2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市高一年級下冊學期期末考試數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單選題1．是虛數(shù)單位，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接化簡計算即可【詳解】，故選：A2．2023年3月1日，“中國日報視覺”學習強國號上線．某黨支部理論學習小組抽取了10位黨員在該學習平臺的學習成績?nèi)缦拢?3，85，88，90，91，91，92，93，96，97，則這10名黨員學習成績的分位數(shù)為（

）A．90 B．92 C．93 D．92.5【答案】C【分析】由百分位數(shù)定義可得答案.【詳解】根據(jù)題意，10個數(shù)據(jù)從小到大依次為83，85，88，90，91，91，92，93，96，97，而，則這10名黨員學習成績的分位數(shù)為第8項數(shù)據(jù)93．故選：C．3．端午節(jié)前后，人們除了吃粽子、插艾葉以外，還要給孩子們佩戴香囊.某商家銷售的香囊有四種不同的形狀，其中圓形的香囊有36個，方形的香囊有18個，桃形的香囊有27個，石榴形的香囊有9個.現(xiàn)該商家利用分層隨機抽樣的方法在這些香囊中抽出20個香囊擺放在展臺上，則抽出的桃形香囊的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用抽樣比可求出結(jié)果【詳解】根據(jù)分層隨機抽樣的概念可得抽出的桃形香囊的個數(shù)為.故選：C4．在中，角所對的邊分別為．若，則為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理角化邊，然后因式分解可得.【詳解】由余弦定理可得：，即，整理得：，得或，所以為等腰或直角三角形.故選：D5．如圖，在長方體中，，則四棱錐的體積是（

）

A．3 B．6 C．9 D．18【答案】B【分析】連結(jié)，交與點，先證明平面，從而可求四棱錐體積.【詳解】

因為，所以長方體底面為正方形，連結(jié)，交與點，且，由長方體性質(zhì)，知平面，又平面，則，所以平面，則.故選：B6．已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【答案】B【詳解】件產(chǎn)品中有件次品，記為，，有件合格品，記為，，，從這件產(chǎn)品中任取件，有種，分別是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有種，分別是，，，，，，設(shè)事件“恰有一件次品”，則，故選B．【解析】古典概型．7．已知正三棱臺中，，若該正三棱臺外接球的體積為，則的面積為（

）A． B．或2 C． D．或【答案】D【分析】由棱臺的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合多面體的內(nèi)接、外切問題求解即可.【詳解】圖1所示，設(shè)，正三棱臺上?下底面所在圓的半徑分別為，則由正弦定理，得，即．因為，所以．設(shè)外接球的半徑為，由外接球的體積為，得，即．設(shè)球心到上?下底面的距離分別為，所以，故（如圖1）或（如圖2），即或，解得或，所以的面積為或．故選：D.

8．已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．8 D．【答案】B【分析】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標表示研究最值.【詳解】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，AB、DE交y軸于G、H，則，設(shè)，，由正六邊形對稱性，不妨只研究y軸左半部分，（1）當P在EH上時，則，，則；（2）當P在AG上時，則，，則；（3）當P在EF上時，則：，，則；（4）當P在AF上時，則：，，則.綜上，所求最大值為12.故選：B.二、多選題9．下列兩個向量，能作為基底向量的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量是否共線即可判斷其能否作為基底向量，一一判斷即可.【詳解】A選項，零向量和任意向量平行，所以不能作為基底.B選項，因為，所以不平行，可以作為基底.C選項，，所以平行，不能作為基底.D選項，因為，則不平行，可以作為基底.故選：BD.10．如圖1為某省2023年1~4月份快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計圖，圖2為該省2023年1~4月份快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖，對統(tǒng)計圖理解正確的是（

）

A．2023年1~4月份快遞業(yè)務(wù)量3月份最高，2月份最低，差值接近2000萬件B．2023年1~4月份快遞業(yè)務(wù)量同比增長率均超過，在3月份最高，和春節(jié)蟄伏后網(wǎng)購迎來噴漲有關(guān)C．從兩圖中看，業(yè)務(wù)量與業(yè)務(wù)收入變化高度一致D．從1~4月份來看，業(yè)務(wù)量與業(yè)務(wù)收入有波動，但整體保持高速增長【答案】ABC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合兩個圖，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由圖1可知，快遞業(yè)務(wù)量3月份為4397萬件，2月份為2411萬件，差值為萬件，故A正確；由圖1可知B也正確；對于C，由兩圖易知業(yè)務(wù)量從高到低變化是3月4月1月2月，業(yè)務(wù)收入從高到低變化是3月4月1月2月，保持高度一致，所以C正確；對于D，由圖知業(yè)務(wù)收入2月比1月減少，4月比3月減少，整體不具備高速增長之說，所以D錯誤；故選：ABC11．下列各對事件中，、是相互獨立事件的有（）A．擲枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”B．袋中有個紅球，個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件“第次摸到紅球”，事件“第次摸到紅球”C．分別拋擲枚相同的硬幣，事件“第枚為正面”，事件“兩枚結(jié)果相同”D．一枚硬幣擲兩次，事件“第一次為正面”，事件“第二次為反面”【答案】CD【分析】利用獨立事件的定義可判斷AC選項；利用事件的關(guān)系可判斷BD選項.【詳解】對于A選項，擲枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”，則事件“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)且為偶數(shù)”，所以，，又因為，所以，，所以，、不相互獨立，A不滿足；對于B選項，袋中有個紅球，個黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩次，事件“第次摸到紅球”，事件“第次摸到紅球”，由題意可知，事件的發(fā)生影響事件的發(fā)生，故、不相互獨立，B不滿足；對于C選項，分別拋擲枚相同的硬幣，事件“第枚為正面”，事件“兩枚結(jié)果相同”，則事件“兩枚硬幣都正面向上”，則，又因為，，則，所以，、相互獨立，C滿足；對于D選項，一枚硬幣擲兩次，事件“第一次為正面”，事件“第二次為反面”，第一次為正面對第二次的結(jié)果不影響，因此，、相互獨立，D滿足.故選：CD.12．如圖所示，該幾何體由一個直三棱柱和一個四棱錐組成，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若平面與平面的交線為，則AC//lC．三棱柱的外接球的表面積為D．當該幾何體有外接球時，點到平面的最大距離為【答案】BD【分析】根據(jù)空間線面關(guān)系，結(jié)合題中空間幾何體，逐項分析判斷即可得解.【詳解】對于選項A，若，又因為平面，但是不一定在平面上，所以A不正確；對于選項B，因為，所以平面，平面平面，所以，所以B正確；對于選項C，取的中心，的中心，的中點為該三棱柱外接球的球心，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，所以C不正確；對于選項D，該幾何體的外接球即為三棱柱的外接球，的中點為該外接球的球心，該球心到平面的距離為，點到平面的最大距離為，所以D正確.故選：BD三、填空題13．設(shè)，，若為實數(shù)，則m的值為.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡，然后根據(jù)復數(shù)的概念列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.因為為實數(shù)，所以，解得.故答案為：.14．如圖所示，在幾何體中，平面，，且，，點E為CD的中點，則AE的長為．【答案】【分析】連接BE，根據(jù)，在中，求得BE，再根據(jù)平面，得到BE，在中求解.【詳解】如圖所示：連接BE，因為，且，，點E為CD的中點，所以，因為平面，所以BE，在中，，故答案為：15．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊員每次罰球的命中率為.【答案】3/5【詳解】設(shè)該隊員每次罰球的命中率為p(其中0＜p＜1)，則依題意有1－p2＝，p2＝.又0＜p＜1，因此有p＝.16．如圖，已知的面積為，分別為邊，上的點，且，交于點，則的面積為.【答案】4【分析】以，建立一組基底向量，再利用點與點分別共線的性質(zhì)表示出，建立二元一次方程，再采用間接法，根據(jù)求出答案，屬于難題【詳解】設(shè)，以，為一組基底，則.∵點與點分別共線，∴存在實數(shù)和，使.又∵，∴解得∴，∴.【點睛】復雜的三角形線段關(guān)系問題，借鑒向量法進行求解時，還是需要根據(jù)向量基底進行基礎(chǔ)運算，如本題中面積問題最終轉(zhuǎn)化成線段比例問題，在處理正面入手不好解決的問題時，可從對立面入手，采用間接法來進行求解四、解答題17．已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若，求與的夾角.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出，再由向量共線的坐標公式求解即可；（2）先求出，由向量垂直的坐標公式求出，再由夾角公式求出與的夾角即可.【詳解】（1）易得，又，則，解得；（2）易得，又，則，解得，即，則，又，故與的夾角為.18．在四面體ABCD中，CB=CD，，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點，求證：（I）直線；（II）．【答案】（I）證明見解析．（II）證明見解析．【詳解】證明：（I）E，F(xiàn)分別為AB，BD的中點．（II），又，所以．19．在中，內(nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知___________.（在以下這兩個條件中任選一個填入上方的橫線上作為已知條件，并解答下面兩個問題，如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分）①；②.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）選擇①，根據(jù)已知條件及正弦定理，再利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，再利用三角函數(shù)的特殊值對應特殊角即可求解；選擇②，根據(jù)已知條件及正弦定理，再利用三角形的內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式的逆用，再利用三角函數(shù)的特殊值對應特殊角即可求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)論及三角形的面積公式，再利用余弦定理和三角形的周長公式即可求解.【詳解】（1）選擇①，由及正弦定理，得，，所以，則，由，所以.選擇②，由及正弦定理，得，即，又，，由，故.（2）由（1），，即，由余弦定理知：，所以，故，即，則的周長為.20．已知甲射擊的命中率為0.7．乙射擊的命中率為0.8，甲乙兩人的射擊互相獨立．求：(1)甲乙兩人同時擊中目標的概率；(2)甲乙兩人中至少有一個人擊中目標的概率；(3)甲乙兩人中恰有一人擊中目標的概率．【答案】(1)0.56(2)0.94(3)0.38【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率公式計算；（2）結(jié)合對立事件的概率公式、獨立事件的概率公式計算．（3）利用互斥事件與獨立事件的概率公式計算．【詳解】（1）設(shè)甲擊中目標為事件，乙擊中目標為事件，甲乙兩人同時擊中目標的概率；（2）甲乙兩人中至少有一個人擊中目標的概率為；（3）甲乙兩人中恰有一人擊中目標的概率為．21．某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長（單位：分鐘）．現(xiàn)隨機抽取了該商場到訪顧客的100輛車進行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)求樣本中停車時長在區(qū)間上的頻率；(2)若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為1000，根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)；(3)為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務(wù)．若使該服務(wù)能夠惠及的到訪顧客的車輛，請你根據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議．【答案】(1)(2)(3)不超過分鐘【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1求解.（2）先算出區(qū)間上的頻率，然后再求間上的車輛數(shù).（3）求得是第25百分位數(shù).【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1，設(shè)的頻率為，可列等式為所以樣本中停車時長在區(qū)間上的頻率為（2）根據(jù)頻率分布直方圖可知在區(qū)間上的頻率為，所以計該天停車時長在區(qū)間上的車輛數(shù)為：（3）設(shè)免費停車時間長不超過分鐘，又因為的頻率為，并且的頻率為，所以位于之間，則滿足確定免費停車時長為不超過分鐘.22．幾何體是四棱錐，為正三角，，，為線段的中點.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點，使得四點共面？若存在，請求出的值；若不存在，并說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）先由線面平行的判定理證得平