人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) （等邊三角形）教育教學(xué)課件

13.3.2等邊三角形第13章軸對(duì)稱PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數(shù)學(xué)（初中）（八年級(jí)上）

前言學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定方法，并能運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定方法解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題。2、通過討論、發(fā)現(xiàn)和歸納等邊三角形的判定方法，并用演繹推理的方法進(jìn)行證實(shí)。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)及判定。難點(diǎn)：探索等邊三角形的性質(zhì)及判定。小明想制作一個(gè)三角形的相框，他有四根木條長度分別為6cm，6cm，6cm，4cm，你能幫他設(shè)計(jì)出幾種形狀的三角形？6cm6cm4cm6cm6cm6cm思考問題1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角之間有什么關(guān)系？已知：AB=AC=BC，求證：∠A=？,∠B=？,∠C=?.ABC

證明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等邊對(duì)等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.結(jié)論：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.類比探究ABC問題2

等邊三角形有“三線合一”的性質(zhì)嗎?等邊三角形有幾條對(duì)稱軸？結(jié)論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對(duì)角的平分線都“三線合一”.ABC類比探究圖形等腰三角形（腰不一定等于底）定義兩邊相等的三角形性質(zhì)兩個(gè)底角相等關(guān)系三線合一三個(gè)角都是60o軸對(duì)稱圖形（1條）三線合一等邊三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.三邊都相等的三角形軸對(duì)稱圖形（3條）等邊三角形小結(jié)方法1:有兩邊相等的三角形是等腰三角形.(定義)方法2:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.(定理)滿足什么條件的三角形是等腰三角形?結(jié)合邊和角來看,會(huì)有什么新的結(jié)論嗎?三條邊都相等的三角形是等邊三角形(定義)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形滿足什么條件的三角形是等邊三角形小結(jié)將兩個(gè)含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形找到RT△ABC的直角邊BC和斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？ABDC

結(jié)論:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。探究1.根據(jù)條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.（1）（2）（6）（5）（4）（3）課堂測(cè)試2．下列所敘述的圖形中，全等的兩個(gè)三角形是（）A．含60°角的兩個(gè)直角三角形

B．腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形C．邊長均為5厘米的兩個(gè)等邊三角形 D．一個(gè)鈍角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形【詳解】A.兩個(gè)含60°角的直角三角形，缺少對(duì)應(yīng)邊相等，所以不是全等形；B.腰對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形，夾角不一定相等，所以不是全等形；C.等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60°，所以邊長均為5厘米的兩個(gè)等邊三角形，各條邊相等，各個(gè)角也相等，是全等三角形；D.一個(gè)鈍角相等的兩個(gè)等腰三角形．缺少對(duì)應(yīng)邊相等，不是全等形．故選：C課堂測(cè)試3．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【詳解】解：①有兩個(gè)角等于60°的三角形為等邊三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形為等邊三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形為等邊三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形等邊三角形.故選：D.課堂測(cè)試4、已知直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊長是2厘米，則斜邊的長是()A．2厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米【詳解】∵直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊長是2厘米，∴斜邊的長是4厘米．故選B．課堂測(cè)試5．如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線b上，若∠1＝34°，則∠2等于（）A．84° B．86° C．94° D．96°【詳解】∵∠3＝∠1＝34°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∴∠4＝∠A+∠3＝94°，∵直線a∥b，∴∠2＝∠4＝94°，故選C．課堂測(cè)試感謝各位的仔細(xì)聆聽PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數(shù)學(xué)（初中）（八年級(jí)上）等邊三角形

知識(shí)回顧三線合一等角對(duì)等邊圖形判定性質(zhì)等邊對(duì)等角知識(shí)回顧滿足什么條件的三角形是等邊三角形？三邊都相等的三角形是等邊三角形等邊三角形也叫

正三角形探究等腰三角形有哪些特殊的性質(zhì)呢？

從邊的角度：從角的角度：從對(duì)稱的角度：兩腰相等等邊對(duì)等角三線合一將等腰三角形的性質(zhì)用于等邊三角形，你能得到什么結(jié)論？

猜想結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，你能填出等邊三角形對(duì)應(yīng)的結(jié)論嗎？圖形軸對(duì)稱圖形邊角兩邊相等兩底角相等底邊上的三線合一三邊相等三角相等都等于60°三邊的三線合一證明等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°已知：△ABC是等邊三角形．求證：∠A=∠B=∠C=60°．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．結(jié)論等邊三角形的性質(zhì)1等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°怎么寫過程呢？

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°．

猜想等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形等邊三角形有三條對(duì)稱軸每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線所在的所有直線都是它的對(duì)稱軸等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．證明等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．∵AB=AC，BD=DC∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC∵BA=BC，EA=EC∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC∵CA=CB，AF=BF∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB結(jié)論等邊三角形的每條邊上的中線、高和這條邊所對(duì)的角的平分線都分別重合．簡而言之，等邊三角形

每一邊上的三線都合一歸納等邊三角形有都有哪些性質(zhì)呢？三角相等都等于60°三邊上都有三線合一邊角對(duì)稱性三邊相等練習(xí)如圖，等邊三角形ABC中，BD是AC邊上的中線，BD=BE，則∠EDA的度數(shù)是________．答案：15°．

練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC于C．求證：△DAC是等腰三角形．提示：證明∠DAC=∠DCA．

練習(xí)如圖，已知，△ABC是等邊三角形，BD是中線，BD=6，延長BC到E．使CE=CD，求DE長．提示：證明BD=DE．思考你知道怎么判定一個(gè)三角形是等邊三角形嗎？可以利用定義，證明它的三邊相等除此之外，還有沒有其他辦法呢？證明它三角相等行不行呢？猜想：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形證明三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=∠B=∠C，∴BC=AC=AB（等角對(duì)等邊），∴△ABC是等邊三角形．思考三邊相等或三角相等都能直接判定一個(gè)三角形是等邊三角形除此之外還有沒有其他判定方法呢？我們知道，等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形加個(gè)什么條件，能變成等邊三角形呢？有一個(gè)角是60°？猜想有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形這個(gè)60°角的位置有哪幾種情況呢？60°角是等腰三角形的頂角60°角是等腰三角形的底角證明先證60°角是等腰三角形的頂角的情況已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵∠A=60°，∴∠B+∠C=120°．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．證明再證60°角是等腰三角形的底角的情況已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．求證：△ABC是等邊三角形．證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=60°∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形．歸納要判定一個(gè)三角形是等邊三角形有哪幾種方法？方法二方法三有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形三角相等的三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形方法一例題如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．想一想，還有其他證法嗎？練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．練習(xí)如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC的方向延長線于點(diǎn)D，E．求證：△ADE是等邊三角形．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等邊三角形．練習(xí)已知：D，E分別是等邊△ABC中AB，AC邊上的點(diǎn)，且BD=CE．求證：△ABC是等邊三角形.提示：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．練習(xí)已知△ABC中，∠A=60°,（

）

請(qǐng)你在括號(hào)內(nèi)補(bǔ)充一個(gè)條件，使△ABC能成為等邊三角形．答案：∠B=60°或∠C=60°

或AB=BC或AC=BC．練習(xí)已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則△ABC的周長為_______．答案：9cm．練習(xí)△ABC是等腰三角形，周長為15cm，且∠A=60°，則BC=_______．答案：5cm．練習(xí)如圖，D、E、F分別是等邊三角形ABC三邊上三點(diǎn)，且AD=BE=CF．試問：△DEF是什么三角形？提示：證明△ADF≌△BED≌△CFE．練習(xí)１．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，指出它的對(duì)稱軸．練習(xí)2．如圖，等邊三角形△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，圖中與BD相等的線段有哪些？探究將兩個(gè)含有30°的三角尺擺放在一起你能借助這個(gè)圖形，找到Rt△ABC

的直角BC

與斜邊AB

之間的數(shù)量關(guān)系嗎?你能用學(xué)過的方法證明嗎?證明如圖，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=∠DAC=30°．求證：證明：∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，BC=CD，又∵∠BAC=∠DAC=30°∴∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形．∴BD=AB，∴BC＝DC＝還有別的證法嗎？證明如圖，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．求證：證明：在BA上截取BD=BC，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°∴△ABD是等邊三角形，∴BC=CD=BD，∠DCB=60°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA=∠A，∴AD=DC，∴AD=BD=BC．結(jié)論在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．這個(gè)定理該怎么寫過程呢？∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°，∴例題下圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE

垂直于橫梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE

要多長?答案：3.7m，1.85m．練習(xí)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度，邊AB和BC之間有什么關(guān)系？答案：60°，30°；AB=2BC．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，則BC的長為________．答案：5．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．則BD=______.

答案：1．練習(xí)如圖：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，則AB=_____cm．答案：8．練習(xí)如圖：△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．答案：4cm，2cm．練習(xí)如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂線，BE=5，則AE=______，AC=_____．答案：5，2.5．練習(xí)如圖：已知在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC．求證：AD=2DC．提示：證明∠DAC=30°．等邊共頂點(diǎn)已知：如圖，B，O，C三點(diǎn)在一條直線上，△AOB和△COD都是等邊三角形，AC，BD交于點(diǎn)E.求證：（1）AC=BD；（2）∠AEB=60°．提示：證明△AOC≌△BOD．等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，連接FH．

（1）求證：BD＝AE；提示：證明△BCD≌△ACE．總結(jié)：等邊共頂點(diǎn)就會(huì)有邊角邊全等．等邊共頂點(diǎn)如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，連接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，連接FH．

（2）求證：CF＝CH；（3）判斷△CFH是什么特殊三角形并說明理由．提示：證明△BCF≌△ACH．等邊內(nèi)的點(diǎn)到三邊的距離之和如圖，已知等邊三角形ABC，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求證：PD+PE+PF是等于等邊三角形的高．提示：連接PA，PB，PC，利用面積相等．含30°直角三角形的剖分要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農(nóng)戶去種植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使這三家農(nóng)戶所得土地的大小和形狀都相同，請(qǐng)你試著分一分，在圖上畫出來．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線MN交BC于M，交AB于N．求證：CM=2BM．提示：連接AM．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F．求證：BF＝2CF．提示：連接AF．構(gòu)造含30°的直角三角形如圖在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，求△ABC的面積．提示：作出AB邊上的高．構(gòu)造含30°的直角三角形腰長為2，底角為15°的等腰三角形的面積為_______．提示：作出底邊上的高．答案：1．等邊與全等綜合如圖，△ABC為等邊三角形，D，E兩點(diǎn)分別在BC，AC邊上，AE=AD，AD，BE相交點(diǎn)于P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q，若PQ=3，PE=1，求AD的長．提示1：證明△ACD≌△BAE．提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．等邊與全等綜合已知：如圖，在等邊△ABC中，D、E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且AE=CD，連結(jié)AD、BE交于點(diǎn)P，作BQ⊥AD于Q，求證：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．提示1：證明△ABD≌△BCE．提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．等邊與全等綜合如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AB上，且BO=3，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OD．要使點(diǎn)D恰好落在AC上，則BP的長是_____．提示：先畫出示意圖，然后證明△BOP≌△ADO．答案：6．直角邊是斜邊的一半已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB．求證：∠A=30°．提示：延長BC至D，使得CD=BC，連接AD．總結(jié)：若直角邊是斜邊的一半，則直角邊所對(duì)的角是30°．與代數(shù)綜合的問題若三邊長a，b，c滿足（a-b）（b-c）（c-a）=0，則三角形的形狀為____________．答案：等腰三角形．與代數(shù)綜合的問題若三邊長a，b，c滿足（a-b）

+（b-c）

+（c-a）

=0，則三角形的形狀為____________．答案：等邊三角形．222總結(jié)這節(jié)課我們學(xué)到了什么？等邊三角形的性質(zhì)三角相等都等于60°三邊上都有三線合一三邊相等對(duì)稱性邊角總結(jié)這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？等邊三角形的判定方法一方法二方法三三角相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形三邊相等的三角形是等邊三角形總結(jié)在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．這節(jié)課我們還學(xué)到了什么？復(fù)習(xí)鞏固1.（1）等腰三角形的一個(gè)角是110°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

（2）等腰三角形的一個(gè)角是80°，它的另外兩個(gè)角是多少度？

復(fù)習(xí)鞏固2.如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證AB=AD.復(fù)習(xí)鞏固3.如圖，五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，為了畫出五角星，還需要知道∠AM