為一個列向量prod(X)假如X

是向量，則返回其全部元素乘積。假如X

是矩陣，則計算每一列中全部元素乘積。其它相關(guān)函數(shù)a=[129323];b=unique(a)a=[129;323];b=unique(a)第10頁依據(jù)表示式不一樣取值，分別執(zhí)行不一樣語句switchexpr

casecase1

statements1

casecase2

statements2

......casecasem

statementsm

otherwise

statements

endswitch選擇語句第11頁method='Bilinear';switch

lower(method)

case{'linear','bilinear'}disp('Methodislinear')

case'cubic'disp('Methodiscubic')

case'nearest'disp('Methodisnearest')

otherwisedisp('Unknownmethod.')endswitch選擇語句舉例第12頁

這里我們主要用rand

函數(shù)和randperm

函數(shù)來模擬滿足均勻分布隨機試驗。

試驗方法先設(shè)定進行試驗總次數(shù)采取循環(huán)結(jié)構(gòu)，統(tǒng)計指定事件發(fā)生次數(shù)計算該事件發(fā)生次數(shù)與試驗總次數(shù)比值試驗方法第13頁

隨機投擲均勻硬幣，驗證國徽朝上與朝下概率是否都是1/2

n=10000;%

給定試驗次數(shù)m=0;fori=1:nx=randperm(2)-1;y=x(1);ify==0%0表示國徽朝上，1表示國徽朝下m=m+1;endendfprintf('國徽朝上頻率為：%f\n',m/n);試驗一：投擲硬幣第14頁隨機投擲骰子，驗證各點出現(xiàn)概率是否為1/6

n=10000;m1=0;m2=0;m3=0;m4=0;m5=0;m6=0;fori=1:nx=randperm(6);y=x(1);switchycase1,m1=m1+1;case2,m2=m2+1;case3,m3=m3+1;case4,m4=m4+1;case5,m5=m5+1;otherwise,m6=m6+1;endend...%

輸出結(jié)果試驗二：投擲骰子第15頁

用蒙特卡羅(MonteCarlo)投點法計算

值n=100000;a=2;m=0;fori=1:nx=rand(1)*a/2;y=rand(1)*a/2;if(x^2+y^2<=(a/2)^2)m=m+1;endendfprintf('計算出來pi為：%f\n',4*m/n);試驗三：蒙特卡羅投點法第16頁

在畫有許多間距為d

等距平行線白紙上，隨機投擲一根長為l(l

d)均勻直針，求針與平行線相交概率，并計算

值。試驗四：蒲豐投針試驗第17頁n=100000;l=0.5;d=1;m=0;fori=1:nalpha=rand(1)*pi;y=rand(1)*d/2;ify<=l/2*sin(alpha)m=m+1;endendfprintf('針與平行線相交頻率為：%f\n',m/n);fprintf('計算出來pi為：%f\n’,2*n*l/(m*d));試驗四源程序第18頁

設(shè)某班有m

個學(xué)生，則該班最少有兩人同一天生日概率是多少？試驗五：生日問題解：設(shè)一年為365天，且某一個學(xué)生生日出現(xiàn)在一年中每一天都是等可能，則班上任意兩個學(xué)生生日都不相同概率為：所以，最少有兩個學(xué)生同一天生日概率為：第19頁n=1000;p=0;m=50;%

設(shè)該班人數(shù)為50fort=1:na=[];q=0;fork=1:mb=randperm(365);a=[a,b(1)];endc=unique(a);iflength(a)~=length(c)p=p+1;endendfprintf(‘任兩人不在同一天生日頻率為：%f\n',p/n);試驗五源程序第20頁clear;m=50;p1=1:365;p2=[1:365-m,365*ones(1,m)];p=p1./p2;p=1-prod(p);fprintf('最少兩人同一天生日概率為：%f\n',p);試驗五理論值計算第21頁

彩票箱內(nèi)有m

張彩票，其中只有一張能中彩。

問m

個人依次摸彩，第k(k

≤

m)個人中彩概率是多少？你能得出什么結(jié)論？第一個人中彩概率為：推知第k個人中彩概率為：第三個人中彩概率為：第二個人中彩概率為：試驗六：摸彩問題第22頁n=10000;m=10;p=0;k=5;%

計算第5個人中彩頻率fort=1:nx=randperm(m);y=x(1);ify==kp=p+1;endendfprintf('第%d

個人中彩頻率為：%f\n',p/n);試驗六源程序第23頁概率與統(tǒng)計概率論中所研究隨機變量分布都是已知。統(tǒng)計學(xué)中所研究隨機變量分布是未知或部分未知，必須經(jīng)過對所研究隨機變量進行重復(fù)獨立觀察和試驗，得到所需觀察值（數(shù)據(jù)），對這些數(shù)據(jù)分析后才能對其分布做出種種判斷，即“從局部推斷總體”。第24頁統(tǒng)計學(xué)給定一組數(shù)據(jù)，統(tǒng)計學(xué)能夠摘要而且描述這份數(shù)據(jù)，這個使用方法稱作為描述統(tǒng)計學(xué)。觀察者以數(shù)據(jù)形態(tài)建立出一個用以解釋其隨機性和不確定性數(shù)學(xué)模型，以之來推論研究中步驟及母體，這種使用方法被稱做推論統(tǒng)計學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)專門用來討論這門科目背后理論基礎(chǔ)。

第25頁數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析第26頁現(xiàn)實生活中許多數(shù)據(jù)都是隨機產(chǎn)生，如考試分?jǐn)?shù)、月降雨量、燈泡壽命等。從數(shù)理統(tǒng)計角度來看，這些數(shù)據(jù)其實都是符合某種分布，這種規(guī)律就是統(tǒng)計規(guī)律。經(jīng)過對概率密度函數(shù)曲線直觀認(rèn)識和數(shù)據(jù)分布形態(tài)猜測，以及密度函數(shù)參數(shù)預(yù)計，進行簡單分布假設(shè)檢驗，揭示日常生活中隨機數(shù)據(jù)一些統(tǒng)計規(guī)律。背景和目標(biāo)第27頁Matlab相關(guān)命令介紹

pdf概率密度函數(shù)y=pdf(name,x,A)y=pdf(name,x,A,B)或

y=pdf(name,x,A,B,C)返回由name

指定單參數(shù)分布概率密度，x為樣本數(shù)據(jù)

name

用來指定分布類型，其取值能夠是：

'beta'、'bino'、'chi2'、'exp'、'ev'、'f'、

'gam'、'gev'、'gp'、'geo'、'hyge'、'logn'、

'nbin'、'ncf'、'nct'、'ncx2'、'norm'、

'poiss'、'rayl'、't'、'unif'、'unid'、'wbl'。返回由name

指定雙參數(shù)或三參數(shù)分布概率密度第28頁Matlab相關(guān)命令介紹例：x=-8:0.1:8;y=pdf('norm',x,0,1);y1=pdf('norm',x,1,2);plot(x,y,x,y1,':')注：

y=pdf('norm',x,0,1)

y=normpdf(x,0,1)相類似地，

y=pdf('beta',x,A,B)

y=betapdf(x,A,B)

y=pdf('bino,x,N,p)

y=binopdf(x,N,p)……

……第29頁Matlab相關(guān)命令介紹

normfit正態(tài)分布中參數(shù)預(yù)計[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha)對樣本數(shù)據(jù)x

進行參數(shù)預(yù)計，并計算置信度為1-alpha

置信區(qū)間

alpha

能夠省略，缺省值為0.05，即置信度為95%

load從matlab數(shù)據(jù)文件中載入數(shù)據(jù)S=load('數(shù)據(jù)文件名')

hist繪制給定數(shù)據(jù)直方圖hist(x,m)第30頁Matlab相關(guān)命令介紹table=tabulate(x)繪制頻數(shù)表，返回值table

中，第一列為x值，第二列為該值出現(xiàn)次數(shù)，最終一列包含每個值百分比。ttest(x,m,alpha)假設(shè)檢驗函數(shù)。此函數(shù)對樣本數(shù)據(jù)x

進行顯著性水平為alpha

t

假設(shè)檢驗，以檢驗正態(tài)分布樣本x（標(biāo)準(zhǔn)差未知）均值是否為m。第31頁Matlab相關(guān)命令介紹normplot(x)統(tǒng)計繪圖函數(shù)，進行正態(tài)分布檢驗。研究表明：假如數(shù)據(jù)是來自一個正態(tài)分布，則該線為一直線形態(tài)；假如它是來自其它分布，則為曲線形態(tài)。wblplot(x)統(tǒng)計繪圖函數(shù)，進行Weibull

分布檢驗。第32頁Matlab相關(guān)命令介紹

其它函數(shù)

cdf

系列函數(shù)：累積分布函數(shù)

inv

系列函數(shù)：逆累積分布函數(shù)

rnd

系列函數(shù)：隨機數(shù)發(fā)生函數(shù)

stat

系列函數(shù)：均值與方差函數(shù)例：p=normcdf(-2:2,0,1)x=norminv([0.0250.975],0,1)n=normrnd(0,1,[15])n=1:5;

[m,v]=normstat(n'*n,n'*n)第33頁常見概率分布二項式分布Binomialbino卡方分布Chisquarechi2指數(shù)分布ExponentialexpF分布Ff幾何分布Geometricgeo正態(tài)分布Normalnorm泊松分布PoissonpoissT分布Tt均勻分布Uniformunif離散均勻分布DiscreteUniformunid第34頁連續(xù)分布：正態(tài)分布

正態(tài)分布（連續(xù)分布）假如隨機變量X

密度函數(shù)為：則稱X

服從正態(tài)分布。記做：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：N(0,1)正態(tài)分布也稱高斯分布，是概率論中最主要一個分布。假如一個變量是大量微小、獨立隨機原因疊加，那么它一定滿足正態(tài)分布。如測量誤差、產(chǎn)品質(zhì)量、月降雨量等第35頁正態(tài)分布舉例x=-8:0.1:8;y=normpdf(x,0,1);y1=normpdf(x,1,2);plot(x,y,x,y1,':')例：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形第36頁連續(xù)分布：均勻分布

均勻分布（連續(xù)分布）假如隨機變量X

密度函數(shù)為：則稱X

服從均勻分布。記做：

均勻分布在實際中經(jīng)常使用，譬如一個半徑為r

汽車輪胎，因為輪胎上任一點接觸地面可能性是相同，所以輪胎圓周接觸地面位置X

是服從[0,2

r]

上均勻分布。第37頁均勻分布舉例x=-10:0.01:10;r=1;y=unifpdf(x,0,2*pi*r);plot(x,y);第38頁連續(xù)分布：指數(shù)分布

指數(shù)分布（連續(xù)分布）假如隨機變量X

密度函數(shù)為：則稱X

服從參數(shù)為

指數(shù)分布。記做：

在實際應(yīng)用問題中，等候某特定事物發(fā)生所需要時間往往服從指數(shù)分布。如一些元件壽命；隨機服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)時間；動物壽命等都常常假定服從指數(shù)分布。指數(shù)分布含有沒有記憶性：第39頁指數(shù)分布舉例x=0:0.1:30;y=exppdf(x,4);plot(x,y)例：

=4時指數(shù)分布密度函數(shù)圖第40頁離散分布：幾何分布

幾何分布是一個常見離散分布

在貝努里試驗中，每次試驗成功概率為

p，設(shè)試驗進行到第

次才出現(xiàn)成功，則

分充滿足：其右端項是幾何級數(shù)

普通項，于是人們稱它為幾何分布。第41頁x=0:30;y=geopdf(x,0.5);plot(x,y)例：p=0.5時幾何分布密度函數(shù)圖第42頁離散分布：二項式分布

二項式分布屬于離散分布假如隨機變量X

分布列為：則稱這種分布為二項式分布。記做：第43頁x=0:50;y=binopdf(x,500,0.05);plot(x,y)例：n=500，p=0.05時二項式分布密度函數(shù)圖第44頁離散分布：Poisson分布

泊松分布也屬于離散分布，是1837年由法國數(shù)學(xué)家Poisson首次提出，其概率分布列為：記做：

泊松分布是一個慣用離散分布，它與單位時間（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上計數(shù)過程相聯(lián)絡(luò)。如：單位時間內(nèi)，電話總機接到用戶呼喚次數(shù)；1

平方米內(nèi)，玻璃上氣泡數(shù)等。第45頁Poisson分布舉例x=0:50;y=poisspdf(x,25);plot(x,y)例：

=25時泊松分布密度函數(shù)圖第46頁離散分布：均勻分布假如隨機變量X

分布列為：則稱這種分布為離散均勻分布。記做：第47頁n=20;x=1:n;y=unidpdf(x,n);plot(x,y,'o-')例：n=20時離散均勻分布密度函數(shù)圖第48頁抽樣分布：

2分布設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn

相互獨立，且同服從正態(tài)分布N(0,1)，則稱隨機變量

n2=

X12+X22+…+Xn2服從自由度為n

2分布，記作，亦稱隨機變量

n2為

2變量。第49頁x=0:0.1:20;y=chi2pdf(x,4);plot(x,y)例：n=4和n=10時

2分布密度函數(shù)圖x=0:0.1:20;y=chi2pdf(x,10);plot(x,y)第50頁抽樣分布：

F分布設(shè)隨機變量

，且X

與Y

相互獨立，則稱隨機變量為服從自由度(m,n)

F

分布。記做：第51頁x=0.01:0.1:8.01;y=fpdf(x,4,10);plot(x,y)例：F(4,10)分布密度函數(shù)圖第52頁抽樣分布：

t分布設(shè)隨機變量

，且X

與Y

相互獨立，則稱隨機變量為服從自由度n

t

分布。記做：第53頁x=-6:0.01:6;y=tpdf(x,4);plot(x,y)例：t

(4)分布密度函數(shù)圖第54頁頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表對于給定數(shù)據(jù)集，假設(shè)它們滿足以上十種分布之一，怎樣確定屬于哪種分布？繪制頻數(shù)直方圖，或列出頻數(shù)表第55頁

從圖形上看，筆試成績較為靠近正態(tài)分布x=load('data1.txt');x=x(:);hist(x)例1：某次筆試分?jǐn)?shù)見data1.txt，試畫出頻數(shù)直方圖第56頁頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表x=load('data2.txt');x=x(:);hist(x)例2：某次上機考試分?jǐn)?shù)見data2.txt，試畫出頻數(shù)直方圖

從圖形上看，上機考試成績較為靠近離散均勻分布第57頁x=load('data3.txt');x=x(:);hist(x)例3：上海1998年來月降雨量數(shù)據(jù)見data3.txt，

試畫出頻數(shù)直方圖

從圖形上看，月降雨量較為靠近

2分布第58頁頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表在重復(fù)數(shù)據(jù)較多情況下，我們也能夠利用Matlab自帶tabulate

函數(shù)生成頻數(shù)表，并以頻數(shù)表形式來發(fā)掘數(shù)據(jù)分布規(guī)律。x=load('data4.txt');

x=x(:);tabulate(x)hist(x)例4：給出數(shù)據(jù)data4.txt，試畫出其直方圖，并生成頻數(shù)表第59頁ValueCountPercent1613.04%2613.04%31226.09%41021.74%5510.87%6715.22%第60頁頻數(shù)直方圖或頻數(shù)表x=load('data5.txt');x=x(:);hist(x)fiugrehistfit(x)%

加入較靠近正態(tài)分布密度曲線例5：現(xiàn)累積有100次刀具故障統(tǒng)計，當(dāng)故障出現(xiàn)時該批刀具完成零件數(shù)見data5.txt，試畫出其直方圖。第61頁

從圖形上看，較為靠近正態(tài)分布第62頁參數(shù)預(yù)計當(dāng)我們能夠基本確定數(shù)據(jù)集X

符合某種分布后，我們還需要確定這個分布參數(shù)。因為正態(tài)分布情況發(fā)生比較多，故我們主要考慮正態(tài)分布情形。對于未知參數(shù)預(yù)計，可分兩種情況：點預(yù)計區(qū)間預(yù)計第63頁參數(shù)預(yù)計：點預(yù)計結(jié)構(gòu)樣本X

與某個統(tǒng)計量相關(guān)一個函數(shù)，作為該統(tǒng)計量一個預(yù)計，稱為點預(yù)計。Matlab統(tǒng)計工具箱中，普通采取最大似然預(yù)計法給出參數(shù)點預(yù)計。泊松分布P

(

)

最大似然預(yù)計是指數(shù)分布Exp

(

)

最大似然預(yù)計是第64頁點預(yù)計舉例正態(tài)分布N

(

,

2)

中，

最大似然預(yù)計是，

2最大似然預(yù)計是x=load('data1.txt');x=x(:);[mu,sigma]=normfit(x)例6：已知例1中數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布

N

(

,

2)

，試求其參數(shù)

和

值。使用

normfit

函數(shù)第65頁參數(shù)預(yù)計：區(qū)間預(yù)計結(jié)構(gòu)樣本X

與某個統(tǒng)計量相關(guān)兩個函數(shù)，作為該統(tǒng)計量下限預(yù)計與上限預(yù)計，下限與上限組成一個區(qū)間，這個區(qū)間作為該統(tǒng)計量預(yù)計，稱為區(qū)間預(yù)計。Matlab統(tǒng)計工具箱中，普通也采取最大似然預(yù)計法給出參數(shù)區(qū)間預(yù)計。第66頁區(qū)間預(yù)計舉例x=load('data1.txt');x=x(:);[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x)例7：已知例1中數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布

N

(

,

2)

，試求出

和

2

置信度為95%區(qū)間預(yù)計。x=load('data6.txt');x=x(:);[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x,0.01)例8：從自動機床加工同類零件中抽取16件，測得長度值見data6.txt，已知零件長度服從正態(tài)分布

N

(

,

2)

，試求零件長度均值

和標(biāo)準(zhǔn)差

置信度為99%置信區(qū)間。第67頁假設(shè)檢驗對總體分布律或分布參數(shù)作某種假設(shè)，依據(jù)抽取樣本觀察值，利用數(shù)理統(tǒng)計分析方法，檢驗這種假設(shè)是否正確，從而決定接收假設(shè)或拒絕假設(shè)，這就是假設(shè)檢驗問題。以正態(tài)假設(shè)檢驗為例，來說明假設(shè)檢驗基本過程。第68頁正態(tài)假設(shè)檢驗正態(tài)假設(shè)檢驗普通過程：假設(shè)檢驗：利用Matlab統(tǒng)計工具箱給出慣用假設(shè)檢驗方法函數(shù)ttest，進行顯著性水平為alpha

t

假設(shè)檢驗，以檢驗正態(tài)分布樣本x（標(biāo)準(zhǔn)差未知）均值是否為m。運行結(jié)果中，當(dāng)h=1

時，表示拒絕零假設(shè)；當(dāng)h=0

時，表示不能拒絕零假設(shè)。對比正態(tài)分布概率密度函數(shù)分布圖，判斷某統(tǒng)計量分布可能服從正態(tài)分布利用統(tǒng)計繪圖函數(shù)normplot

或wblplot

進行正態(tài)分布檢驗第69頁正態(tài)假設(shè)檢驗舉例例9：試說明例5中刀具使用壽命服從正態(tài)分布，而且說明在方差未知情況下其均值m取為597是否合理。(1)對比刀具使用壽命分布圖與正態(tài)分布概率密度分布函數(shù)圖，得初步結(jié)論：該批刀具使用壽命可能服從正態(tài)分布。解：第70頁第71頁x=load('data5.txt');x=x(:);normplot(x)(2)利用統(tǒng)計繪圖函數(shù)normplot

進行分布正態(tài)性檢驗結(jié)果顯示：這100個離散點非?？拷鼉A斜直線段，即圖形為線性，所以可得結(jié)論：該批刀具使用壽命近似服從正態(tài)分布。第72頁正態(tài)假設(shè)檢驗舉例x=load('data5.txt');x=x(:);h=ttest(x,597,0.05)(3)利用函數(shù)ttest

進行顯著性水平為alpha

t

假設(shè)檢驗檢驗結(jié)果：h=0。表示不拒絕零假設(shè)，說明所提出假設(shè)“壽命均值為597”是合理第73頁

前面討論了當(dāng)總體分布為正態(tài)時，關(guān)于其中未知參數(shù)假設(shè)檢驗問題.

然而可能碰到這么情形，總體服從何種理論分布并不知道，要求我們直接對總體分布提出一個假設(shè).第74頁比如，從1500年到1931年432年間，每年暴發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)能夠看作一個隨機變量，據(jù)統(tǒng)計，這432年間共暴發(fā)了299次戰(zhàn)爭，詳細數(shù)據(jù)以下:戰(zhàn)爭次數(shù)X01234

22314248154

發(fā)生X次戰(zhàn)爭年數(shù)第75頁

在概率論中，大家對泊松分布產(chǎn)生普通條件已經(jīng)有所了解，輕易想到，每年暴發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)，能夠用一個泊松隨機變量來近似描述.也就是說，我們能夠假設(shè)每年暴發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布X近似泊松分布.上面數(shù)據(jù)能否證實X

含有泊松分布假設(shè)是正確？現(xiàn)在問題是：第76頁再如，某工廠制造一批骰子，聲稱它是均勻.為檢驗骰子是否均勻，要把骰子實地投擲若干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)頻率與1/6差距.也就是說，在投擲中，出現(xiàn)1點，2點，…，6點概率都應(yīng)是1/6.得到數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻”假設(shè)是可信？問題是：第77頁K.皮爾遜這是一項很主要工作，不少人把它視為近代統(tǒng)計學(xué)開端.

處理這類問題工具是英國統(tǒng)計學(xué)家K.皮爾遜在19發(fā)表一篇文章中引進所謂

檢驗法.第78頁

檢驗法是在總體X分布未知時，依據(jù)來自總體樣本，檢驗關(guān)于總體分布假設(shè)一個檢驗方法.第79頁

H0：總體X分布函數(shù)為F0(x)然后依據(jù)樣本經(jīng)驗分布和所假設(shè)理論分布之間吻合程度來決定是否接收原假設(shè).使用

對總體分布進行檢驗時，我們先提出原假設(shè):檢驗法這種檢驗通常稱作擬合優(yōu)度檢驗，它是一個非參數(shù)檢驗.第80頁總體分布擬合優(yōu)度檢驗

GoodnessofFitTest

forDistributionofPopulation第81頁卡方擬合優(yōu)度檢驗原理與步驟1.原理判斷樣本觀察頻數(shù)（Observedfrequency）與理論(期望)頻數(shù)（Expectedfrequency

）之差是否由抽樣誤差所引發(fā)。第82頁3.依據(jù)所假設(shè)理論分布,能夠算出總體X值落入每個Ak概率pk,于是npk就是落入Ak樣本值理論頻數(shù).1.將總體X取值范圍分成r個互不重迭小區(qū)間[ai-1,ai],i=1,…r,記作A1,A2,…,Ar

.2.把落入第k個小區(qū)間Ak樣本值個數(shù)記作nk

，稱為實際頻數(shù).2.步驟第83頁標(biāo)志著經(jīng)驗分布與理論分布之間差異大小.皮爾遜引進以下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布與理論分布之間差異:統(tǒng)計量分布是什么?在理論分布已知條件下,npk是常量實際頻數(shù)理論頻數(shù)第84頁皮爾遜證實了以下定理:

若原假設(shè)中理論分布F0(x)已經(jīng)完全給定，那么當(dāng)時，統(tǒng)計量分布漸近(r-1)個自由度分布.

假如理論分布F0(x)中有m個未知參數(shù)需用對應(yīng)預(yù)計量來代替，那么當(dāng)時，統(tǒng)計量分布漸近(r-m-1)個自由度分布.第85頁

假如依據(jù)所給樣本值X1,X2,…,Xn算得統(tǒng)計量實測值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，不然就認(rèn)為差異不顯著而接收原假設(shè).得拒絕域:(不需預(yù)計參數(shù))(預(yù)計r個參數(shù))查分布表可得臨界值，使得

依據(jù)這個定理，對給定顯著性水平，第86頁卡方分布下檢驗水準(zhǔn)及其臨界值第87頁

皮爾遜定理是在n無限增大時推導(dǎo)出來，因而在使用時要注意n要足夠大，以及npi不太小這兩個條件.

依據(jù)計算實踐，要求n大于50，以及npi

都大于5.不然應(yīng)適當(dāng)合并區(qū)間，使npi滿足這個要求.注意：理論頻數(shù)不宜過?。ㄈ绱笥?），不然需要合并組段！第88頁讓我們回到開始一個例子，檢驗每年暴發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從泊松分布.提出假設(shè)H0:X服從參數(shù)為泊松分布按參數(shù)為0.69泊松分布，計算事件X=i概率pi

，=0.69將相關(guān)計算結(jié)果列表以下:pi預(yù)計是，i=0,1,2,3,4依據(jù)觀察結(jié)果，得參數(shù)極大似然預(yù)計為第89頁

因H0所假設(shè)理論分布中有一個未知參數(shù)，故自由度為4-1-1=2.x01234fi

22314248154

0.580.310.180.010.02n