自招競賽數(shù)學(xué)講義：輪換對稱式的最值問題(講師版)

..自招競賽數(shù)學(xué)講義輪換對稱式的最值問題學(xué)生授課日期教師授課時(shí)長知識定位在不等式和求最值的問題中，輪換對稱式是十分常見的。自招、競賽中出現(xiàn)的不等式證明或代數(shù)式求最值問題以輪換對稱式為主，而這一類有關(guān)輪換對稱式的問題也以其簡潔優(yōu)美的數(shù)學(xué)形式和較為靈活多變的解決方法成為自招競賽中的一大難點(diǎn)。本章節(jié)列舉了處理幾類輪換對稱式問題和幾種常見處理方法，希望同學(xué)們在考場上見到這類問題時(shí)能夠有思路有針對性地著手處理，而不是盲目地嘗試變形求解〔證〕。知識梳理不等式對稱和輪換對稱式的定義在一個(gè)不等式中,假設(shè)把其中任何兩個(gè)字母對調(diào)位置后,這個(gè)不等式不變(如①,其中),我們便稱此不等式是關(guān)于對稱的。如果把不等式中的字母按一定順序依次輪換〔如換成，換成，...，換成〕后不等式不變〔如②〕，我們便稱此類不等式是關(guān)于輪換對稱的。對稱式與輪換對稱不等式的性質(zhì)由定義易知，對稱的不等式一定是輪換對稱的〔如①〕，而輪換對稱的不等式卻不一定是對稱的〔如②就不是對稱的〕。關(guān)于對稱的不等式，由于互換后原不等式不變，因此要想怎么排列他們的大小順序，只要調(diào)換其位即可，故我們可任意排列的大小順序〔如在①中可設(shè)〕，而關(guān)于是輪換對稱的不等式那么不能任意排列其字母的大小順序，而只能做較弱的排列，如，，...，，即某一個(gè)是其中的最大或最小〔如②中可設(shè)，〕，因?yàn)槲覀兛偪梢酝ㄟ^輪換把某個(gè)字母調(diào)整到最小或最大的位置。取得最值的判定暑期講義輪換對稱式一講中我們提到，輪換對稱式取到最值時(shí)往往各地位輪換對稱的變量取值相等。在這種情況下我們可以簡化問題為先判斷最值和取到最值的條件，在轉(zhuǎn)化為不等式證明問題〔此時(shí)取等的條件也作為一個(gè)解決不等式證明的重要提示〕。當(dāng)然，并不是所有輪換對稱式取最值的條件都是上述，所以我們盡可能用特值等方法驗(yàn)證來舍棄顯然不合理的假定，確認(rèn)判斷正確后再轉(zhuǎn)化為證明問題，這樣可以減少無用功。值得注意的是，判斷各變量相等時(shí)取到的是最大還是最小值與題目要求比對是十分必要的。輪換對稱式常見的處理方法〔結(jié)合例題講解〕湊項(xiàng)法〔最常用〕在判斷出最值后，利用根本不等式等號成立的條件湊項(xiàng)證明，只要領(lǐng)悟添項(xiàng)的技巧，完全可以程式化證明一類不等式。主要細(xì)分為湊項(xiàng)降冪法、湊項(xiàng)升冪法、湊項(xiàng)去分母法、湊項(xiàng)平衡系數(shù)法。根本思路：判斷該題為輪換對稱式；通過條件得出取最值時(shí)各字母或參數(shù)的值；判斷是最大或最小值，抓住其中一項(xiàng)深入研究，構(gòu)造均值不等式的其他項(xiàng)，再運(yùn)用均值不等式加以證明。上述各種湊項(xiàng)方法不是相對獨(dú)立的，可以交替使用，但湊項(xiàng)的關(guān)鍵是在求和時(shí)能利用條件，并能取到等號。求配偶式法〔即〔1〕的進(jìn)化版本〕當(dāng)直接配湊較為困難時(shí)我們可以通過先設(shè)待定系數(shù)求解的方法找到要湊得項(xiàng)。充分利用輪換對稱式等式的構(gòu)造特點(diǎn)以及等號成立的條件為導(dǎo)向，運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造配偶式，然后運(yùn)用均值不等式等號成立的條件以及所證輪換對稱不等式等號成立的條件求出待定系數(shù)，從而使所證不等式獲得證明。其中設(shè)配偶式求配偶因子是該方法的關(guān)鍵一步和核心局部，也是它與方法〔1〕的主要區(qū)別。"非常規(guī)最值〞的應(yīng)對方法前幾個(gè)方法中,首要是確認(rèn)在各變量取值相等時(shí)取到最值，這類最值問題稱為"常規(guī)最值〞。然而并非所有的輪換對稱式都滿足這一要求，因而面對一些"非常規(guī)最值〞問題，也有一些特定的其他方法，如：構(gòu)造不等式法、導(dǎo)數(shù)法〔沒有例題，導(dǎo)數(shù)法結(jié)合主元思想是證明不等式、求最值很常規(guī)的一類方法，本節(jié)不再做說明〕和圖像法等。例題精講【試題來源】【題目】，且，求的最大值【答案】【解析】猜測當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí)，最大值為。下證明：因?yàn)?，所以，同理，，上述三式相加，并將代入化簡即得證。〔此題也可以用琴生不等式易證得〕【知識點(diǎn)】輪換對稱式湊項(xiàng)升冪法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】證明Cauchy不等式【答案】〔證明題〕【解析】證明：設(shè)，那么，所以，即?！局R點(diǎn)】輪換對稱式湊項(xiàng)降冪法【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】2【試題來源】1990年第24屆全數(shù)學(xué)奧林匹克【題目】設(shè)是正數(shù)，且，求的最小值【答案】【解析】分析：由于當(dāng)時(shí)等號成立，于是。下證：設(shè)，因?yàn)樗?，即?！局R點(diǎn)】輪換對稱式湊項(xiàng)去分母法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】1995.IMO【題目】設(shè)，且，求證：【答案】〔證明題〕【解析】原不等式等價(jià)于當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號成立，此時(shí)，所以，，同理，，，上述三式相加并化簡得【知識點(diǎn)】輪換對稱式湊項(xiàng)去分母法【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】設(shè)，且，求的最小值?！敬鸢浮?【解析】猜測時(shí)，最小值為1。下證：令，由均值不等式得，此不等式等號成立條件是即。又易知所證不等式等號成立的條件是，此時(shí)．于是有，同理有，，將這三個(gè)不等式相加得，。又由均值不等式可得，，代入上式顯然得證。【知識點(diǎn)】輪換對稱式求配偶式法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】假設(shè)為小于1的正數(shù)且，且，那么【答案】〔證明題〕【解析】證明：因，那么．令，由均值不等式得，此不等式等號成立的條件是，即．又易知所證不等式等號成立的條件是，此時(shí)，于是有，即，其中，將這個(gè)不等式相加得，．因?yàn)?，所以〔均值不等式〕，即，代入上述不等式化簡得：，即．【知識點(diǎn)】輪換對稱式求配偶式法【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，記，求的取值圍?！敬鸢浮俊窘馕觥孔ⅲ焊舅悸泛颓懊鎯煞N方法雷同，也是知道取到最值時(shí)變量的取值條件之后特意構(gòu)造兩端取等的不等式來幫助證明?！局R點(diǎn)】非常規(guī)最值-構(gòu)造不等式法【適用場合】當(dāng)堂例題【難度系數(shù)】3【試題來源】2007女子數(shù)學(xué)奧林匹克〔改編〕【題目】非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，記，求的最大值?！敬鸢浮?【解析】發(fā)現(xiàn)當(dāng)不是最大值?！局R點(diǎn)】非常規(guī)最值-構(gòu)造不等式法【適用場合】當(dāng)堂練習(xí)題【難度系數(shù)】3習(xí)題演練【試題來源】【題目】設(shè)角A、B、C滿足求：的最小值【答案】【解析】分析：原條件等價(jià)于，猜測當(dāng)時(shí)最小值為。下證：構(gòu)造，，上述三式相加并化簡得證?！局R點(diǎn)】輪換對稱式湊項(xiàng)去分母法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】2【試題來源】【題目】，求的最小值?！敬鸢浮俊窘馕觥繒r(shí)顯然有min為。下證：設(shè)，那么所求式可化為，進(jìn)而變?yōu)?，再令，那么且，所求式變?yōu)?，別離常數(shù)得-3.〔換元使分子為常數(shù)，方便進(jìn)一步的根本不等式〕構(gòu)造，那么此不等式等號成立的條件是，即．又易知所證不等式等號成立的條件是，此時(shí)，所以，即，同理可得，，將這三個(gè)不等式相加得，，又，所以，故原不等式成立?！局R點(diǎn)】輪換對稱式求配偶式法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】1984年巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)競賽題【題目】設(shè)且，求證：?！敬鸢浮俊沧C明題〕【解析】證明：所證不等式即，也就是，亦即，也就是，故只需證．構(gòu)造，此不等式等號成立的條件是，即．又易知所證不等式等號成立的條件是，此時(shí)，于是有，即，其中．將這個(gè)不等式相加得，，把代入得，故原不等式成立．【知識點(diǎn)】輪換對稱式求配偶式法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】4【試題來源】【題目】設(shè)，，那么?！敬鸢浮俊沧C明題〕【解析】分析：當(dāng)x=y=時(shí)等號成立。證明：因?yàn)?，，①，將上述三式相加并化簡得，②所以，即。注：只有①式的系?shù)湊成，②式中xy的系數(shù)才能是?！局R點(diǎn)】非常規(guī)最值-構(gòu)造不等式法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】3【試題來源】【題目】非負(fù)實(shí)數(shù)滿足，記，求的最小值?！敬鸢浮俊窘馕觥坎聹y端點(diǎn)處取最小值，最小值為下證：【知識點(diǎn)】非常規(guī)最值-構(gòu)造不等式/圖像法【適用場合】隨堂課后練習(xí)【難度系數(shù)】2【試題來源】第19屆北歐競賽題【題目】設(shè)，求證：【答案】〔證明題〕【解析】令，由均值不等式得，此不等式等號成立條件是即．又易知所證不等式等號成立的條件是，此時(shí)．于是