第04講直線與圓圓與圓的位置關(guān)系精講

第04講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高考真題回歸 5第三部分：高頻考點一遍過 7高頻考點一：直線與圓位置關(guān)系判定 7高頻考點二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù) 9高頻考點三：直線與圓的位置關(guān)系求距離最值 11高頻考點四：圓的切線問題 13高頻考點五：圓的弦長和中點弦 16高頻考點六：已知圓的弦長求參數(shù) 18高頻考點七：直線與圓的實際應用 21高頻考點八：圓與圓的位置關(guān)系 24高頻考點九：圓的公共弦 27高頻考點十：圓的公切線 29第四部分：數(shù)學文化題 33第一部分：知識點必背知識點一：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的三種位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的圖象直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離2、判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法幾何法（優(yōu)先推薦）圖象位置關(guān)系相交相切相離判定方法；。圓心到直線的距離：。圓與直線相交。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相切。；。圓心到直線的距離：。圓與直線相離。代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)①直線與圓相交②直線與圓相切③直線與圓相離知識點二：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系(1)圓與圓相交，有兩個公共點；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個公共點；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點.圖象位置關(guān)系圖象位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2、圓與圓的位置關(guān)系的判定幾何法設的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為.①當時，兩圓相交；②當時，兩圓外切；③當時，兩圓外離；④當時，兩圓內(nèi)切；⑤當時，兩圓內(nèi)含.代數(shù)法設::聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次方程，求出其①與設設相交②與設設相切（內(nèi)切或外切）③與設設相離（內(nèi)含或外離）知識點三：直線與圓相交記直線被圓截得的弦長為的常用方法1、幾何法（優(yōu)先推薦）①弦心距（圓心到直線的距離）②弦長公式：2、代數(shù)法直線：；圓聯(lián)立消去“”得到關(guān)于“”的一元二次函數(shù)弦長公式：知識點四：圓與圓的公共弦1、圓與圓的公共弦圓與圓相交得到的兩個交點，這兩點之間的線段就是兩圓的公共弦.2、公共弦所在直線的方程設::聯(lián)立作差得到：即為兩圓共線方程知識點五：圓上點到直線的最大（小）距離設圓心到直線的距離為，圓的半徑為①當直線與圓相離時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；②當直線與圓相切時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；③當直線與圓相交時，圓上的點到直線的最大距離為：，最小距離為：；第二部分：高考真題回歸1．（2023·全國（新高考Ⅰ卷）·統(tǒng)考高考真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設切線方程為，即，則，整理得，且設兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得.故選：B.

2．（2023·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．【答案】（中任意一個皆可以）【詳解】設點到直線的距離為，由弦長公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案為：（中任意一個皆可以）．3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則．【答案】【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因為，解得.故答案為：.4．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統(tǒng)考高考真題）設點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】解：關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：直線與圓位置關(guān)系判定典型例題例題1．（2023春·北京海淀·高二北理工附中?？计谥校┲本€與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】C【詳解】由題知，圓心坐標，半徑，將直線化為點斜式得，知該直線過定點，又，故該定點在圓內(nèi)，所以該直線與圓必相交.故選：C例題2．（2023·全國·高三專題練習）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】B【詳解】圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切．故選：B例題3．（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀﹫A與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定【答案】C【詳解】圓心為，半徑圓心到直線的距離為所以直線與圓相離故選：C練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習）設，則直線：與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交【答案】C【詳解】因為，所以，即直線恒過定點；因為點恰在上，所以直線和圓的位置關(guān)系是相交或相切.故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習）圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【詳解】圓的圓心為，半徑為1，所以圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.3．（2023·河南周口·高二扶溝縣高級中學?？茧A段練習）已知點在圓內(nèi)部，則直線與圓的公共點有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．1或2個【答案】A【詳解】因為點在圓內(nèi)部，所以，圓的圓心到直線的距離，所以圓與直線相離，沒有公共點.故選:A.高頻考點二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)典型例題例題1．（2023秋·北京西城·高二統(tǒng)考期末）若直線與圓相離，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為直線與圓相離，所以圓心到直線的距離，解得或，故選:B.例題2．（2023·全國·高一專題練習）設為實數(shù),若圓上恰有三個點到直線的距離都等于1,則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解:由題知圓的方程為,所以圓心為,半徑為,因為圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1,所以只需要圓心到直線的距離為即可,直線方程為:,所以圓心到直線的距離為:,解得,故當時,圓上恰有三個點到直線l的距離都等于1．故選:D例題3．（2023春·山西長治·高二統(tǒng)考期末）已知直線與圓存在公共點，則的取值范圍為.【答案】【詳解】直線與圓有公共點等價于圓心到直線的距離小于等于圓的半徑，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：練透核心考點1．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？寄M預測）“”是“直線與圓相切”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑為1，設圓心到直線的距離為則，解得：或.由此可知，“”是“或”的充分不必要條件，故選：A.2．（2023·遼寧·新民市第一高級中學校聯(lián)考一模）滿足直線：與圓：有公共點的一個整數(shù)．【答案】2（或，，0，1，只需填寫一個答案即可）.【詳解】由題可知，，解得．故答案為：2（或，，0，1，只需填寫一個答案即可）.3．（2023·全國·高三專題練習）若直線l：與圓C：有兩個公共點，則k的取值范圍為．【答案】【詳解】聯(lián)立方程，消去y得，由題意可得：，故k的取值范圍為．故答案為：.高頻考點三：直線與圓的位置關(guān)系求距離最值典型例題例題1．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預測）已知直線和圓，則圓心到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，直線可化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點，又由，可得定點在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)知，圓心到直線的距離．故選：B.例題2．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學校考模擬預測）直線與圓交于兩點，則弦長的最小值是.【答案】【詳解】圓化成標準形式為圓，圓心，半徑，直線過定點，并在圓內(nèi)，最短時，點為弦的中點，即時，所以.故答案為：.例題3．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知點為圓上的動點，則點到直線的距離的最大值為.【答案】【詳解】由題可得，圓心，半徑，圓心到直線的距離等于，所以點到直線的距離的最大值為.故答案為：.練透核心考點1．（2023秋·天津·高二校聯(lián)考期末）圓上的點到直線的最大距離是（

）．A．36 B． C．18 D．【答案】B【詳解】因為圓，即，所以圓心坐標為，半徑，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以圓上的點到直線的最大距離為.故選：B.2．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）已知直線與圓有公共點，且與直線交于點，則的最小值是．【答案】【詳解】由題意可知，的最小值即為圓上一點到直線與圓交點的最小距離，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，由題意可知．故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習）圓上的點到直線的距離的最小值是．【答案】3【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為2，圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線的距離的最小值是．故答案為：高頻考點四：圓的切線問題典型例題例題1．（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）過坐標原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】圓化為標準方程為，其圓心為，半徑為1，

由題意知，,,,,所以,所以.所以,且,所以為等邊三角形，所以.故選:C．例題2．（2023秋·高一單元測試）已知點是圓上的一點，過點作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】切線長，所以當共線且點在之間時，最小，由于,所以min，所以.故選：.

例題3．（2023春·四川瀘州·高二統(tǒng)考期末）已知為拋物線的焦點，為拋物線上第一象限的點，且.(1)求點的坐標；(2)求過點且與圓相切的直線方程.【答案】(1)(2)或，【詳解】（1）由于拋物線的焦點坐標為，故，所以，，將代入拋物線可得，故（2）由于點的圓心為，由于，故過點A的切線一定有斜率，設其方程為，由于直線與圓相切，所以圓心到直線的距離為，所以切線方程為，即或，練透核心考點1．（2023春·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）若直線與圓相切，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【詳解】圓的圓心，半徑，依題意，，解得，所以.故選：A2．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學?？寄M預測）已知點，，經(jīng)過點作圓的切線與軸交于點，則．【答案】【詳解】如圖所示，設圓心為點，則，，則點在圓上，且，由與圓相切可得，所以切線方程為，令，解得，故，所以故答案為：.高頻考點五：圓的弦長和中點弦典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）已知圓，則直線被圓截得的弦的長度為（

）A．2 B．7 C． D．【答案】D【詳解】圓的圓心為，半徑為5，則到直線的距離為，即直線和圓相交，故直線被圓截得的弦的長度為，故選：D例題2．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）若直線與圓：相交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】直線，即恒過定點，而，即點在圓內(nèi)，因此當且僅當時，最小，而圓的圓心，半徑，，所以.故選：B

例題3．（2023秋·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎獔A內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦（1）當時，求弦長；（2）當弦被點平分時，求直線的方程.【答案】（1）；（2）【詳解】解：圓的方程可化為：，則，半徑，當時，直線的斜率為1，則直線方程為，則圓心到直線的距離，所以弦長；（2）設直線的斜率為，根據(jù)條件可知，則，所以，則直線的方程為，即．練透核心考點1．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預測）直線被圓所截得弦長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：易知直線l過定點，圓心，因為，所以直線l與圓C相交，當時，l被圓C所截得的弦最短，此時弦長．故選：A．2．（2023春·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）若直線與圓相交于兩點，則弦的長為．【答案】【詳解】由可得圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習）已知圓C:,直線(1)求證:無論取什么實數(shù)，直線恒過第一象限；(2)求直線被圓C截得的弦長最短時的值以及最短長度；(3)設直線與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程.【答案】（1）見解析；（2），長度為；（3）【詳解】（1）由mx-y+1-m=0得y=mx+1-m=m（x-1）+1，則直線過定點D（1，1）在第一象限，故無論取什么實數(shù)，直線恒過第一象限；(2)若直線l被圓C截得的弦長最小，則此時滿足DC⊥l，D（1，1），C（1,2）則DC的斜率k的斜率不存在，則l的斜率k=0，即對應的=0，最短長度為(3)由（1）可知點D在圓內(nèi)，設M（x，y），則由CM⊥DM得，∴．高頻考點六：已知圓的弦長求參數(shù)典型例題例題1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江第一中學?？计谀┲本€與圓：相交于，兩點，若，則．【答案】/【詳解】，即，所以圓C的圓心C（1，1），半徑為r＝2.由中，，，可得.設圓心C到直線的距離為d，可得222，即d＝1，則1，解得a.故答案為：．例題2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．【答案】或【詳解】圓的方程可化為，圓心為，半徑．當過點的直線的斜率不存在時，直線方程為，此時圓心在直線上，弦長，不滿足題意，所以過點的直線的斜率存在，設過點的直線的方程為，即，則圓心到直線的距為，依題意，即，解得或，故所求直線的方程為或．故答案為：或．例題3．（2023·全國·高三專題練習）若過定點的直線截圓C：所得弦長小于3，則該直線斜率的取值范圍為【答案】【詳解】當直線l斜率不存在時，圓心到直線的距離為1，此時直線截圓C所得弦長為，不符合題意，故直線l的斜率存在；設直線l方程為，即，此時圓心到直線的距離，則有，解得，即直線l斜率的取值范圍為．故答案為：．練透核心考點1．（2023·廣東深圳·?？级＃┻^點且被圓所截得的弦長為的直線的方程為.【答案】【詳解】圓，即，圓心為，半徑，若弦長，則圓心到直線的距離，顯然直線的斜率存在，設直線方程為，即，所以，解得，所以直線方程為.故答案為：2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知圓滿足：圓心在直線上，軸或軸被圓所截得的弦長為4，則圓的一個標準方程為.【答案】/（答案不唯一，寫出一個即可）【詳解】設，若圓被軸所截弦長為4，則圓的半徑，則此時圓的標準方程為；若圓被軸所截弦長為4，則圓的半徑，則此時圓的標準方程為.令，則圓方程為或.故答案為：或（答案不唯一，寫出一個即可）.3．（2023秋·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，已知圓.設圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)設垂直于的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或．【詳解】（1）圓：，則圓的標準方程為，即圓的圓心坐標為，半徑為，因為圓與x軸相切，與圓O1外切，則圓心，，則圓的半徑為，則，解得，即圓的標準方程為；（2）由（1）知O2（﹣6，1），則，所以直線l的斜率為，設直線l的方程為，因為，則圓心O1到直線l的距離，所以，解得或，所以直線l的方程為或．高頻考點七：直線與圓的實際應用典型例題例題1．（2023春·廣東·高二統(tǒng)考階段練習）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會有觸礁危險，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】小島到航線的距離為，解得.故選：C例題2．（2023秋·湖北·高二武漢市第二十三中學校聯(lián)考期末）如圖，某海面上有、、三個小島（面積大小忽略不計），島在島的北偏東方向距島千米處，島在島的正東方向距島20千米處以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標系圓經(jīng)過、、三點．(1)求圓的標準方程；(2)若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在島的南偏西方向距島40千米處，正沿著北偏東行駛，若不改變方向，試問該船有沒有觸礁的危險？【答案】(1)(2)該船沒有觸礁的危險【詳解】（1）如圖所示，，設過O、A、B三點的圓C的方程為，得：，解得，故所以圓C的方程為，圓心為，半徑，（2）該船初始位置為點D，則，且該船航線所在直線l的斜率為,故該船航行方向為直線，由于圓心C到直線l的距離，故該船沒有觸礁的危險練透核心考點1．（2023·全國·校聯(lián)考一模）規(guī)定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，球是指該球的球心點．兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為1的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，如圖，設母球的位置為（0，0），目標球的位置為，要使目標球向處運動，則母球的球心運動的直線方程為．【答案】【詳解】點，所在直線的方程為，如圖所示可知，兩球碰撞時，球的球心在直線上，且在第一象限，設，兩球碰撞時，球的球心坐標為，此時，則，解得，即，B兩球碰撞時，球的球心坐標所以母球的球心運動的直線方程為，即．故答案為：2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知一艘海監(jiān)船O上配有雷達，其監(jiān)測范圍是半徑為的圓形區(qū)域，一艘外籍輪船從位于海監(jiān)船正東的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北的B處島嶼，速度是，問：這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測到？若能，持續(xù)時間為多長？【詳解】如圖，以為原點，東西方向為軸建立直角坐標系,則，，圓方程，直線方程：，即，設到距離為，則，所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測到，設監(jiān)測時間為，則（小時），高頻考點八：圓與圓的位置關(guān)系典型例題例題1．（2023春·江西南昌·高二校聯(lián)考階段練習）圓：與圓C:的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.例題2．（2023秋·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【詳解】圓與圓相交，兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，即，所以.解得或.故選：B例題3．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學校考期中）已知圓與圓只有一個公共點，則（

）A．1 B．4 C．9 D．1或9【答案】D【詳解】圓，即，圓心為，半徑，圓，圓心，半徑為，所以因為兩圓只有一個公共點，所以兩圓相外切或相內(nèi)切，顯然兩圓不能相外切，所以，即，解得或.故選：D例題4．（2023春·安徽·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【詳解】兩圓化為標準形式，可得與圓，可知半徑，，于是，而，故兩圓相交，故選：.練透核心考點1．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓外切，則實數(shù)（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【詳解】由條件化簡得，即兩圓圓心為，設其半徑分別為，，所以有.故選：D2．（2023春·江蘇揚州·高二江蘇省江都中學?？奸_學考試）圓與圓的位置關(guān)系為（

）．A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離【答案】B【詳解】由題意可得，故兩圓的圓心分別為：，設兩圓半徑分別為，則，易知，故兩圓內(nèi)切.故選：B3．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學?？寄M預測）已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由且半徑，且半徑，結(jié)合a大于0，所以時，兩圓相交，則，由選項可得A選項為的充要條件；B、D選項為的必要不充分條件；C選項為的充分不必要條件；故選：C4．（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知圓心在原點的單位圓和圓外切，．【答案】16【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓，圓心為，且，半徑為，所以圓心距，因為兩圓外切，所以，所以．故答案為：16高頻考點九：圓的公共弦典型例題例題1．（2023秋·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）圓與圓的公共弦長為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，所以，易知兩圓相交，兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線方程為：即，則圓心到直線的距離，故公共弦長為.故選：C.例題2．（2023春·全國·高二合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）圓與圓的公共弦長為．【答案】/【詳解】由題意可知，兩圓方程相減可得公共弦方程為，圓的標準方程為，其圓心，半徑；圓心到公共弦的距離所以公共弦長為.故答案為：例題3．（2023秋·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學?？计谀┮阎獔A，圓.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程；(2)求公共弦長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為圓，圓，所以圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，故圓與圓相交，所以，兩圓方程作差得：.所以，兩圓公共弦所在直線的方程為：（2）解：因為的圓心為，半徑，所以，到直線的距離為，所以，公共弦長為.練透核心考點1．（2023春·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為.【答案】【詳解】圓：的圓心坐標為，因為圓過圓的圓心，所以，所以，所以：，兩圓的方程相減可得相交弦方程為.故答案為：.2．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃﹫A與圓的公共弦所在的直線方程為．【答案】【詳解】聯(lián)立，兩式相減得.故答案為：3．（2023·高二課時練習）求圓和圓公共弦所在直線方程，并求弦長．【答案】，.【詳解】方程可化為，所以圓的圓心坐標為，半徑，方程可化為，所以圓的圓心坐標為，半徑，所以兩圓的圓心距為，又，所以圓與圓相交.將兩圓的方程相減可得，即，所以兩圓公共弦所在直線方程為，又點到直線的距離為，所以公共弦長為.高頻考點十：圓的公切線典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習）圓：與圓：公切線的條數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑；圓：，即，其圓心為，半徑，兩圓的圓心距，所以兩圓相外切，其公切線條數(shù)有3條．故選：C．例題2．（2023·全國·高三專題練習）若圓與圓有且僅有3條公切線，則=（

）A．14 B．28 C．9 D．【答案】A【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為圓與圓有且僅有3條公切線，所以兩圓外切，則，即，解得.故選：A.例題3．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中學?？奸_學考試）已知圓：與：恰好有4條公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為圓：與：恰好有4條公切線，所以圓與外離，所以，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.例題4．（2023·全國·高三專題練習）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】或或（三條中任寫一條即可）【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；與的距離為，所以兩圓外切.過與的直線方程為.由圖可知，直線是兩圓的公切線，由解得，設，設兩圓的一條公切線方程為，到直線的距離為，即，解得，所以兩圓的一條公切線方程為，即.由兩式相減并化簡得，所以兩圓的公切線方程為或或.故答案為：或或（三條中任寫一條即可）練透核心考點1．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預測）已知圓：的圓心到直線的距離為，則圓與圓：的公切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】B【詳解】圓：的圓心為，半徑為a，所以圓心到直線的距離為，解得或．因為，所以.所以圓：的圓心為，半徑為．圓：的標準方程為，圓心坐標為，半徑，圓心距，所以兩圓相內(nèi)切．所以兩圓的公切線只有1條.故選：B．2．（2023秋·河北保定·高二統(tǒng)考期末）若圓與圓恰有兩條公共的切線，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，所以，半徑，由，所以，半徑為，因為圓與圓恰有兩條公共的切線，所以這兩個圓相交，于是有，而，所以m的取值范圍為，故選：A3．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學校考模擬預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程.【答案】（答案不唯一，或均可以）【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因為，且，所以，設，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點，設其關(guān)于的對稱點為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）4．（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級中學校聯(lián)