線性代數(shù)性質(zhì)定理公式全總結(jié)

V初等矩陣的性質(zhì):|E(i,j)|—-1|E[i(k)]—k|E[i,j(k)]—1E(i,j)t—E(i,j)E[i(k)]t—E[i(k)]E[i,j(k)]t—E[j,i(k)]E(i,j)-i—E(i,j)E[i(k)]-i—E[i(1)]kE[i,j(k)]-i—E[i,j(-k)]E(i,j)*—-E(i,j)E[i(k)]*—kE[i(±)]kE[i,j(k)]*—E[i,j(-k)]V設(shè)f(x)二axm+a xm-ih fax+am m-1 1 0對n階矩陣AV設(shè)f(x)二axm+a xm-ih fax+am m-1 1 0m m-1 1 0一個多項式.kAaA+kAaA+bEAtV九是A的特征值，則:<A-iA*A2Amk九a九+b九分別有特征值 扌入LA=幾幾…幾—12 3\o"CurrentDocument"九 九幾2九mkAaA+bEA-iIA=際、一.—12九 九的特征向量.x是A關(guān)于九的特征向量，IA=際、一.—12九 九的特征向量.A*A2AmVA2,Am的特征向量不一定是A的特征向量.VA與At有相同的特征值，但特征向量不一定相同.A與B相似 P-1AP—B （P為可逆矩陣） 記為：A口BA與B正交相似P-1AP—B （P為正交矩陣）

(稱A是A的相似標準形)A可以相似對角化A與對角陣A(稱A是A的相似標準形)VA可相似對角化On-r(XE-A)二kk為九的重數(shù)OA恰有n個線性無關(guān)的特征向量.這時，P為A的特iiii征向量拼成的矩陣，P-1AP為對角陣,主對角線上的元素為A的特征值?設(shè)Q為對應(yīng)于X的線性無關(guān)的特征向量,ii則有：A(a,a，…,a)=(Aa,Aa，…,Aa)=(Xa,Xa，…,Xa)=(a,a，…,a)1 2 n 1 2 n 11 22 nn 1 2 n九丿n停：當X.=0為A的重的特征值時，A可相似對角化OX的重數(shù)二n-r(A)二Ax=o基礎(chǔ)解系的個數(shù).若n階矩陣A有n個互異的特征值nA可相似對角化.若A可相似對角化，則其非零特征值的個數(shù)(重根重復(fù)計算)若A□A若A□AnAk=PAkP-i,g(A)=Pg(A)P-i=P「g(X1)g(X2)P-1g(X)丿n相似矩陣的性質(zhì)：①|(zhì)XE-A|=XE-B，從而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.注x是A關(guān)于Xo的特征向量，P-1x是B關(guān)于Xo的特征向量.②trA=trB從而A,B同時可逆或不可逆④r(A)=r(B)⑤At□Bt；A-i□B-i (若A,B均可逆)；A*□B*「B 、□C丿<D丿f(A)□f(B),|ff(A)□f(B),|f(A)|=|f(B)|「AA□B,C□Dn停前四個都是必要條件.V數(shù)量矩陣只與自己相似.V實對稱矩陣的性質(zhì)：特征值全是實數(shù),特征向量是實向量；不同特征值對應(yīng)的特征向量必定正交；注：對于普通方陣，不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；一定有n個線性無關(guān)的特征向量.若A有重的特征值，該特征值九的重數(shù)=n-r（九E-A）；ii必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經(jīng)正交變換化為標準形；與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標準形；兩個實對稱矩陣相似O有相同的特征值.正交矩陣AAt二EVA為正交矩陣OA的n個行（列）向量構(gòu)成□n的一組標準正交基.V正交矩陣的性質(zhì)：①At二A-1；AAt=AtA-E；正交陣的行列式等于1或-1；A是正交陣，則At,A-1也是正交陣；兩個正交陣之積仍是正交陣；A的行（列）向量都是單位正交向量組.二次型|f（x,x，…,x）=xtAx=江"axxa=a，即A為對稱矩陣，x二（x,x，…,x）t2 n jijjji 1 2 ni=1j=1a與B合同ICTAC=B. 記作：a□B （A,B為實對稱矩陣,C為可逆矩陣）正慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中正項項數(shù)P |負慣性指數(shù)二次型的規(guī)范形中負項項數(shù)r-p符號差|2p—r（r為二次型的秩）

V兩個矩陣合同o它們有相同的正負慣性指數(shù)o他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等.兩個矩陣合同的充分條件是：A□B兩個矩陣合同的必要條件是：r（A）二r（B）（正交變換 、合同變換 x二Cy化為f=工dy21標準形.ii可逆線性變換 1二次型的標準形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個數(shù)是由廠（二次型的標準形不是唯一的,與所作的正交變換有關(guān),但非零系數(shù)的個數(shù)是由廠（A）

十正慣性指數(shù)+負慣性指數(shù)唯一確定的.當標準形中的系數(shù)d當標準形中的系數(shù)d為-1或0或1時,稱為二次型的規(guī)范形?i實對稱矩陣的正（負）慣性指數(shù)等于它的正（負）特征值的個數(shù).慣性定理：任一實對稱矩陣A與唯一對角陣慣性定理：任一實對稱矩陣A與唯一對角陣1-1合同.用正交變換化二次型為標準形:求出A用正交變換化二次型為標準形:求出A的特征值、特征向量;對斤個特征向量正交規(guī)范化;(Cy)T(Cy)TA(Cy)二yrCrACY二y-iCtACYry)1y2rd1)ry1)

y2構(gòu)造C構(gòu)造C（正交矩陣），作變換x=Cy，則新的二次型為f=Ydy2 di'',人的主對角上的元素di即為A的特征值.施密特正交規(guī)范化巴巴巴線性無關(guān),

施密特正交規(guī)范化巴巴巴線性無關(guān),"P=a11P=a33— 2"P=a11P=a33— 2——1—(P,P)11—(匹,卩丿P—(H，卩2)P1(P,P)2P單位化：叮何2技巧：取正交的基礎(chǔ)解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量.〔-1]〔1]x+x—x=0取P—1，P二11 2 3 1<0丿2<2丿例如：正定二次型X,X,x不全為零，f(x,x，…,x)>0.1 2 n 1 2 n正定矩陣正定二次型對應(yīng)的矩陣.f（x）二xtAx為正定二次型O（之一成立）:VxHo，xtAx>0；A的特征值全大于0；f的正慣性指數(shù)為n；A的所有順序主子式全大于0；A與E合同，即存在可逆矩陣C使得CTAC二E；（九大于0）.i存在可逆矩陣P，使得A二P（九大于0）.i存在正交矩陣