人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 （多邊形的內(nèi)角和）教育教學(xué)課件

11.3.2多邊形的內(nèi)角和第十一章三角形PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數(shù)學(xué)（初中）（八年級上）

前言學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解多邊形、正多邊形以及多邊形的內(nèi)角、外角、對交線等概念。2.會(huì)用不同的方法探索多邊形的內(nèi)角和，并能利用多邊形內(nèi)角和公式解決問題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：探索多邊形的內(nèi)角和。難點(diǎn)：探索多邊形內(nèi)角和時(shí)，如何把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形。三角形的內(nèi)角和為_______

長方形的內(nèi)角和為_______

任意四邊形的內(nèi)角和為_______

180°360°？思考ABCD1234連接四邊形的任意對角線，將其分為兩個(gè)三角形，而三角形的內(nèi)角和為180°，那么任意四邊形的內(nèi)角和是360°嗎？證明：在四邊形ABCD中，連接對角線BC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△BCD兩個(gè)三角形。由此可得，∠A+∠ABD+∠D+∠ACD=∠A+∠4+∠3+∠D+∠2+∠1=(∠A+∠3+∠1)+(∠D+∠2+∠4)而∠A+∠3+∠1=180°

∠D+∠2+∠4=180°所以∠A+∠ABD+∠D+∠ACD=180°+180°=360°通過三角形內(nèi)角和定理任意四邊形內(nèi)角和是360°證明思考ABCDE證明:任意五邊形的內(nèi)角和等于540°通過任意頂點(diǎn)連接對角線，將五邊形分為三個(gè)三角形。證明:任意五邊形的內(nèi)角和等于720°通過任意頂點(diǎn)連接對角線，將六邊形分為

個(gè)三角形。思考四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出__條對角線，內(nèi)角和為____五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出__條對角線，內(nèi)角和為____六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出__條對角線，內(nèi)角和為____n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出____條對角線，內(nèi)角和為____

……123n-3360°540°720°（n-2）×180°多邊形內(nèi)角和公式=（n-2）×180°思考你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎？ABCD1234ABCDABCDn邊形內(nèi)角和：（n-1）×180°-180°n邊形內(nèi)角和：n×180°-360°擴(kuò)展例1：求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°＝1080°答：八邊形的內(nèi)角和為1080°。課堂測試?yán)?：填空

（1）十二邊形的內(nèi)角和等于

。

（2）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于2340°，它的邊數(shù)是

。

（3）小明在計(jì)算多邊形的內(nèi)角和時(shí)求得的度數(shù)是1000°，他的答案正確嗎？為什么？

1800°15（n-1）×180°=1000°

課堂測試（4）已知四邊形4個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是1︰2︰3︰4，那么這個(gè)四邊形中最大角的度是

。（5）一個(gè)五邊形的三個(gè)內(nèi)角是直角，另兩個(gè)內(nèi)角都是n°，則n=

。（6）六角螺母的面是六邊形，它的內(nèi)角都相等，則這個(gè)六邊形的每個(gè)內(nèi)角是

。（7）在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，那么∠B

與∠D有什么關(guān)系呢？為什么？144°135120°互補(bǔ)課堂測試?yán)?.過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線將這個(gè)多邊形分成3個(gè)三角形,求:1）這個(gè)多邊形的邊數(shù).2）這個(gè)多邊形內(nèi)角和的度數(shù).解：根據(jù)題意，

對角線將這個(gè)多邊形分成3個(gè)三角形。

所以該多邊形是5邊形則（5-2）×180°=540°課堂測試123456在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形外角和。問題1：任何一個(gè)外角同與它相鄰的內(nèi)角有什么關(guān)系？互補(bǔ)多邊形外角和的理解123456在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形外角和。問題2：六邊形的6個(gè)外角加上與它們相鄰的內(nèi)角，所得總和是多少？單個(gè)外角和它相鄰的內(nèi)角和為180°，所以六邊形6個(gè)外角與它們相鄰內(nèi)角和為6×180°=1080°多邊形外角和的理解123456在六邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做六邊形外角和。問題3：上述總和與六邊形的內(nèi)角和、外角和有什么關(guān)系？6×180°-（n-2）×180°=360°多邊形外角和的理解n邊形的外角和是多少度呢?因?yàn)槎噙呅蔚耐饨桥c它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形的外角和加內(nèi)角和等于n·180°，而內(nèi)角和為(n－2)·180°,外角和為：n·180°－(n－2)·180°=360°.結(jié)論:多邊形的外角和都等于360°.思考將左側(cè)的五邊形不斷縮小后，形成右邊圖形。由各線段組成夾角和為一個(gè)周角，所以多邊形內(nèi)角和為360°思考動(dòng)態(tài)演示例4：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的4倍，它是幾邊形？解：設(shè)它是n邊形，則(n-2).180=4×360解得：n=10答：這個(gè)多邊形是十邊形課堂測試?yán)?.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于30°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是多少？解：由題意得，多邊形的內(nèi)角為150°， n邊形的內(nèi)角和為150°×n

則（n-2）×180°=150°×n

即n=12課堂測試?yán)?.有一六邊形，截去一個(gè)三角形，內(nèi)角和會(huì)發(fā)生怎樣變化？請畫圖說明。內(nèi)角和減少180O內(nèi)角和不變內(nèi)角和增加180O變?yōu)槲暹呅芜厰?shù)不變變?yōu)槠哌呅翁岣吒兄x各位的仔細(xì)聆聽PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數(shù)學(xué)（初中）（八年級上）多邊形的內(nèi)角和

回憶長方形、正方形的內(nèi)角和等于______.360°

思考任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？問題情境

探究1你能利用三角形內(nèi)角和定理證明你的結(jié)論嗎？證明：連接對角線AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=（∠BAC+∠BCA+∠B）+（∠DAC+∠DCA+∠D），=180°+180°=360°．ABCD已知：如圖，在四邊形ABCD中.合作探究探究2你能利用三角形內(nèi)角和定理證明你的結(jié)論嗎？從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作_____條對角線，它們將四邊形分為

個(gè)三角形，四邊形的內(nèi)角和等于180°×____=

°．122360ABCDABCDE

探究3

類比前面的過程，你能探索五邊形的內(nèi)角和嗎？六邊形呢？如圖，從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作

條對角線，它們將五邊形分為____個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于

180°×

=

°．233540如圖，從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作_____條對角線，它們將六邊形分為_____個(gè)三角形，六邊形的內(nèi)角和等于180°×____=_______°．344720CABDEF思考

你能從四邊形、五邊形、六邊形……的內(nèi)角和的研究過程獲得啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？能證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？n邊形六邊形五邊形四邊形三角形多邊形內(nèi)角和分割出三角形的個(gè)數(shù)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對角線條數(shù)圖形邊數(shù)······03-3=4-3=5-3=6-3=n-31233-2=14-2=25-2=36-2=4n-2（

n-2）·180o180o360o

540o720o························歸納從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作（n-3）條對角線，它們將n邊形分為（n-2）個(gè)三角形，這（n-2）個(gè)三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，所以，n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°．

例1

填空.

（1）十邊形的內(nèi)角和為

°．（2）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為______．14408練習(xí)鞏固解：如圖，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°．∵∠A+∠B+∠C+∠D

=（4-2）×180°

=360°，∴∠B+∠D

=360°-（∠A+∠C）

=360°-180°

=180°．

例2

如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角有什么關(guān)系？ABCD如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角也互補(bǔ).問題1

我們知道，三角形的內(nèi)角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多種方法．如圖，你能說說怎樣由外角與相鄰內(nèi)角互補(bǔ)的關(guān)系得出這個(gè)結(jié)論嗎？ＡBCDEF123探究新知

由

∠1+∠BAE=180°，∠2+∠CBF=180°，

∠3+∠ACD=180°，

得

∠1+∠2+∠3+∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°．

由

∠1+∠2+∠3=180°，得

∠BAE+∠CBF+∠ACD

=540°-180°=360°．ＡBCDEF123由∠BAD+∠1=180°，∠ABC+∠2=180°，∠BCD

+∠3=180°，∠ADC+∠4=180°，得∠BAD+∠1+∠ABC

+∠2+∠BCD

+∠3+∠ADC+∠4=180°×4．由∠BAD+∠ABC+∠BCD

+∠ADC

=180°×2，得∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4-180°×2=360°．問題2如圖，你能仿照上面的方法求四邊形的外角和嗎？ＡBC123D4問題3

五邊形的外角和等于多少度？六邊形呢？

仿照上面的方法試一試．5×180°-（5-2）×180°=2×180°=360°6×180°-（6-2）×180°=2×180°=360°類比求三角形、四邊形的外角和的方法求出五邊形的外角和是360°，六邊形的外角和是360°．問題4

你能仿照上面的方法求n邊形（n是不小于3的任意整數(shù)）的外角和嗎？

因?yàn)閚邊形的每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，它們的和是180°，所以n邊形內(nèi)角和加外角和等于n·180°，所以，n邊形的外角和為：

n·180°-（n-2）·180°=360°．任意多邊形的外角和等于360°．我們也可以在問題4的基礎(chǔ)上這樣理解多邊形外角和等于360°．如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向．A在行程中轉(zhuǎn)過的各個(gè)角的和，就是多邊形的外角和．由于走了一周，所轉(zhuǎn)過的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形外角和等于360°．A解：設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形，根據(jù)題意，可列方程

（n-2）×180°=3×360°．

解得n=8．

答：它是八邊形．例3

一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？精講例題x=65

1.求出下列圖形中x

的值.x=60

x=95

隨堂練習(xí)2.下列各個(gè)度數(shù)中，不可能是多邊形的內(nèi)角和的是（）A.600°B.720°C.900°D.1080°3.若多邊形的邊數(shù)由3增加到5，則