2022年新疆高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）解析版

2022年新疆高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出

的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）集合M={2,4,6,8,10},N={x\-\<x<6}（）

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,

8,10）

2.（5分）設(shè)（l+2z）a+h=2i,其中a,則（）

A.ci~~1?h---1B.I，h~~1C.一1,Z?

=1D.a=-1,b=-1

3.（5分）已知向量之=（2,1）,b=（-2,4）,貝U|W-E|=（）

A.2B.3C.4D.5

4.（5分）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動時(shí)

長（單位：h）,得如圖莖葉圖:

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

甲乙

615

853063

753246

6421812256666

4290238

10.1

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

'x+y>2,

5.（5分）若％,y滿足約束條件<x+2y44,則z=2x-y的最大值是

y>0,

（）

A.-2B.4C.8D.12

6.（5分）設(shè)/為拋物線C>2=4%的焦點(diǎn)，點(diǎn)人在。上，點(diǎn)3（3,

0),則|A8|=()

A.2B.2&C.3D.372

7.(5分)執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的〃=)

C^T)

/輸入a=l,b=l,n=iy

A.3B.4C.5D.6

8.（5分）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致

圖像，則該函數(shù)是（)

x2+lx2+l

9.（5分）在正方體A3c中，E,尸分別為AB,3c的中

點(diǎn)，貝I（）

A.平面BEFJ_平面BDDiB.平面BERL平面ABD

C.平面8七/〃平面44CD.平面BE/〃平面4GQ

10.（5分）已知等比數(shù)列｛山｝的前3項(xiàng)和為168,Z-公=42,則a

=（）

A.14B.12C.6D.3

11.（5分）函數(shù)/（%）=cos%+（x+1）sior+1在區(qū)間［0（）

A.兀兀p_3兀兀p.兀兀幾兀

22222222

12.（5分）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為。，底面的四個

頂點(diǎn)均在球。的球面上，其高為（）

A.1B.1C.返D.亞

3232

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）記S,為等差數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=352+6,則公差

d=.

14.（5分）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,

則甲、乙都入選的概率為.

15.(5分)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)

的一個圓的方程為.

16.(5分)若/(%)=/川|+〃是奇函數(shù),b—.

1-x

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選

考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,已知

sinCsin(A-B)(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2〃=〃+/.

18.(12分)如圖，四面體43CD中，ADLCD,ZADB=ZBDC,E

為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面8￡O_L平面ACD；

(2)設(shè)AB=BD=2,ZACB=60°,點(diǎn)/在上，求三棱錐方

19.(12分)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為

估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木2)

和材積量(單位：m3),得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號i12345678910總

和

根部橫截面0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

積劉

材積量V0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得￡%，=0.038,2=1.6158,￡%?=0.2474.

i=li=li=l

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的

材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)

(精確至I」0.01);

(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有

這種樹木的根部橫截面積總和為186m2,已知樹木的材積量與其根

部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材

積量的估計(jì)值.

n__

E(x「x)Rj-y)

附：相關(guān)系數(shù)r=?E，V1.896%1.377.

2

JE(Xi-X)E亍)2

Vi=li=l

20.(12分)已知函數(shù)/(%)=ax-A-(?+1)live.

X

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求/(%)的最大值；

(2)若/(%)恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

21.(12分)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為入軸、y軸，

且過A(0,-2),B(3,-1)

2

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)P(l,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)”滿足證=

訴.證明：直線"N過定點(diǎn).

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如

果多做，則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10

分)

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜Sc°s2t,

(y=2sint

(/為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，已知直線/的極坐標(biāo)方程為psin

(0+2L)+m=0.

3

(1)寫出/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若/與。有公共點(diǎn)，求相的取值范圍.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

333

23.已知a,b,c都是正數(shù)，且ag+bu萬+cc5=1

(1)a灰W」；

9

(2)a*b+cv1

b+ca+ca+b2vabc

2022年新疆高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出

的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）集合M={2,4,6,8,10},N={x\-l<x<6}（）

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,

8,10}

【分析】直接利用交集運(yùn)算求解即可.

【解答】解：?.?M={2,4,6,8,10},

，MnN={2,3}.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）設(shè)（1+2/）a+b=2i,其中a,則（）

A.a=l,b=-1B.a=l,b=lC.a=-1,b

=1D.a=-1,b=-1

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

【解答】解：（1+2。a+b=3i,

：.a+b+2ai=2i,即［a+b=8,

l2a=2

解得八二6.

Ib="l

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）已知向量之=（2,1）,b=（-2,4）,KiJ|a-bl=（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】先計(jì)算處ZV的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長公式即可.

【解答】解：==（4,-3），

故|ZA|=752+（-3）3=5,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.（5分）分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動時(shí)

長（單位：h）,得如圖莖葉圖:

則下列結(jié)論中錯誤的是（）

甲乙

615

853063

753246

6421812256666

4290238

10.1

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

【分析】根據(jù)莖葉圖逐項(xiàng)分析即可得出答案.

【解答】解：由莖葉圖可知，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本中

位數(shù)為工亞互4；

2

由莖葉圖可知，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長的樣本平均數(shù)大于8；

甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于2的概率的估計(jì)值為其且〈04,

167

選項(xiàng)C說法錯誤；

乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動時(shí)長大于8的概率的估計(jì)值為

77-=0.8125>0,選項(xiàng)。說法正確?

16

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查莖葉圖，考查對數(shù)據(jù)的分析處理能力，屬于基礎(chǔ)

題.

'x+y>2,

5.（5分）若％,y滿足約束條件,x+2y《4,則z=2%-y的最大值是

y>0,

（）

A.-2B.4C.8D.12

【分析】作出可行域，根據(jù)圖象即可得解.

【解答】解：作出可行域如下圖陰影部分所示，

由圖可知，當(dāng)（％,0）時(shí)，且最大為8.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于

基礎(chǔ)題.

6.（5分）設(shè)/為拋物線C儼=飄的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3,

0）,則|A3|=（）

A.2B.2&C.3D.372

【分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解力的坐標(biāo)，然后

求解即可.

【解答】解：尸為拋物線C：9=4%的焦點(diǎn)（8,0）,點(diǎn)3（3,|AF|

=\BF]=2,

由拋物線的定義可知A（1,2）（A不妨在第一象限）,（5.1）2+（_5）2

=2折

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是

基礎(chǔ)題.

7.（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的〃=（）

（結(jié)束）

A.3B.4C.5D.6

【分析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的〃

值.

【解答】解：模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，如下：

輸入a=l,b—1,

計(jì)算/?=2+2=3,<2=6-1—2,

2

判斷咚-2|=上，

287

計(jì)算。=3+4=8,<2=7-2=3,

9

判斷4-21=2；

8225

計(jì)算6=7+10=17,4=17-5=12,

判斷2尸旦；

122144

輸出”=4.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了程序的運(yùn)行與應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算

能力，是基礎(chǔ)題.

8.（5分）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致

Cy=2xcosxDy=2sinx

【分析】首先分析函數(shù)奇偶性，然后觀察函數(shù)圖像在（1,3）存在

零點(diǎn)，可排除8,。選項(xiàng)，再利用cos%在（0,+8）的周期性可判

斷C選項(xiàng)錯誤.

【解答】解：首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，

其次觀察函數(shù)在（1,3）存在零點(diǎn)，

而對于3選項(xiàng)：令y=6,即四=o,解得x=0,故排除3選項(xiàng)；

X2+3

對于。選項(xiàng)，令y=4,即25出=0,2wz；

X2+7

。選項(xiàng)：當(dāng)%>0時(shí),3x>0,廣+5>0,因?yàn)閏osset-1,故2xcosx-

x2+lx2+l

=告，且當(dāng)％>0時(shí)，x金〉2，故一V4l，

1V0

XLAXL

XX

而觀察圖像可知當(dāng)％>0時(shí)、/（%）”心e7,故C選項(xiàng)錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)圖像的識別，屬于基礎(chǔ)題.

9.（5分）在正方體ABC。-A而G”中，E,歹分別為A3,8c的中

點(diǎn)，貝I（）

A.平面BE凡L平面BOnB.平面BERL平面A8D

C.平面BE/〃平面4ACD.平面BE/〃平面4G。

【分析】對于A,易知E尸〃AC,AC,平面3D。，從而判斷選項(xiàng)

A正確；對于8,由選項(xiàng)A及平面BDQiG平面A山可判斷

選項(xiàng)3錯誤；對于C,由于44i與BE必相交，容易判斷選項(xiàng)。錯

誤；對于D,易知平面ABC〃平面AiCiD,而平面ABxC與平面

BE/有公共點(diǎn)8,由此可判斷選項(xiàng)。錯誤.

【解答】解：對于A,由于E,8C的中點(diǎn)，

5LACLBD,AC.LDD1,BDCDD尸D,且BOu平面8。。，

.,.AC±￥?BDD\,貝ljE/_L平面

又Mu平面B\EF,

二.平面8石尸，平面BO。，選項(xiàng)4正確；

對于3,由選項(xiàng)A可知//，平面8DD,而平面3D。7G平面A18D

=BD,在該正方體中?運(yùn)動至A8時(shí)，平面8族不可能與平面48D

垂直，選項(xiàng)3錯誤；

對于C,在平面A8B3A1上，易知A4i與8正必相交，故平面B功

與平面AAC不平行，選項(xiàng)C錯誤；

對于。，易知平面4瓦?！ㄆ矫?GQ,而平面A&C與平面

有公共點(diǎn)8,故平面BsEF與平面A\C\D不可能平行，選項(xiàng)D錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏

輯推理能力，屬于中檔題.

10.（5分）已知等比數(shù)列｛m｝的前3項(xiàng)和為168,磁-念=42,則a6

)

A.14B.12C.6D.3

【分析】由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求得

的值.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛圓｝的公比為必qWO,q^\.

??,前6項(xiàng)和為的+。2+。7=/玉__一=168,ai-ai=a\*q-a\*q5=a\

1-q

?<7(1-/=42,

^=—>。8=96,

2

則a6=?i,<?7=96X_L=3,

32

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基

礎(chǔ)題.

11.(5分)函數(shù)/(%)=cos%+(%+1)sinx+1在區(qū)間[0()

A_兀兀p_3兀兀p_兀兀兀兀

22222222

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)/(%)=(%+1)cosX,令cos%=0得，x

=*或等，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，(%)的正負(fù)得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性，

進(jìn)而求出函數(shù)/(%)的極值，再與端點(diǎn)值比較即可.

【解答】解：/(%)=cosx+(JC+1)sinx+1,光6[4,

貝1J/"(%)=-sinx+siiir+(x+1)cosx=(x+1)cosx,

令COSJT=7得，%=2L或12L,

27

...當(dāng)XE[O,2L)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增w(2Lt12L)時(shí)，f'(x)<4；

232

當(dāng)％e(2L,f(%)>5,

2

."(%)在區(qū)間［0,2n］上的極大值為了(三工+2,極小值為7(3冗3冗,

2228

又?:于(0)=2,f(2-rt)=5,

二.函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,2川的最小值為-等今+5,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.

12.(5分)已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個

頂點(diǎn)均在球。的球面上，其高為()

A.1B.1C.近D.近

3232

【分析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底

面邊長為Q,由勾股定理可知該四棱錐的高吟口L所以該四

棱錐的體積V=1卜二，再利用基本不等式即可求出V的最大

值，以及此時(shí)。的值，進(jìn)而求出力的值.

【解答】解：由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，設(shè)底面邊長為

則r=?ZLa,

該四棱錐的高/z=

...該四棱錐的體積V=%

3Y'6'7V'3'27

當(dāng)且僅當(dāng)之口至，即至?xí)r，等號成立,

...該四棱錐的體積最大時(shí)，其高//=。^=倡=篝，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的

應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）記S”為等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=352+6,則公差

d—2

【分析】根據(jù)已知條件，可得2（41+42+03）=3（6Z1+6Z2）+6,再結(jié)

合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：?.?253=452+6,

3（。|+。2+。2）=3（。1+。7）+6,

???｛。,｝為等差數(shù)列，

6。7=3防+8。2+6,

.*.4（tZ2-<2i）=8d=6,解得d=2.

故答案為：7.

【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于

基礎(chǔ)題.

14.（5分）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，

則甲、乙都入選的概率為J-.

一10一

【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總

數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個數(shù)，由此求出甲、乙

被選中的概率.

【解答】解：方法一：設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，

從5人中選3人有以下10個基本事件：

甲乙丙，甲乙丁，甲丙丁，甲丁戊、乙丙戊，丙?。?/p>

甲、乙被選中的基本事件有3個：甲乙丙，甲乙戊；

故甲、乙被選中的概率為

10

方法二：

由題意，從甲，基本事件總數(shù)《，

甲、乙被選中，包含的基本事件的個數(shù)穹，

根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率。===

c?

3

Io'

【點(diǎn)評】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)

算公式即可，屬于基礎(chǔ)題.

15.（5分）過四點(diǎn)（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點(diǎn)

的一個圓的方程為%2+y2-4%-6y=0（或3+丫2-4%-2y=0或

一+y2-a-JAy=O或廣+丫2--2丫-也=0）.

~3―35-5

【分析】選其中的三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程.

【解答】解：設(shè)過點(diǎn)（0,0）,2）,1）的圓的方程為％2+,+m+@+/

=0

'F=0

即T6+2D+F=0，解得尸=0，E=-6,

2-D+E+F=6

所以過點(diǎn)(8,0),0),7)圓的方程為％2+y-8光-6y=0.

同理可得，過點(diǎn)(7,(4,(45+y-4x-8^=0.

過點(diǎn)(0,3),1),2)圓的方程為。

過點(diǎn)(4,8),1),2)圓的方程為爐+V-2

55

故答案為：x^y5-4%-6y=5(或％?+產(chǎn)-2x-2y=0或xs+y2--|vt-

些+丫8,4-2y-

352

【點(diǎn)評】本題考查了過不在同一直線上的三點(diǎn)求圓的方程應(yīng)用問

題，是基礎(chǔ)題.

16.(5分)若/(%)=7川是奇函數(shù)__z_——，b=5?2.

1-x2一

【分析】顯然aNO,根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得，%N1且

a

所以1+上=-1,進(jìn)而求出a的值，代入函數(shù)解析式，再利用奇函

a

數(shù)的性質(zhì)/(0)=0即可求出。的值.

【解答】解：/(%)=ln\a+J^-\+b,

若。=8,則函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閧4xWl},不具有奇偶性，

?1Q#0,

由函數(shù)解析式有意義可得，且〃+」_盧3，

1-xi

??X~^~1且X盧］^

a

?.?函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，.?.定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，

/.1+A=-4—f

a2

：.f(x)=ln\3+x\+b,

J2(2

由f(0)=2得，/nA,

；.b=bi4,

故答案為：-工；IB

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選

考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為b,c,已知

sinCsin(A-B)(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2〃=〃+/.

【分析】(1)由sinCsin(A-B)=sin8sin(C-A),結(jié)合A=23,

可得sinC=sin(C-A),即C+C-A=n,再由三角形內(nèi)角和定理

列式求解C；

(2)把已知等式展開兩角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角

為邊即可證明結(jié)論.

【解答】解：⑴由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A),

又A=2B,.,.sinCsin3=sin8sin(C-A),

,.,sinBWO,sinC=sin(C-A),

'A=7B

聯(lián)立|2C-A=n，解得。=互兀；

4

lA+B+C=n

證明：(2)由sinCsin(A-=sinBsin(C-A),

得sinCsinAcosB-sinCcosAsin5=sinBsinCcosA-sinficosCsinA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-ahcosC,

,-q-E-/口212,4,8.222,,23

由余弦定理可得：QC?@±￡且=2*?+c-aa+b-c,

2ac8bc2ab

整理可得：2屋=〃+c2.

【點(diǎn)評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，

考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

18.(12分)如圖，四面體ABC。中，ADLCD,/ADB=/BDC,E

為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面4CQ；

(2)設(shè)A8=8D=2,NAC8=60°,點(diǎn)/在上，求三棱錐方

-ABC的體積.

【分析】(1)易證所以ACLBE,XACLDE,

由線面垂直的判定定理可得AC_L平面BED,再由面面垂直的判定

定理即可證得平面3ED_L平面ACD；

(2)由題意可知△ABC是邊長為2的等邊三角形，進(jìn)而求出BE

=代，AC=2,AD=CD=?,DE=1,由勾股定理可得DE_LBE,

進(jìn)而證得。E_L平面ABC,連接EF,因?yàn)?/=。尸，則EFLAC,

所以當(dāng)時(shí)、EF最短,此時(shí)△AR7的面積最小，求出此時(shí)

點(diǎn)尸到平面ABC的距離，從而求得此時(shí)三棱錐F-ABC的體積.

【解答】證明：(1)VAD=CD,/ADB=/BDC,

...△ADBQACDB,

：.AB^BC,又?「E為AC的中點(diǎn).

C.ACLBE,

'：AD=CD,E為AC的中點(diǎn).

：.ACLDE,又，：BECDE=E,

.?.AC_L平面BED,

又「ACu平面AGO,

二.平面8EZ)_L平面ACD；

解:(2)由(1)可知AB=8C,

：.AB^BC=2,NACB=60°,邊長為2,

：.BE=疵,AC=2近,DE=1,

■:DE+BSBh,C.DELBE,

又；DE_LAC,ASBE=E,

.?.Q—平面ABC,

由(1)知△A08之△CDS,：.AF=CF,則EF_LAC,

；?SMFCxACXEF=EE

.?.當(dāng)EBD時(shí)，E/最短，

過點(diǎn)尸作/G_LB￡于點(diǎn)G,則尸G〃QE,

，一，EF=DExBE=M,

,BD-F，

.??8)=、BE2.ErF7=3,.-.FBEG=EF4><BF=2,

VDE2

=8

?二三棱錐F-ABC的體積V=-^-xSAABCXFGyx^-x2x-^

返

4

【點(diǎn)評】本題主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱錐的體

積公式，同時(shí)考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題.

19.（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為

估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木2）

和材積量（單位：/）,得到如下數(shù)據(jù):

樣本號i12345678910總

和

根部橫截面0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

積劉

材積量V0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得￡%，=0.038,2=1.6158,￡%?=0.2474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的

材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)

（精確至I」0.01）;

（3）現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有

這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根

部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材

積量的估計(jì)值.

n__

E(x￡-x)(yi-y)

附：相關(guān)系數(shù)r=|n，717896^1.377.

*2(y?)2

JE(X1-X)Er

Vi=li=l

【分析】根據(jù)題意結(jié)合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)，并

估計(jì)該林區(qū)這種樹木的總材積量的值即可.

【解答】解：(1)設(shè)這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為7,平均

一棵的材積量為二

則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：q=&A=3.06相2,y=Al=0.39m3；

1010

io__

Z區(qū)-x)Rj-y)

(2)由題可知，r=下B-----------------=

2

、忙(Xj-x)2工(yi-y)

Vi=li=7

10_

￡xiYi-nxy

i=]_=7.0134=5.0"4=

2—2、屋2-27VO.002X0.09480.OlxVl.896

iXj-nx)(Ly,-ny)

Vi=7i=4

3.0134.

0.01377*_

(3)設(shè)總根部面積和X,總材積量為K,則4。0-39*186=1209

Yy6.06

(m3).

【點(diǎn)評】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題.

20.(12分)已知函數(shù)J'(%)=ax-A-(?+1)Inx.

X

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(x)的最大值；

(2)若/(%)恰有一個零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【分析】(1)將a=0代入，對函數(shù)/(%)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性,

由此可得最大值；

(2)對函數(shù)/(%)求導(dǎo)，分a=0,Q(0,0<tz<1,4=1及a>l

討論即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)當(dāng)a=Q時(shí)，f(x)=」-lnx(x>7)，則

易知函數(shù)/(%)在(3,1)上單調(diào)遞增，+8)上單調(diào)遞減，

「./(%)在％=1處取得極大值，同時(shí)也是最大值，

???函數(shù)/(%)的最大值為/(I)=-4；

、1a+6ax2-(a+l)x+8—(x-l)(ax-7)

⑵f(x)=a+-2--=------2-------------2-----'

XAXX

①當(dāng)a=O時(shí)，由(1)可知；

②當(dāng)［V6時(shí)，易知函數(shù)/(%)在(0,在(1,

又f(1)=a-3<0,故此時(shí)函數(shù)/(%)無零點(diǎn)；

③當(dāng)0<。<6時(shí)，易知函數(shù)J'(x)在(0,1),(―,4co),在(1,-1)

aa

單調(diào)遞減，

且/(I)=a~4<0,fd)=7-a+(a+l)lna<0，且當(dāng)％~*+8時(shí)，此

a

時(shí)/(%)在(2；

④當(dāng)。=1時(shí)一,釬(X)函數(shù)/(%)在(2,

X

又f(1)=0,故此時(shí)函數(shù)/(%)有唯一零點(diǎn)；

⑤當(dāng)a>l時(shí)，易知函數(shù)/(%)在(3,工)，(1,+8),在心，1)上

aa

單調(diào)遞減，

且/(1)=a-1>6,且當(dāng)0時(shí)，故函數(shù)f(%)在(0；

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(8.

【點(diǎn)評】本題考查里利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考

查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力，屬于難題.

21.(12分)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為％軸、y軸，

且過A(0,-2),B(3,-1)

2

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(1,-2)的直線交后于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)//滿足證=

用.證明：直線"N過定點(diǎn).

【分析】(1)設(shè)E的方程為，以“即2=1(m>0,n>0),將A,B

兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；(2)由A(0,-2),B*,-1)可得直線

卷：產(chǎn)Zx-2,①若過P(1，-2)的直線的斜率不存在，直線為工

3

=1,代入橢圓方程，根據(jù)析=后即可求解；②若過P(l,-2)

的直線的斜率存在，設(shè)區(qū)-y-(2+2)=0,M(汨，y),N(照，

rkx-y-(k+2)=0

以)，聯(lián)立了2,得(3右+4)e-6k(2+Bx+3k(攵+4)

—+^v—=1

34

=0,結(jié)合韋達(dá)定理和已知條件即可求解.

【解答】解：(1)設(shè)E的方程為"/+〃>2=3(〃2>0,n>0),

f4n=5

將A(6,-2),B(4，T)兩點(diǎn)代入得9，

2-^mtn=5

解得m=工,〃=旦，

34

22

故E的方程為Z+匚=7；

34

(2)由A(0,-2),B，，-1)可得直線AB：y~x-2

22

(1)若過點(diǎn)P(6,-2)的直線斜率不存在.代入三，二=3，

44

可得見（1,WL），N（l,生反），代入A3方程

33

y4x<&〃bsp；T（Wi+3,-平），由正幣i,得到

o0

H（-2V2+5,-平）y=（2-^）x-6,過點(diǎn)（①

②若過P（1,-3）的直線的斜率存在，M（與，y）,N（s，券）,

kx-y-(k+2)=6

聯(lián)立22，得(4^+4)%8-6Z(2+攵)x+3k(Z+4)=0,

—+v^=1

34

6k(7+k)=8(2+k)

X+X=------2-------丫產(chǎn)6一9-

323k」+65k+4日_-24k

故有，

6k(4+k)4(7+4k-2k2)'xly2+x8yi-6

XiX=----n---3k+4

32k2+4y8y2=3k2+6

（*）,

聯(lián)立常工可得T（等地鞏3兀+6/，丫8）'

可求得此時(shí)HN：y-y=---g—----(x-xg)，

2z3yi+5-xj-X2°

將(0,-2)代入整理得4(%i+%2