高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用人教實(shí)驗(yàn)版（B）

高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用人教實(shí)驗(yàn)版（B）【本講教育信息】一.教學(xué)內(nèi)容：高考復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用二.教學(xué)目的：通過高考或模擬題實(shí)例探究導(dǎo)數(shù)在高考中的應(yīng)用三.知識(shí)分析：【考點(diǎn)綜述】有關(guān)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，在2000年開始的新課程試卷命題時(shí)，其考試要求都是很基本的，以后逐漸加深，考查的基本原則是重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，力求結(jié)合應(yīng)用問題，不過多地涉及理論探討和嚴(yán)格的邏輯證明，而近幾年高考試題的設(shè)計(jì)，特別是2022年試題更突出凡函數(shù)大題必與導(dǎo)數(shù)結(jié)合這一特征。本部分的要求一般有三個(gè)層次：第一層次是主要考查導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)法則；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性等有機(jī)地結(jié)合在一起，設(shè)計(jì)綜合題，通過將新課程內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容相結(jié)合，加強(qiáng)了能力考查力度，使試題具有更廣泛的實(shí)際意義，更體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)作為工具分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的方法，這類問題用傳統(tǒng)教材是無法解決的。【例題探究】【例1】（2022年煙臺(tái)統(tǒng)考）已知函數(shù)f（x）＝x3＋3ax2＋3（a＋2）x＋1既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是?？疾槟康模嚎疾閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求函數(shù)的極值等基本知識(shí)和分析問題、解決問題的能力。解析：∵f′（x）＝3x2＋6ax＋3a＋6，令f′（x）＝0，則x2＋2ax＋a＋2＝0又∵f（x）既有極大值又有極小值∴f′（x）＝0必有兩解，即△＝4a2－4a－8＞0解得a＜－1或a＞2。探究：本題通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程來探究，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的解題思想與解題策略。【例2】設(shè)函數(shù)f（x）＝ax3－2bx2＋cx＋4d（a、b、c、d∈R）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且x＝1時(shí)，f（x）取得極小值－。（1）求a、b、c、d的值；（2）當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論；（3）若x1，x2∈[－1，1]時(shí)，求證：|f（x1）－f（x2）|≤?？疾槟康模罕绢}主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用、絕對值不等式以及綜合推理能力。解析：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴對任意實(shí)數(shù)x，都有f(－x)＝－f（x）．∴－ax3－2bx2－cx＋4d＝－ax3＋2bx2－cx－4d，即bx2－2d＝0恒成立?！郻＝0，d＝0，即f（x）＝ax3＋cx．∴f′（x）＝3ax2＋c?！選＝1時(shí)，f（x）取得極小值－．∴f′（1）＝0且f（1）＝－，即3a＋c＝0且a＋c＝－．解得a＝，c＝－1．（2）證明：當(dāng)x∈[－1，1]時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），使得過這兩點(diǎn)的切線互相垂直，則由f′（x）＝x2－1，知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1＝x12－1，k2＝x22－1，且（x12－1）（x22－1）＝－1．（*）∵x1、x2∈[－1，1]，∴x12－1≤0，x22－1≤0∴（x12－1）（x22－1）≥0，這與（*）相矛盾，故假設(shè)不成立．（3）證明：∵f′（x）＝x2－1，由f′（x）＝0，得x＝±1．當(dāng)x∈（－∞，－1）或（1，＋∞）時(shí)，f′（x）＞0;當(dāng)x∈（－1，1）時(shí)，f′（x）＜0．∴f（x）在[－1，1]上是減函數(shù)，且fmax（x）＝f（－1）＝，fmin（x）＝f（1）＝－．∴在[－1，1]上，|f（x）|≤．于是x1，x2∈[－1，1]時(shí)，|f（x1）－f（x2）|≤|f（x1）|＋|f（x2）|≤＋＝．故x1，x2∈[－1，1]時(shí)，|f（x1）－f（x2）|≤．探究：①若x0點(diǎn)是y＝f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x0）＝0，反之不一定成立；②在討論存在性問題時(shí)常用反證法；③利用導(dǎo)數(shù)得到y(tǒng)＝f（x）在[－1，1]上遞減是解第（3）問的關(guān)鍵．【例3】已知平面向量＝（，－1）．＝（，）．（1）證明⊥；（2）若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使＝＋（t2－3），＝－k＋t，⊥，試求函數(shù)關(guān)系式k＝f（t）；（3）據(jù)（2）的結(jié)論，討論關(guān)于t的方程f（t）－k＝0的解的情況．考查目的：本題考查向量的性質(zhì)與計(jì)算、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象、函數(shù)的圖象與方程根的個(gè)數(shù)間的關(guān)系以及綜合應(yīng)用能力。解析：（1）∵＝×＋（－1）×＝0∴⊥．（2）∵⊥，∴＝0即[＋（t2－3）]·（－k＋t）＝0．整理后得－k＋[t－k（t2－3）]＋（t2－3）·＝0∵＝0，＝4，＝1，∴上式化為－4k＋t（t2－3）＝0，即k＝t（t2－3）（3）討論方程t（t2－3）－k＝0的解的情況，可以看作曲線f（t）＝t（t2－3）與直線y＝k的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．于是f′（t）＝（t2－1）＝t（t＋1）（t－1）．令f′（t）＝0，解得t1＝－1，t2＝1．當(dāng)t變化時(shí)，f′（t）、f（t）的變化情況如下表：t（－∞，－1）－1（－1，1）1（1，＋∞）f′（t）＋0－0＋f（t）↗極大值↘極小值↗當(dāng)t＝－1時(shí)，f（t）有極大值，f（t）極大值＝．當(dāng)t＝－1時(shí)，f（t）有極小值，f（t）極小值＝－．函數(shù)f（t）＝t（t2－3）的圖象如下圖所示，可觀察出：（1）當(dāng)k＞或k＜－時(shí)，方程f（t）－k＝0有且只有一解；（2）當(dāng)k＝或k＝－時(shí)，方程f（t）－k＝0有兩解；（3）當(dāng)－＜k＜時(shí)，方程f（t）－k＝0有三解．探究：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為函數(shù)的作圖提供了新途徑?！纠?】（2022·全國卷·22）已知函數(shù)f（x）＝ln（1＋x）－x，g（x）＝xlnx．（1）求函數(shù)f（x）的最大值；（2）設(shè)0＜a＜b，證明：0＜g（a）＋g（b）－2g（）＜（b－a）ln2．考查目的：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和平均值不等式知識(shí)以及綜合推理論證的能力。解析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?，＋∞），f′（x）＝－1．令f′（x）＝0，解得x＝0．當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0;當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0．又f（0）＝0，故當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）取得最大值，最大值為0．（2）證法一：g（a）＋g（b）－2g（）＝alna＋blnb－（a＋b）ln＝aln由（1）結(jié)論知ln（1＋x）－x＜0（x＞－1，且x≠0）由題設(shè)0＜a＜b，得因此，，．又，．綜上．證法二：．設(shè)則當(dāng)0＜x＜a時(shí)，，因此f(x)在內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)x＞a時(shí)，，因此f(x)在上為增函數(shù)．從而，當(dāng)x＝a時(shí)，f（x）有極小值f（a）．即．設(shè)，則當(dāng)x＞0時(shí)，，因此g(x)在上為減函數(shù)。即，綜上，原不等式得證?！纠?】設(shè)函數(shù)，其中。（I）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（II）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（III）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立。解：（I）由題意知，f(x)的定義域?yàn)?，設(shè)，其圖象的對稱軸為∴，當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立?！喈?dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。（II）①由（I）得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)無極值點(diǎn)，②時(shí)，＝0有兩個(gè)相同的解時(shí)，時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，，?！邥r(shí)，，，即∴時(shí)，隨x的變化情況如下表：－0＋極小值由此表可知：時(shí)，f(x)有惟一極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，∴此時(shí)，隨x的變化情況如下表：＋0－0＋極大值極小值由此表可知：時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；綜上所述，時(shí)，f(x)有惟一極小值點(diǎn)；時(shí)，f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，f(x)無極值點(diǎn)。（III）當(dāng)時(shí)，函數(shù)令函數(shù)則∴當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞增，又時(shí)，恒有即恒成立，故當(dāng)時(shí)，有，對任意正整數(shù)，取則有，所以結(jié)論成立?！灸M試題】一、選擇題1.函數(shù)，則等于（）A. B.C. D.2.設(shè)，則（0）為（）A.0 B.1 C.－1 D.不存在3.已知曲線，這三條曲線與x＝1的交點(diǎn)分別為A、B、C，又設(shè)k1、k2、k3分別為經(jīng)過A、B、C且分別與這三條曲線相切的直線的斜率，則（）A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k2＜k1 C.k1＜k3＜k2D.k3＜k1＜k24.已知a＞0，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（）A.0 B.1 C.2 D.35.已知（m為常數(shù)），在[－2，2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2，2]上的最小值為（）A.－37 B.－29 C.－5 D.－116.（2022年浙江高考）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）二、填空題7.曲線與曲線在交點(diǎn)處的切線的夾角為。8.已知且，則的取值范圍是__________。三、解答題9.已知曲線，求與C1、C2均相切的直線l的方程。10.函數(shù)，過曲線上的點(diǎn)的切線方程為y＝3x＋1（1）若時(shí)有極值，求的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，求在[－3，1]上的最大值；（3）若函數(shù)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求b的取值范圍。11.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線。（1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（t）；（2）據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí)，治療疾病有效。①求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間？②當(dāng)t＝5時(shí)，第二次服藥，問t時(shí)，藥效是否持續(xù)？【試題答案】1、D2、B3、D4、D5、A6、C7、90° 8、（－∞，－1）9、解答：由得，由，得；設(shè)直線l與的切點(diǎn)為的切點(diǎn)為根據(jù)已知條件 ①＋②整理得由③得即，代入④與①聯(lián)立可解得x1＝0或x1＝2當(dāng)x1＝0時(shí)，x2＝2；當(dāng)x1＝2時(shí)，x2＝0∴直線l過（0，0）、（2，0）兩點(diǎn)，或直線過（2，4）、（0，－4）兩點(diǎn)，因此所求直線方程為y＝0或y＝4x－4。10、解：（1）由求導(dǎo)數(shù)得過上點(diǎn)的切線方程為：，而過上，的切線方程為故即在x＝－2時(shí)有極值，故＝0③由①②③式聯(lián)立解得，（2）－2＋0—0＋↗極大↘極小↗，，在[－3，1]上的最大值為13。（3）在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，又，由（1）知，依題意在[－2，1]上恒有在[－2，1]上恒成立。①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，∴0≤b≤6綜合上述討