“繩模型”做完整圓周運動的臨界條件(全文)

精品文檔-下載后可編輯“繩模型”做完整圓周運動的臨界條件(全文)中學階段研究豎直平面內(nèi)的圓周運動時總結(jié)了一些規(guī)律性的結(jié)論.其中，以“繩模型”為例，重點研究了小球在豎直平面內(nèi)能做完整的圓周運動時，在最低點、最高點的速度條件以及相應繩的受力情況等.多數(shù)學生較為深刻的掌握了最低點、最高點運動的的運動學和動力學的規(guī)律特點.不過與此同時，似乎給學生留下一種思維定勢，似乎研究圓周運動，只停留在最高點和最低點運動情形，除了這兩個特殊點以外，圓周軌跡其他任意位置的運動特點是學生關于圓周運動的學習盲區(qū)，學生甚少關注或是根本不清晰其他位置的運動特點.因此，容易發(fā)現(xiàn)我們在教學圓周運動時，只教學了它的特殊性，而忽視了它的一般性.實質(zhì)上，我們應該以更寬的視角來研究圓周運動的整體構(gòu)架，讓學生對圓周運動的整體性和連續(xù)性有一定的把握和了解.

在豎直平面內(nèi)的圓周運動，是有重力參與提供向心力的，如果沒有其他的切向力，豎直面上的圓周運動肯定是非勻速率的，機械能是守恒的，在水平直徑以上，圓周運動的每個位置都可能是某個速度條件下，各點均存在一定的速度臨界值，物體存在能做圓周運動的臨界條件.

為此，筆者將以繩模型為基點，研究圓周運動，水平直徑以上各點的臨界速度，并將彈力的方向指向圓心和背向圓心分為兩種情況并結(jié)合具體事例進行分析：

1水平直徑以上各點彈力的方向指向圓心

例如系在繩上的小球，過山車……

T+mgsinθ=mv2R2，

當T=0時v臨界=gRsinθ.

在水平直徑以上各點不脫離軌道因而可做完整圓周運動的條件是v≥gRsinθ.

例1如圖2，一個長為a的細線系著一個小球懸掛在O點靜止不動.若使小球獲得一個水平初速度為v0=（2+3）ag，略去空氣阻力.證明：小球的運動軌跡經(jīng)過O點.

分析與解小球運動軌跡會通過懸點O，是因為線繩在水平直徑上方與水平直徑成某一角度α時，線繩不再張緊，小球開始脫離圓軌道而做斜上拋運動，如圖3所示.我們先來求出繩上張力為零時，小球達到臨界速度v=gasinθ時的方位角α.整個運動過程中只有重力做功，機械能守恒，則有

12mv2=12m（（2+3）ag）2+mga（1+sinα），

3agsinα=v20-2ag，sinα=33.

故這個位置在距水平直徑h=33a高處.

此后，小球做斜上拋運動，以拋出點為原點建立直角坐標系xO′y，我們從豎直方向分運動求出當小球豎直位移為-h的歷時t：

-h=vtcosα-12gt2；

將h=33a，cosα=63，v=33ag

代入后整理得3gt2-223agt-23a=0，

由此方程解得符合題意的時間為t=23ag；這段時間內(nèi)小球完成的水平位移為

x=vtsinα=33ag?23ag?33=63a=acosα，

說明小球做斜拋運動過程中，經(jīng)過了坐標為（63a，-33a）的懸點O.

2在水平直徑以上各點的彈力方向背離圓心的情況

例如車，過拱橋……

mgsinθ-N=mv2R2，

當N=0，v臨界=gRsinθ.

在水平直徑以上的各點，不脫離軌道而做完整圓周運動的條件是

v≤gRsinθ.

例2一個質(zhì)點在光滑的固定半球面上距球心高度為H的任一點P，在重力的作用下由靜止開始下滑，從Q點離開球面，求PQ兩點的高度差h.

分析與解如圖5，質(zhì)點從P點運動到Q點，除重力外，無其他力做功，是一個機械能守恒的過程：重力勢能的減少等于動能的增加；質(zhì)點在Q點只受重力，設球的半徑為R，質(zhì)點的速度為v，由機械能守恒得m