2022-2023學(xué)年黑龍江省龍西北八校聯(lián)合體高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省龍西北八校聯(lián)合體高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合，得不等式，解出不等式，可得集合的全部元素，由交集的定義可得最后答案.【詳解】由集合，得不等式，解得：，因?yàn)?，所以，由，可得：，故選：C.2．已知為復(fù)數(shù)且（為虛數(shù)單位），則共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)，從而得到其虛部.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，則共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C3．已知向量，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由，得求出，再求出的坐標(biāo)，然后利用投影向量的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，得，所以，，所以在上的投影向量的坐?biāo)為，故選：C4．下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩(shī)人杜牧寫的《清明》，這首詩(shī)不僅意境極好，而且還準(zhǔn)確地描述出了清明時(shí)節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測(cè)資料表明，清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當(dāng)天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（

）A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567【答案】B【分析】直接利用條件概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】記事件A表示“清明節(jié)當(dāng)天下雨”，B表示“第二天下雨”，由題意可知，，所以．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力5．為了得到函數(shù)的圖象，只需要把函數(shù)的圖象上（

）A．各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【分析】利用函數(shù)圖象平移、伸縮變換的法則依次判定各個(gè)選擇支的變化之后的函數(shù)解析式是否符合題目要求即可作出判定.【詳解】把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，接下來(lái)若向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；若向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象；故A錯(cuò)誤，B正確；C中的伸長(zhǎng)到原來(lái)的本身說(shuō)法矛盾，后面的平移參照A也是錯(cuò)誤的，故C錯(cuò)誤；D中伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，在無(wú)論怎樣平移都得不到所要求的函數(shù)的圖象，故D錯(cuò)誤.故選：B6．下列說(shuō)法中，正確的命題是（

）A．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則B．線性相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)性越弱C．已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸方程為，若，則D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2【答案】D【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可以求得的值，進(jìn)而判定A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義可以判定B，利用回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，可以求得回歸常數(shù)的估計(jì)值，從而判定C，利用方差的性質(zhì)可以求得數(shù)據(jù)的方差，進(jìn)而判定D.【詳解】解：A.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則，所以，所以，∴，故A錯(cuò)誤；B.線性相關(guān)系數(shù)的范圍在到1之間，有正有負(fù)，相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值的大小越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，反之，線性相關(guān)性越弱，故B錯(cuò)誤；C.已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，，則，故C錯(cuò)誤；D.設(shè)數(shù)據(jù)，，…，的方差為，則樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為，則，即數(shù)據(jù)的方差為2，故D正確.故選：D.7．在三棱錐中，平面，且.若三棱錐的外接球體積為，則當(dāng)該三棱錐的體積最大時(shí)，其表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】第一步確定球心位置在的中點(diǎn)，求出半徑得到各棱長(zhǎng)，再計(jì)算各面面積可解.【詳解】因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，所以平面，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則到的四個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，所以點(diǎn)是三棱錐外接球球心，又由外接球的體積為，得外接球半徑，所以.設(shè)，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.此時(shí)，所以，三棱錐的表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查與球有關(guān)外接問(wèn)題及求錐體的表面積.其解題規(guī)律：(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距離恰為棱柱高的.(2)正方體外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)．此結(jié)論也適合長(zhǎng)方體，或由同一頂點(diǎn)出發(fā)的兩兩互相垂直的三條棱構(gòu)成的三棱柱或三棱錐．(3)求多面體外接球半徑的關(guān)鍵是找到由球的半徑構(gòu)成的三角形，解三角形即可．8．設(shè)某工廠有兩個(gè)車間生產(chǎn)同型號(hào)家用電器，第一車間的合格率為0.85，第二車間的合格率為0.88，兩個(gè)車間的成品都混合堆放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，假設(shè)第一，二車間生產(chǎn)的成品比例為2∶3，今有一客戶從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品，則該產(chǎn)品合格的概率為（

）A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88【答案】C【分析】設(shè)從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品是合格品，則提出的一臺(tái)是第車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，根據(jù)全概率公式即可求出答案．【詳解】設(shè)從成品倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)提一臺(tái)產(chǎn)品是合格品，則提出的一臺(tái)是第車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，則，由題意可得，，，，由全概率公式可得,故選：C二、多選題9．在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】ABC【分析】本題首先可根據(jù)得出，與聯(lián)立即可求出、以及，A正確，然后通過(guò)即可判斷出B正確，再然后通過(guò)等比數(shù)列求和公式即可判斷出C正確，最后根據(jù)即可判斷出D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，聯(lián)立，解得或，因?yàn)楣葹檎麛?shù)，所以、、，，，A正確，，故數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；，C正確；，易知數(shù)列不是公差為的等差數(shù)列，D錯(cuò)誤，故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，考查判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題.10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．在一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1B．若變量，的樣本相關(guān)系數(shù)為0，則與不存在相關(guān)關(guān)系C．若以模型擬合一組樣本數(shù)據(jù)，設(shè)，將樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)變換后算得回歸直線的方程為，則，的估計(jì)值分別為和0.5D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)的值越大，說(shuō)明模型擬合的效果越好【答案】ACD【分析】A.根據(jù)直線方程判斷；B.利用相關(guān)系數(shù)的意義判斷；C.由兩邊取對(duì)數(shù)求解判斷；D.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義判斷.【詳解】A.因?yàn)榛貧w直線方程為，，則正相關(guān)，又一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為1，故正確；B.若變量，的樣本相關(guān)系數(shù)為0，則與可以存非線性相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；C.由兩邊取對(duì)數(shù)得，設(shè)，則，又，則，的估計(jì)值分別為和0.5，故正確；D.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)的值越大，說(shuō)明模型擬合的效果越好，故正確.故選：ACD11．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】構(gòu)造函數(shù)，需借助導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解．【詳解】令，則．當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，取最大值，．的值域?yàn)?，，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．則有，故A選項(xiàng)錯(cuò)；，故B選項(xiàng)對(duì)；，故C選項(xiàng)錯(cuò)；令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；由，則有，即，由，可得，故D選項(xiàng)對(duì)．故選：AC．12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．必有唯一極值點(diǎn)B．若，則在(0,+∞)上單調(diào)遞增C．若，對(duì)有恒成立，則D．若存在，使得成立，則【答案】BD【分析】對(duì)于A，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)，判斷A;對(duì)于B，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其正負(fù)即可；對(duì)于C，構(gòu)造函數(shù)，將有恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題判斷即可；對(duì)于D，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在時(shí)，，然后構(gòu)造函數(shù)，求該函數(shù)的最值即可.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，則在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故B正確；當(dāng)時(shí)，對(duì)有恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，即對(duì)恒成立，令，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，故，故，故C錯(cuò)誤；若存在，使得成立，即在時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，，故，故，故D正確，故選：BD三、填空題13．設(shè)隨機(jī)變量，，且，則.【答案】【分析】由題意可得，則，可求出，從而可求出，進(jìn)而由求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，因?yàn)椋?，所?解得，所以,所以故答案為：14．已知的展開(kāi)式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.【答案】45【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)相等可求解，根據(jù)賦值法可求，進(jìn)而根據(jù)通項(xiàng)即可求解.【詳解】有題意可知：，令，則，的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，所以的項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：4515．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇．要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為．【答案】84【分析】按照選取的顏色個(gè)數(shù)分類：（1）用四種顏色涂色，顏色都不同；（2）用三種顏色，或同色；（3）用兩種顏色涂色，同色，同色，根據(jù)分類甲法原理，即可求出結(jié)論.【詳解】分三種情況：（1）用四種顏色涂色，有種涂法；（2）用三種顏色涂色，有種涂法；（3）用兩種顏色涂色，有種涂法；所以共有涂色方法.故答案為：84【點(diǎn)睛】本題考查排列和分類加法原理的應(yīng)用，合理分類是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16．已知關(guān)于x的不等式恒成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】由題可得，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性原不等式可化為，再求函數(shù)的最大值即可.【詳解】不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，則原不等式可化為因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，∴在上單調(diào)遞增，∴原不等式可化為即，由已知在上恒成立，所以，設(shè)，∴，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，∴，∴的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，將其轉(zhuǎn)化為或的形式，再利用單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式，并結(jié)合恒成立問(wèn)題處理方法求參數(shù)的范圍.四、解答題17．已知函數(shù)，其中a為常數(shù)．(1)當(dāng)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1時(shí)，求a的值；(2)在（1）的條件下，求函數(shù)在上的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性，求出最小值作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，因函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則，解得，所以a的值是1.（2）由（1）得，，由得或，因，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值.18．一個(gè)袋子里裝有除顏色以外完全相同的白球和黑球共10個(gè).若從中不放回地取球，每次取1個(gè)球，在第一次取出黑球的條件下，第二次取出白球的概率為.(1)求白球和黑球各有多少個(gè)；(2)若有放回地從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，求恰好摸到2個(gè)黑球的概率；(3)若不放回地從袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，用表示摸出的黑球個(gè)數(shù)，求的分布列和期望.【答案】(1)白球有4個(gè)，黑球有6個(gè)(2)(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）設(shè)袋中有黑球x個(gè)，則白球有10-x個(gè)，利用條件概率求解；（2）由（1）得到摸出黑球的概率是，然后利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求解；（3）的可能取值為0,1,2，求得其相應(yīng)概率，列出分布列，再求期望.【詳解】（1）解：設(shè)袋中由黑球x個(gè)，則白球有10-x個(gè)，設(shè)取出黑球?yàn)槭录嗀，取出白球的事件為B，則，解得，所以白球有4個(gè)，黑球有6個(gè)；（2）由（1）知摸出黑球的概率是，則有放回地從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，恰好摸到2個(gè)黑球的概率為；（3）的可能取值為0,1,2，則，，，的分布列為：X012P.19．已知函數(shù)，其中(1)若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)2；(2).【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由處導(dǎo)數(shù)值為0求出a，再檢驗(yàn)作答.(2)將不等式作等價(jià)變形，再構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可作答.【詳解】（1）依題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，因函數(shù)在處取得極值，則有，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，函數(shù)在處取得極值，則，所以實(shí)數(shù)a的值是2.（2）因，，令，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，，于是得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.20．某中學(xué)是走讀中學(xué)，為了讓學(xué)生更有效率的利用下午放學(xué)后的時(shí)間，學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室，以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)?完成作業(yè)，同時(shí)每天派老師輪流值班.在本學(xué)期第二次月考后，高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計(jì)了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：人）是否設(shè)立自習(xí)室成績(jī)合計(jì)非優(yōu)良優(yōu)良未設(shè)立自習(xí)室261440設(shè)立自習(xí)室103040合計(jì)364480(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對(duì)提高學(xué)生成績(jī)有效？(2)設(shè)從該班第一次月考的所有數(shù)學(xué)成績(jī)中任取兩個(gè)，取到成績(jī)優(yōu)良數(shù)為X；從該班第二次月考的所有數(shù)學(xué)成績(jī)中任取兩個(gè)，取到成績(jī)優(yōu)良數(shù)為Y，求X與Y的均值并比較大小，請(qǐng)解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義.下面的臨界值表供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）【答案】(1)認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對(duì)提高學(xué)生成績(jī)有效，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001(2)，解釋答案見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)題中的數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)可判斷；(2)先求得分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望，從數(shù)學(xué)期望的比較中可得出結(jié)論.【詳解】（1）零假設(shè)為：設(shè)立自習(xí)室對(duì)提高學(xué)生成績(jī)無(wú)效.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對(duì)提高學(xué)生成績(jī)有效，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.（2）易知X的所有可能取值為0，1，2.則.所以X的分布列為：X012P所以.同理可得Y的所有可能取值為0，1，2，則，所以Y的分布列為：Y012P所以，即，其實(shí)際含義是設(shè)立自習(xí)室后學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)提高，說(shuō)明設(shè)立自習(xí)室對(duì)提高學(xué)生成績(jī)有效.21．近年來(lái)，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢(shì)，一方面，化肥的施用對(duì)糧食增產(chǎn)增收起到了關(guān)鍵作用，另一方面，也成為環(huán)境污染，空氣污染，土壤污染的重要來(lái)源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進(jìn)糧食增產(chǎn)，減少對(duì)周圍環(huán)境的污染成為需要解決的重要問(wèn)題.研究糧食產(chǎn)量與化肥施用量的關(guān)系，成為解決上述問(wèn)題的前提.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產(chǎn)量為y（單位：百公斤）.參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于化肥施用量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；(3)經(jīng)生產(chǎn)技術(shù)提高