2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市衡南縣高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽市衡南縣高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】，；故選：D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義確定復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)乘法求.【詳解】因為復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，所以，所以，故選：B．3．命題的否定為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的否定是全稱命題即可得到結(jié)果.【詳解】原命題的否定為.故選:A4．已知，則在上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】在上的投影向量為，故選：C5．馬林?梅森（MarinMersenne，1588-1648）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士，也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物．梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對作了大量的計算、驗證工作．人們?yōu)榧o(jì)念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻(xiàn)，將形如（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù)（素數(shù)也稱質(zhì)數(shù)）．在不超過40的素數(shù)中，隨機(jī)選取3個不同的數(shù)，至少有一個為梅森素數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】列舉法找出所有不超過40的素數(shù)和梅森素數(shù)，計算隨機(jī)抽取其中3個素數(shù)時，不含梅森素數(shù)的概率，用1減去即可求出含有一個梅森素數(shù)的概率.【詳解】不超過40的素數(shù)，有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37一共有12個.其中梅森素數(shù)為：3，7，31，共有3個.不含梅森素數(shù)的概率為，則隨機(jī)選取3個素數(shù)，至少有一個梅森素數(shù)的概率為.故選：C.6．設(shè)隨機(jī)變量，若，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性分析運算.【詳解】由題意可得：正態(tài)曲線的對稱軸為，因為若，則，解得.故選：B.7．等腰三角形的底和腰之比為（黃金分割比）的三角形稱為黃金三角形，它被稱為最美的三角形．如圖，正五角星由五個黃金三角形和一個正五邊形組成，且黃金三角形的頂角．根據(jù)這些信息，可求得的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖可得，再利用倍角余弦公式可得，再結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由圖形知，則，所以，，.故選：A8．設(shè)橢圓C：的右焦點為F，橢圓C上的兩點關(guān)于原點對稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，連接，，利用橢圓對稱性結(jié)合，推出，設(shè)，，推出，繼而令，推得，從而求得的關(guān)系式，求得答案.【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點為，連接，，由橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即FA⊥FB，所以四邊形為矩形，所以，設(shè)，，在中，，，，可得，所以，令，得．又，得，所以，所以，結(jié)合，所以，所以，所以，即橢圓C的離心率的取值范圍為，故選：B．二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．在統(tǒng)計學(xué)中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法B．離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和C．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點D．在回歸分析中，決定系數(shù)越大，模擬的效果越好【答案】ABD【分析】利用獨立性檢驗的概念可判斷A選項；利用離散型隨機(jī)變量的概念可判斷B選項；利用回歸直線的概念可判斷C選項；利用決定系數(shù)與模擬效果的關(guān)系可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在統(tǒng)計學(xué)中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，A對；對于B選項，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和，B對；對于C選項，線性回歸方程對應(yīng)的直線必過樣本中心點，不一定過樣本數(shù)據(jù)點中的一個點，C錯；對于D選項，在回歸分析中，決定系數(shù)越大，模擬的效果越好，D對.故選：ABD.10．若函數(shù)（，，）的部分圖象如圖，則（

）A．是以為周期的周期函數(shù)B．的圖象向左平移個單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞減D．的圖象的對稱中心為，【答案】AC【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象得到，對于選項A，根據(jù)三角函數(shù)的周期性即可判斷A正確，對選項B，向左平移后得到，不是奇函數(shù)，即可判斷B錯誤，對選項C，根據(jù)，即可判斷C正確，對選項D，根據(jù)的圖象的對稱中心為，即可判斷D錯誤.【詳解】由題圖可知，因為當(dāng)時，，所以.因為，所以，所以.由題圖可知，所以，所以.由題圖可知，當(dāng)時，取得最大值，所以，，解得，.又，所以，所以.對于A，，則A正確.對于B，的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，此函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯誤.對選項C，，則，所以在上單調(diào)遞減，故C正確.對選項D，，，得，，所以的圖象的對稱中心為，，則D錯誤.故選：AC.11．如圖，正方體的棱長為2，動點分別在線段上，則（

）A．異面直線和所成的角為B．點到平面的距離為C．若分別為線段的中點，則平面D．線段長度的最小值為【答案】BCD【分析】利用異面直線所成角方法求解即可判斷選項A，利用等體積法求解點到面的距離即可判斷B，利用線面平行的判定定理判斷選項C，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量共線的性質(zhì)建立關(guān)系式，然后利用兩點間的距離公式表示出來分析即可判斷選項D.【詳解】因為，所以異面直線和所成的角即為和所成的角，因為，所以為等邊三角形，即，故錯誤.連接如圖所示：點到平面的距離為，因為，所以.因為，所以，所以點到平面的距離為，故B正確，當(dāng)分別為線段的中點時，則為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確.以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)，，所以，所以，設(shè)，，又所以，所以，所以當(dāng)時，有最小值，即，故D選項正確，故選：BCD.12．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，若為奇函數(shù)，且，則（

）A．為偶函數(shù)B．C．的圖象關(guān)于對稱D．若，則為奇函數(shù)【答案】AC【分析】根據(jù)簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及奇偶性的定義判斷A、D，利用特殊值判斷B，根據(jù)周期性及奇偶性判斷函數(shù)的對稱性，即可判斷C.【詳解】因為為奇函數(shù)且在定義域上可導(dǎo)，即，所以兩邊對取導(dǎo)可得，即，所以為偶函數(shù)，故A正確；對于B：令，顯然為奇函數(shù)，且最小正周期，即滿足，則，則，故B錯誤；對于C：因為且為上的奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以的圖象關(guān)于對稱，故C正確；對于D：因為，則，即為奇函數(shù)，由A可知為偶函數(shù)，故D錯誤；故選：AC三、填空題13．的二項展開式中的常數(shù)項為．【答案】【分析】首先寫出展開式的通項，再令的指數(shù)為，求出所對應(yīng)的，再代入計算可得.【詳解】二項式展開式的通項為，令，解得，所以，所以展開式中常數(shù)項為.故答案為：14．小智和電腦連續(xù)下兩盤棋，已知小智第一盤獲勝的概率是0.5，小智連續(xù)兩盤都獲勝的概率是0.4，那么小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是.【答案】0.8/【分析】利用條件概率公式求解.【詳解】設(shè)小智第一盤獲勝為事件，第二盤獲勝為事件，則，則，故答案為：0.815．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為曲線的“拐點”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個三次函數(shù)都有“拐點”.設(shè)函數(shù)，則.【答案】－3033【分析】由題意對已知函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，證明函數(shù)關(guān)于點中心對稱，即，由此可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，設(shè)，則，令，可得，又，所以，即，所以，所以.故答案為：.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.16．若，設(shè)表示的整數(shù)部分，表示的小數(shù)部分，如，．已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，，且，則．【答案】/【分析】根據(jù)，表示的含義，即可代入求解，通過規(guī)律即可歸納求解.【詳解】由得，，，依次類推知，所以，故答案為：四、解答題17．等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】(1)運用等差中項求出，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出；(2)根據(jù)條件求出的通項公式，再分組求和.【詳解】（1）已知等比數(shù)列的公比為2，且成等差數(shù)列，，，解得，；（2），.；綜上，18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B的大??；(2)若，且，求a和c；(3)若，，求的周長.【答案】(1)(2)，(3).【分析】（1）根據(jù)正余弦定理化簡即可.（2）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角形面積公式即可.（3）根據(jù)余弦定理求出的值即可.【詳解】（1）中，，由正弦定理得：，，即，，在三角形中，，.（2），由正弦定理得：，又，，，.（3）由余弦定理：，，故周長為.19．如圖，矩形ABCD是圓柱的一個軸截面，點E在圓O上，，且，．(1)當(dāng)時，證明：平面平面BDE；(2)若直線AF與平面ODE所成角的正弦值為，試求此時的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）得到和，從而證明線面垂直，進(jìn)而證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)線面角的正弦值列出方程，求出答案.【詳解】（1）因為點E在圓O上，所以，而矩形ABCD是圓柱的軸截面，則有平面ABE，又平面ABE，即有，又，，平面ADE，于是得平面ADE，又因為平面ADE，所以．當(dāng)時，點F是DE的中點，又，則有因為，平面，所以平面BDE，又平面OAF，所以平面平面BDE．（2）在底面內(nèi)過O作，則，，兩兩垂直，所以以為原點，，，分別為x，y，z軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．又因為，，，所以，，則，，，．，設(shè)平面ODE的法向量為，則即令得，，即，設(shè)直線AF與平面ODE所成的角為，則，解得．即當(dāng)時，直線AF與平面ODE所成角的正弦值為．20．第22屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在我國杭州舉行，這是我國繼北京后第二次舉辦亞運會，為迎接這場體育盛會，浙江某市決定舉辦一次亞運會知識競賽，該市A社區(qū)舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A社區(qū)參加市亞運知識競賽．已知A社區(qū)甲、乙、丙3位選手都參加了初賽且通過初賽的概率依次為，，，通過初賽后再通過決賽的概率均為，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．(1)求這3人中至少有1人參加市知識競賽的概率．(2)某品牌商贊助了A社區(qū)的這次知識競賽，給參加選拔賽的選手提供了兩種獎勵方案：方案一：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎，每人抽獎1次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次獎勵600元：方案二：只參加了初賽的選手獎勵100元，參加了決賽的選手獎勵400元（包含參加初賽的100元），若品牌商希望給予選手更多的獎勵，試從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】(1)(2)從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率，先分別求出甲乙丙三人參加市賽的概率，即可求出至少有1人參加市知識競賽的概率．（2）分別求出兩個方案的獎勵期望，比較大小即可.【詳解】（1）甲參加市賽的概率為，乙參加市賽的概率為，丙參加市賽的概率為，至少1人參加市賽的概率為：．（2）方案一：設(shè)三人中獎人數(shù)為，所獲獎金總額為元，則，且．所以元，方案二：記甲、乙、丙三人獲得獎金之和為元，則的所有可能取值為300、600、900、1200，則，，，，所以，．所以，，所以從三人獎金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇方案二更好．21．如圖，已知橢圓的兩個焦點為，且為雙曲線的頂點，雙曲線的離心率，設(shè)為該雙曲線上異于頂點的任意一點，直線的斜率分別為，且直線和與橢圓的交點分別為和.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線的斜率之積為定值；(3)求的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可；（2）設(shè)點，由斜率的定義可知，再將代入雙曲線方程即可求解；（3）利用（2）中結(jié)論設(shè)直線的方程為，的方程為，分別代入橢圓方程求得即可求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知，且，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)點，由題可知，則，所以，由點在雙曲線上，可知，即有，所以，故；（3）由（2）可知，且，所以可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，把直線的方程代入橢圓方程，整理得，設(shè)，則有，因此，把直線的方程代入橢圓方程，整理得，設(shè)，，則有，，因此，所以又，所以，所以，所以的取值范圍為.【點睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點、定值）問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點為，，（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；（3）寫出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)，關(guān)于的不等式恒成立，求正實數(shù)的取值范圍【答案】(1)答案見解析(2)【分析