北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （三角形內(nèi)角和定理）平行線(xiàn)的證明課件(第2課時(shí))

7.5

三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解并掌握三角形的外角的定義．（重點(diǎn)）2.掌握三角形的外角的性質(zhì)，利用外角的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明和計(jì)算．（難點(diǎn)）三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.ABCDE∠ACD

是△ABC的外角知識(shí)回顧外角的定義：△ABC內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角，稱(chēng)為△ABC的外角?！?是△ABC的外角。DABC14知識(shí)講解1.三角形的外角探究1：

畫(huà)出△ABC所有的外角，并指出有哪幾個(gè)？

有6個(gè)，它們是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6.探究2：

△ABC的6個(gè)外角有什么關(guān)系？（從位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系）

∠1和∠4是對(duì)頂角，相等；∠2和∠5是對(duì)頂角，相等；∠3和∠6是對(duì)頂角，相等.★三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長(zhǎng)線(xiàn).∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，CBAD

每一個(gè)三角形都有6個(gè)外角．總結(jié)歸納★三角形的外角的性質(zhì)問(wèn)題1：如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內(nèi)角∠ACB有什么關(guān)系？∠BCD與∠ACB互補(bǔ).三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角問(wèn)題2：

如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A、∠B)有什么關(guān)系？∠A+∠B=∠BCD三角形的外角ACBD相鄰的內(nèi)角不相鄰的內(nèi)角D證明：過(guò)C作CE∥AB，ABC12∴∠1=∠B，（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）∠2=∠A，（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.E已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.★三角形內(nèi)角和定理的推論ABCD(((三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.▼應(yīng)用格式：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角∴∠ACD=∠A+∠B.拓展解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.如圖1，試比較∠2、∠1的大小.如圖2，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖1ABC12圖2ABC12E3D三角形內(nèi)角和定理的另一個(gè)推論：三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.

★三角形的外角和例3如圖，∠BAE、∠CBF、∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？解法2：如圖，∠BAE+∠1=180°，①∠CBF+∠2=180°，②∠ACD+∠3=180°.③又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213結(jié)論：三角形的外角和等于360°.

ABCEFD(((((23P1((1.如圖，在△ABC中,∠B＝40°,∠ACD＝120°,則∠A的度數(shù)是

40°120°80°？隨堂訓(xùn)練2.在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，

BD平分∠ABC，則∠BDC的度數(shù)是50°？70°85°3.如圖，∠A，∠1，∠2的大小關(guān)系是∠A<∠1<∠2DE三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)性質(zhì)1.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于360°2.三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角課堂小結(jié)1.判斷下列命題的對(duì)錯(cuò).（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和。（）（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍。（）（3）三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和.（）（4）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（）（5）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角.（）（6）三角形的一個(gè)內(nèi)角小于任何一個(gè)與它不相鄰的外角.（）當(dāng)堂檢測(cè)2.如圖，AB//CD，∠A＝37°,∠C＝63°，那么∠F等于（）FABECDA.26°B.63°C.37°D.60°A3.（1）如圖，∠BDC是________

的外角,也是

的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°,

∠BCE=20°,試求∠AEC的度數(shù).ABCDE△ADE△ADC解：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)有∠ADC=∠B+∠BCE,∠AEC=∠ADC+∠BAE.所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE=45°+20°+36°=101°.解：因?yàn)椤螦DC是△ABD的外角，4

.如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn),∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度數(shù)；（2）∠C的度數(shù).在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，所以∠C=180o-40o-70o=70°.所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.又因?yàn)椤螧=∠BAD，ABCDABCDE12FG解：∵∠1是△FBE的外角,∴∠1=∠B+∠E.同理∠2=∠A+∠D.在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180o,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180o.5.如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).123BACPNMDEF6.如圖，試求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.360°第七章

平行線(xiàn)的證明三角形內(nèi)角和定理第1課時(shí)

1課堂講解三角形內(nèi)角和性質(zhì)和應(yīng)用直角三角形兩銳角的關(guān)系2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升我們知道，三角形內(nèi)角和等于180°.你還記得這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程嗎？（1）如圖，如果我們只把∠A移到∠1的位置，你能說(shuō)明這個(gè)結(jié)論嗎？如果不移動(dòng)∠A，那么你還有什么方法可以達(dá)到同樣的效果？（2）根據(jù)前面給出的基本事實(shí)和定理，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)說(shuō)這一結(jié)論的證明思路嗎？你能用比較簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言寫(xiě)出這一證明過(guò)程嗎？與同伴進(jìn)行交流.1知識(shí)點(diǎn)三角形內(nèi)角和性質(zhì)知1－導(dǎo)已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°.圖1分析：延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)CE//BA(圖2)，這樣就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.圖2這里的CD，CE稱(chēng)為輔助線(xiàn)，輔助線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn).知1－導(dǎo)知1－導(dǎo)證明：延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)CE//BA，則

∠1=∠A（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠2=∠B（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）.∵∠l+∠2+∠ACB=180°（平角的定義），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）.1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.2.定理證明的思路：因?yàn)?80°的角有：(1)平角；(2)鄰補(bǔ)角的和；(3)平行線(xiàn)間一對(duì)同旁?xún)?nèi)角的和，因此證三角形的內(nèi)

角和為180°就是要把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為上述的三種角，

而創(chuàng)造平行線(xiàn)是轉(zhuǎn)化的橋梁．知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）例1（山東濱州）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．導(dǎo)引：引用輔助量x°，用x°表示出△ABC的三個(gè)內(nèi)角

的度數(shù)，然后在△ABC中，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定

理構(gòu)造方程，解方程后，求出△ABC中各內(nèi)角的

度數(shù)，再看是否有一個(gè)角是直角或有兩個(gè)角互余，

從而判斷△ABC的形狀．

知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）解：△ABC是直角三角形．

理由：∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴可設(shè)∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為x°，2x°，3x°.在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形三個(gè)內(nèi)

角的和等于180°)，

∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30.∴∠A＋∠B＝x°＋2x°＝3x°＝90°.∴∠C＝180°－90°＝90°.∴△ABC是直角三角形．知1－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）總

結(jié)知2－講（來(lái)自《點(diǎn)撥》）

判斷一個(gè)三角形的形狀的方法：(1)可以看三角形中最大的角的大小：最大角是銳角，三角形就是銳角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是鈍角，三角形就是鈍角三角形．(2)也可以通過(guò)角的比例關(guān)系判斷：兩較小角的比例和小于最大角的比例，則此三角形為鈍角三角形；兩較小角的比例和等于最大角的比例(兩銳角互余)，則此三角形為直角三角形；兩較小角的比例和大于最大角的比例，則此三角形為銳角三角形．1(中考·濱州)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，則∠C等于(

)A．45°B．60°C．75°D．90°2(中考·棗莊)如圖，AB∥CD，AE交CD于點(diǎn)C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，則∠D的度數(shù)為(

)A．17°B．34°C．56°D．124°知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）CC一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示，

若∠3＝50°，則∠1＋∠2＝(

)A．90°B．100°C．130°D．180°知1－練（來(lái)自《典中點(diǎn)》）B2知識(shí)點(diǎn)直角三角形兩銳角的關(guān)系知2－導(dǎo)已知：直角三角形ABC中，∠A＝90°求證：∠A與∠C互余.證明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形內(nèi)角和

定理）

∠A＝90°（已知）∴∠B＋∠C＝90°.(等量減等量差相等)∴∠B與∠C＝互余.（兩角互為余角的定義）

知1－講歸

納（來(lái)自《教材》）

定理：直角三角形的兩銳角互余.知2－講例2如圖，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平

分線(xiàn)，∠B＝20°，∠C＝60°.求∠DAE的度數(shù)．導(dǎo)引：∠DAE在△AED中，而∠DAE＝∠BAD－∠BAE，

要求∠DAE的度數(shù)，需先求出∠BAD和∠BAE的

度數(shù)．（來(lái)自《點(diǎn)撥》）知2－講解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝100°.又因?yàn)锳E是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠BAE＝