浙教版八年級(jí)上全等模型專(zhuān)題2-一線三等角（K字）模型（含解析）

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全等模型專(zhuān)題2——一線三等角（K字）模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）

【模型解讀】

在某條直線上有三個(gè)角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個(gè)三角形全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

同側(cè)型一線三等角（常見(jiàn)）：

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：+CE=DE

證明思路：+任一邊相等

例1．（1）如圖1，已知：在中，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．

（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，其中為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例2．在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；

(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．

例3．如圖（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）的前提條件下，判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

例4．（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，垂足分別為D、E．求證：．

（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）

【模型解讀】在某條直線上有三個(gè)角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個(gè)三角形全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

異側(cè)型一線三等角：

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：+任意一邊相等

證明思路：+任一邊相等

例1．老師在上課時(shí)，在黑板上寫(xiě)了一道題：

“如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，DF⊥AE于F，請(qǐng)問(wèn)圖中是否存在一組全等三角形？”

小杰同學(xué)經(jīng)過(guò)思考發(fā)現(xiàn)：△ADF≌△EAB．

理由如下：因?yàn)锳BCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC

又因?yàn)镈F⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意義）

所以∠DFA＝∠B（等量代換）

又AD∥BC所以∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

在△ADF和△EAB中所以△ADF≌△EAB（AAS）

小胖卻說(shuō)這題是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)三角形根本不全等．

你知道小杰的錯(cuò)誤原因是什么嗎？我們?cè)偬砑右粭l線段，就能找到與△ADF全等的三角形，請(qǐng)能說(shuō)出此線段的做法嗎？并說(shuō)明理由．

例2．（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案：的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)，在的邊、上，，點(diǎn)，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為_(kāi)_______．（直接填寫(xiě)結(jié)果，不需要寫(xiě)解答過(guò)程）

例3．過(guò)正方形（四邊都相等，四個(gè)角都是直角）的頂點(diǎn)作一條直線．

（1）當(dāng)不與正方形任何一邊相交時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)如圖（1），請(qǐng)寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若改變直線的位置，使與邊相交如圖（2），其它條件不變，，，的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

（3）若繼續(xù)改變直線的位置，使與邊相交如圖（3），其它條件不變，，，的關(guān)系又會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明．

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中、，軸，存在第一象限的一點(diǎn)使得是以為斜邊的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)（）．

A．或B．C．或D．

第1題圖第2題圖

2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）

A．3B．2C．D．

3．如圖，桌面上豎直放置著一個(gè)等腰直角三角板，若測(cè)得斜邊的兩端點(diǎn)到桌面的距離分別為，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．

4．（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．

（2）【問(wèn)題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問(wèn)題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，求△BCD的面積．

5．在一次課題學(xué)習(xí)活動(dòng)中，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角平分線于點(diǎn)．請(qǐng)你探究與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論正確．經(jīng)過(guò)探究，小明得出的結(jié)論是，而要證明結(jié)論，就需要證明和所在的兩個(gè)三角形全等，但和顯然不全等（一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形），考慮到點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，小明想到的方法是如圖2，取的中點(diǎn)，連接，證明．從而得到．請(qǐng)你參考小明的方法解決下列問(wèn)題．

（1）如圖3，若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，證明結(jié)論仍然成立；（2）如圖4，若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為：“點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)完成證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

6．平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．

(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

7．如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．(1)由圖1，證明：；

(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，請(qǐng)猜想出，，的等量關(guān)系并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)，，又具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系（不必說(shuō)明理由）．

8．【初步探究】

（1）如圖1，在四邊形中，，E是邊上一點(diǎn)，，連接．請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

【問(wèn)題解決】（2）若設(shè)，試?yán)脠D1驗(yàn)證勾股定理．

【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若為等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

9．通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

【模型呈現(xiàn)】(1)如圖，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到___________，___________．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“字”模型或“一線三等角”模型；

【模型應(yīng)用】(2)①如圖，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)．若是以為斜邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

10．通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．

[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．

[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_(kāi)____________．

11．在中，，，為直線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在直線上截取，連接．

（1）當(dāng)點(diǎn)，都在線段上時(shí)，如圖①，求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．

12．（1）如圖，等腰直角中，，，線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)A作于點(diǎn)，過(guò)作于求證：≌．

（2）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，若是以為直角邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在等腰直角中，，，點(diǎn)在線段上從向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)向右上方做等腰直角，求點(diǎn)移動(dòng)的距離．

13．已知：CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．

①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫(xiě)出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．

②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．

（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明．

14．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)∠BDA＝105°時(shí)，∠EDC＝°，∠DEC＝°；點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變．（填“大”或“小”）。（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BDA的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

15．如圖，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，0）．

（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，求OD的長(zhǎng)及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）連接OA，若Р為坐標(biāo)平面內(nèi)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)，且以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAC全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）已知OA＝10，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△OAQ是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

八年級(jí)全等模型專(zhuān)題2——一線三等角（K字）模型

全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就全等三角形中的重要模型（一線三等角（K字）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1.一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）

【模型解讀】

在某條直線上有三個(gè)角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個(gè)三角形全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

同側(cè)型一線三等角（常見(jiàn)）：

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：+CE=DE

證明思路：+任一邊相等

例1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）（1）如圖1，已知：在中，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，直線m，直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．

（2）如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有，其中為任意鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立，見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)可證明，可得，可得．

（2）由已知條件可知，，可得，結(jié)合條件可證明，同（1）可得出結(jié)論．

【詳解】證明：（1）如圖1，

∵直線m，直線m，∴，

∵，∴，

∵，∴，

在和中，∴，

∴，∴；

（2）如圖2，

∵，∴，∴，

在和中，∴，

∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到是解題的關(guān)鍵．

例2．（2023春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在直線上依次取互不重合的三個(gè)點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；

(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，問(wèn)題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．

【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4

【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；

（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；

（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．

【詳解】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，

∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，

∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，

∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．

（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，

∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，

∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），

∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；

（3）解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，

在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，

設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，

∴S△ABC＝BCh＝12，S△ABF＝BFh，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，

∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．

例3．（2022春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．

（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）在（1）的前提條件下，判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并證明；

（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）△ACP與△BPQ全等，理由見(jiàn)解析；（2）PC⊥PQ，證明見(jiàn)解析；（3）存在，當(dāng)t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s時(shí)，△ACP與△BPQ全等．

【分析】（1）利用定理證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷線段和線段的位置關(guān)系；（3）分，兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算．

【詳解】（1）△ACP與△BPQ全等，

理由如下：當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ＝2，則BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°，

在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；

（2）PC⊥PQ，證明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直；

（3）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，

∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），則x＝2（cm/s）；

②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則2t＝×9，

解得，t＝（s），則x＝7÷＝（cm/s），

故當(dāng)t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s時(shí)，△ACP與△BPQ全等．

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、注意分

類(lèi)討論思想的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

例4．（2022·貴州銅仁·三模）（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知中，，，直線l過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作，過(guò)點(diǎn)B作，垂足分別為D、E．求證：．

（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將一塊等腰直角的三角板放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，三角板的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)均落在第一象限內(nèi)，已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知直線與y軸交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)Q，將直線繞P點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點(diǎn)R．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）；（3）R（，0）

【分析】（1）先判斷出∠ACB=∠ADC，再判斷出∠CAD=∠BCE，進(jìn)而判斷出△ACD≌△CBE，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)M作MF⊥y軸，垂足為F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥MF，判斷出MF=NG，OF=MG，設(shè)M（m，n）列方程組求解，即可得出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥PQ，交PR于S，過(guò)點(diǎn)S作SH⊥x軸于H，先求出OP=4，由y=0得x=1，進(jìn)而得出Q（1，0），OQ=1，再判斷出PQ=SQ，即可判斷出OH=5，SH=OQ=1，進(jìn)而求出直線PR的解析式，即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，∴∠ACB＝∠ADC．

∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠CAD＝∠BCE，

∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC．∴△ACD≌△CBE，∴CD＝BE，

（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥y軸，垂足為F，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥MF，交FM的延長(zhǎng)線于G，

由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°，∴由（1）得△OFM≌△MGN，

∴MF＝NG，OF＝MG，設(shè)M（m，n），∴MF＝m，OF＝n，∴MG＝n，NG＝m，

∵點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，2）∴解得∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，3）；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QS⊥PQ，交PR于S，過(guò)點(diǎn)S作SH⊥x軸于H，

對(duì)于直線y＝﹣4x+4，由x＝0得y＝4，

∴P（0，4），∴OP＝4，由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，

∵∠QPR＝45°，∴∠PSQ＝45°＝∠QPS．∴PQ＝SQ．∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP．

∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝4+1＝5，SH＝OQ＝1．∴S（5，1），

設(shè)直線PR為y＝kx+b，則，解得．∴直線PR為y＝x+4．

由y＝0得，x＝，∴R（，0）．

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

模型2.一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）

【模型解讀】在某條直線上有三個(gè)角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個(gè)三角形全等。

【常見(jiàn)模型及證法】

異側(cè)型一線三等角：

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：+任意一邊相等

證明思路：+任一邊相等

例1．（2022·浙江杭州·一模）老師在上課時(shí)，在黑板上寫(xiě)了一道題：

“如圖，ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，DF⊥AE于F，請(qǐng)問(wèn)圖中是否存在一組全等三角形？”

小杰同學(xué)經(jīng)過(guò)思考發(fā)現(xiàn)：△ADF≌△EAB．

理由如下：因?yàn)锳BCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC

又因?yàn)镈F⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意義）

所以∠DFA＝∠B（等量代換）

又AD∥BC所以∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

在△ADF和△EAB中所以△ADF≌△EAB（AAS）

小胖卻說(shuō)這題是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)三角形根本不全等．

你知道小杰的錯(cuò)誤原因是什么嗎？我們?cè)偬砑右粭l線段，就能找到與△ADF全等的三角形，請(qǐng)能說(shuō)出此線段的做法嗎？并說(shuō)明理由．

【答案】小杰錯(cuò)誤的原因是AD和AB不是對(duì)應(yīng)邊，在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，誤以為對(duì)應(yīng)邊了；線段為作BH⊥AE于點(diǎn)H，證明見(jiàn)詳解；

【分析】根據(jù)小杰的證明方法，可以發(fā)現(xiàn)，在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，出現(xiàn)了問(wèn)題，然后說(shuō)出出錯(cuò)的原因即可，然后添加合適的輔助線段，說(shuō)明與△ADF全等的三角形成立的理由即可解答本題；

【詳解】小杰錯(cuò)誤的原因是AD和AB不是對(duì)應(yīng)邊，在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，誤以為對(duì)應(yīng)邊了，作BH⊥AE于H，則△ADF≌△BAH；

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAB=90°，∴∠HAB+∠FAD=90°，

∵DF⊥AE，BH⊥AE，∴∠DFA=∠AHB=90°，

∴∠HAB+∠HBA=90°，∴∠FAD=∠HBA，

在△ADF和△BAH中∴△ADF≌△BAH(AAS)；

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答；

例2．（2022·山東·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）課本習(xí)題回放：“如圖①，，，，，垂足分別為，，，．求的長(zhǎng)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出此題答案：的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

（2）探索證明：如圖②，點(diǎn)，在的邊、上，，點(diǎn)，在內(nèi)部的射線上，且．求證：．

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在中，，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為_(kāi)_______．（直接填寫(xiě)結(jié)果，不需要寫(xiě)解答過(guò)程）

【答案】（1）0.8cm；（2）見(jiàn)解析（3）5

【分析】（1）利用AAS定理證明△CEB≌△ADC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）由條件可得∠BEA＝∠AFC，∠4＝∠ABE，根據(jù)AAS可證明△ABE≌△CAF；

（3）先證明△ABE≌△CAF，得到與的面積之和為△ABD的面積，再根據(jù)故可求解．

【詳解】解：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，

∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC，CE＝AD＝2.5cm．

∵DC＝CEDE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.51.7＝0.8cm，∴BE＝0.8cm故答案為：0.8cm；

（2）證明：∵∠1＝∠2，∴∠BEA＝∠AFC．

∵∠1＝∠ABE＋∠3，∠3＋∠4＝∠BAC，∠1＝∠BAC，

∴∠BAC＝∠ABE＋∠3，∴∠4＝∠ABE．

∵∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠4，AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．

（3）∵∴∠ABE+∠BAE=∠FAC+∠BAE=∠FAC+∠ACF

∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF又∴△ABE≌△CAF，∴

∴與的面積之和等于與的面積之和，即為△ABD的面積，

∵，△ABD與△ACD的高相同則=5

故與的面積之和為5故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

例3．（2023·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）過(guò)正方形（四邊都相等，四個(gè)角都是直角）的頂點(diǎn)作一條直線．

（1）當(dāng)不與正方形任何一邊相交時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)如圖（1），請(qǐng)寫(xiě)出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

（2）若改變直線的位置，使與邊相交如圖（2），其它條件不變，，，的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明；

（3）若繼續(xù)改變直線的位置，使與邊相交如圖（3），其它條件不變，，，的關(guān)系又會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)直接寫(xiě)出，，的數(shù)量關(guān)系，不必證明．

【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；(2)；(3)

【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可證，再證，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行代換即可；（2）根據(jù)同角的余角相等可證，再證，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行代換即可；（3）根據(jù)同角的余角相等可證，再證，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行代換即可．

【詳解】（1），證明：

四邊形是正方形，

又，∴

在和中

，

（2），理由是：四邊形是正方形，

又，∴

在和中

，∴EF=AF-AE=BE-DF

（3），理由是：

四邊形是正方形，

又，∴

在和中

，EF=AE-AF=DF-BE

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等證明是關(guān)鍵．

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1．（2022·貴州·凱里一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中、，軸，存在第一象限的一點(diǎn)使得是以為斜邊的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)（）．

A．或B．C．或D．

【答案】C

【分析】分點(diǎn)P在AB的上方和點(diǎn)P在AB的下方，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在AB的上方時(shí)，過(guò)P作x軸的平行線交y軸于E，交CB延長(zhǎng)線于F，如圖1，

則∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(xiàn)(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9，

∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，

∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，∴P(5，5)；

當(dāng)點(diǎn)P在AB的下方時(shí)，同樣過(guò)P作x軸的平行線交y軸于E，交CB于F，如圖2，

則∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(xiàn)(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a，

∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，

∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，∴P（3，1），

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（5，5），故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、解一元一次方程等知識(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作平行線或垂線，然后求出相關(guān)線段的長(zhǎng)是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．

2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點(diǎn)E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（）

A．3B．2C．D．

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．

【詳解】解：∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，

∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，

∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂線交BC于點(diǎn)D，∴AD＝ED，

在△ABD與△DCE中，，

∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝9，BD＝CE，

∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

3．（2022·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）如圖，桌面上豎直放置著一個(gè)等腰直角三角板，若測(cè)得斜邊的兩端點(diǎn)到桌面的距離分別為，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3

【分析】（1）先利用同角的余角相等，判斷出∠DAC=∠BCE，進(jìn)而判斷出△ACD≌△CBE；

（2）由全等三角形的性質(zhì)，即可求出答案．

【詳解】解：（1）證明：∵，，

∴，∴．

∵，∴，∴，

∴．∴

（2）解：∵，∴，．∵，∴，

∵，∴，∴．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，判斷出△ACD≌△CBE是解本題的關(guān)鍵．

4．（1）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點(diǎn)在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．

（2）【問(wèn)題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問(wèn)題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，求△BCD的面積．

【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．

【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知條件可證△ABC≌△CED，可得答案；

（2）過(guò)D作DE⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E，同（1）中的方法，可證△ABC≌△CED，可得答案；

（3）過(guò)A作AE⊥CD于E，過(guò)B作BF⊥CD交DC延長(zhǎng)線于F，由△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，可得AE＝4，進(jìn)而可得CE=2，同（1）中證法，可得△ACE≌△CBF，由全等三角形的性質(zhì)可求得答案．

【詳解】解：（1）∵∠ACD＝∠E＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠D，

在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），

∴AB＝CE＝3，BC＝ED＝4，∴BE＝BC+CE＝7；故答案為：7；

（2）過(guò)D作DE⊥BC交BC延長(zhǎng)線于E，如圖：

∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠DCE＝∠CDE，

在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），

∴BC＝ED＝4，∴S△BCD＝BCDE＝8；

（3）過(guò)A作AE⊥CD于E，過(guò)B作BF⊥CD交DC延長(zhǎng)線于F，如圖：

∵△ACD面積為12且CD的長(zhǎng)為6，∴×6AE＝12，∴AE＝4，

∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，

∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ACE＝90°﹣∠BCF＝∠CBF，

在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴BF＝CE＝2，∴S△BCD＝CDBF＝6．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，屬于類(lèi)比探究類(lèi)的題目，掌握模型思想，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

5.在一次課題學(xué)習(xí)活動(dòng)中，老師提出了如下問(wèn)題：如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角平分線于點(diǎn)．請(qǐng)你探究與存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論正確．經(jīng)過(guò)探究，小明得出的結(jié)論是，而要證明結(jié)論，就需要證明和所在的兩個(gè)三角形全等，但和顯然不全等（一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形），考慮到點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，小明想到的方法是如圖2，取的中點(diǎn)，連接，證明．從而得到．請(qǐng)你參考小明的方法解決下列問(wèn)題．

（1）如圖3，若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，證明結(jié)論仍然成立；（2）如圖4，若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為：“點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)完成證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）正確，見(jiàn)解析；（2）正確，見(jiàn)解析

【分析】（1）在AB上取點(diǎn)，連接，證明△PAE≌△CEF即可；

（2）延長(zhǎng)BA至，使=CE，連接，證明△ANE≌△ECF即可．

【詳解】解：（1）正確．證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME．

四邊形是正方形，

∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，

∵CF是外角平分線，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°，∴∠AME=∠ECF，

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．

（2）正確．證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N．

使AN=CE，連接NE．∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，

∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，

即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA）∴AE=EF．

【點(diǎn)睛】本題考查的是構(gòu)造三角形全等證明線段的相等，同時(shí)考查了正方形的性質(zhì)，掌握構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．

6.平面內(nèi)有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．

(1)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

(2)當(dāng)三角板繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3的位置時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．

【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立(2)AF-BF=2CE

【分析】（1）過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，可證△ACE≌△CBH，通過(guò)線段的等量代換可得結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，△ACE≌△CBG，通過(guò)線段的等量代換可得答案．

（1）解：圖2，AF+BF=2CE仍成立，

證明：如圖，過(guò)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，

∵∠BCH+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCH，

又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°∴△ACE≌△CBH．∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，

∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．

（2）解：不成立，線段AF、BF、CE之間的數(shù)量關(guān)系為：AF-BF=2CE

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵∠BCG+∠ACE=90°，又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCG，

又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°∴△ACE≌△CBG．∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，

∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題意正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

7.如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于．(1)由圖1，證明：；

(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，請(qǐng)猜想出，，的等量關(guān)系并說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)，，又具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系（不必說(shuō)明理由）．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)，證明過(guò)程見(jiàn)解析；(3)，證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】(1)先證明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，進(jìn)而得到DE=CE+DC=AD+BE即可；

(2)同(1)中思路，證明△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到DE=CE-DC=AD-BE即可；

(3)同(1)中思路，證明△ADC≌△CEB，進(jìn)而得到DE=DC-CE=BE-AD即可．

【詳解】解：(1)證明：在中，∵，∴，

∵，∴，∴，

又∵，，∴，∴，，

∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴；

(2)，，的等量關(guān)系為：，理由如下：

∵于，于∴，

∴，，∴，

在和中，∴

∴，，∴；

(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，、、所滿足的等量關(guān)系是，理由如下：

∵于，于∴，

∴，，∴，

在和中，∴

∴，，∴.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性質(zhì)及等角的余角相等等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定方法是求解的關(guān)鍵．

8．（2023春·浙江·八年級(jí)期中）【初步探究】

（1）如圖1，在四邊形中，，E是邊上一點(diǎn)，，連接．請(qǐng)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．

【問(wèn)題解決】（2）若設(shè)，試?yán)脠D1驗(yàn)證勾股定理．

【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若為等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

【答案】（1）是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2)或(3，3)或．

【分析】（1）利用全等三角形的判定證明≌，再由全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）利用圖形的面積建立等式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；

（3）分三種情況，作輔助線構(gòu)造全等三角形求解即可．

【詳解】解：（1）是等腰直角三角形，理由如下：

在和中，，∴≌，∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，

∵在中，∠C=90°，∴∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，

∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴是等腰直角三角形；

（2）由題可知，四邊形ABCD為梯形，

∵≌，，，，∴AB=CE=b，BE=CD=a，

∴，

又∵，

∴，∴，∴；

（3）①當(dāng)∠CAB=90°，CA=AB時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(4，1)，∴BE=1，OA=2，OE=4，∴AE=2，

∵∠CAB=90°，BE⊥x軸，∴∠CAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠CAF=∠ABE，

又∵AC=AB，∠AFC=∠AEB=90°，∴≌，

∴CF=AE=2，AF=BE=1，∴OF=OA－AF=1，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(1，2)；

②當(dāng)∠ABC＝90°，AB＝BC時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE交EB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵∠ABC=90°，BE⊥x軸，∴∠ABE+∠CBF=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，

又∵BC=AB，∠AEB=∠CFB=90°，∴≌，

∴BE=CF=1，AE=BF=2，∴EF=3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，3)；

③當(dāng)∠ACB=90°，CA＝BC時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵∠ACB=90°，CD⊥x軸，∴∠ACD+∠BCF=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD，

又∵AC=BC，∠CDA=∠BFC=90°，∴≌，∴CF=AD，BF=CD=DE，

∵AD+DE=AE=2，∴2=AD+CD=AD+CF+DF=2AD+1，∴，

∴，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，2)或(3，3)或．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的驗(yàn)證，平面直角坐標(biāo)系中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理，正確作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．

9.通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

【模型呈現(xiàn)】(1)如圖，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由，得．又，可以推理得到．進(jìn)而得到___________，___________．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“字”模型或“一線三等角”模型；

【模型應(yīng)用】(2)①如圖，，，，連接，，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)；②如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)．若是以為斜邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】(1)；(2)①證明見(jiàn)解析；②或

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等解答；（2）①作于，于，證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，利用（1）的結(jié)論即可解答．

【詳解】（1）解：∵，∴，

在和中，，∴，

∴，．故答案為：；．

（2）①證明：如圖，作于，于，

∵，，∴，∴，

在和中，，∴，∴，

∵，，∴，∴，

在和中，，∴，∴，∴，

∵，，∴，

在和中，∴，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)；

②解：如圖，和是以為斜邊的等腰直角三角形，

∴，，

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，兩直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，

∵，∴四邊形是矩形，∴，，，

∵是以為斜邊的等腰直角三角形，∴，，

由（1）可知，，∴，，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，

又∵，∴，

解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∵，，，由（1）可知，，

∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查全等三角形的判定和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

10.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：

[模型呈現(xiàn)]如圖1，，，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．求證：．

[模型應(yīng)用]如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為_(kāi)_______________．

[深入探究]如圖3，，，，連接，，且于點(diǎn)F，與直線交于點(diǎn)G．若，，則的面積為_(kāi)____________．

【答案】[模型呈現(xiàn)]見(jiàn)解析；[模型應(yīng)用]50；[深入探究]63

【分析】[模型呈現(xiàn)]證明，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到；

[模型應(yīng)用]根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；

[深入探究]過(guò)點(diǎn)D作于P，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，證明，得到，進(jìn)而求出，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

【詳解】[模型呈現(xiàn)]證明：∵，∴，

∵，∴，

∴，∴，

在和中，，∴，∴；

[模型應(yīng)用]解：由[模型呈現(xiàn)]可知，，

∴，

則，

故答案為：50；

[深入探究]過(guò)點(diǎn)D作于P，過(guò)點(diǎn)E作交AG的延長(zhǎng)線于Q，

由[模型呈現(xiàn)]可知，，

∴，

在和中，，∴，∴，

∵，∴，∴，

∴，∴，故答案為：63．

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算，熟記三角形確定的判定定理是解題的關(guān)鍵．

11.在中，，，為直線上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在直線上截取，連接．

（1）當(dāng)點(diǎn)，都在線段上時(shí)，如圖①，求證：；

（2）當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）圖②：；圖③：

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，．再證，由此即可證得結(jié)論；（2）圖②：，類(lèi)比（1）中的方法證明即可；圖③：，類(lèi)比（1）中的方法證明即可．

【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

∴．∵，∴，．

∵，∴．∴．

在和中，∴．∴，．

∵，，∴．

∴．∴．

∵，，∴．

在和中，∴．∴．

∵，∴．

（2）圖②：．證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

∴．∵，∴，．

∵，∴．∴．

在和中，∴．∴，．

∵，，∴．∴，

∵∴．∴．

∵，，∴．

在和中，∴．∴．

∵，∴．

圖③：．

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．

∴．∵，∴，．

∵，∴．∴．

在和中，∴．∴，．

∵，，∴．∴．∴．

∵，，∴．

在和中，∴．∴．

∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題是全等三角形的綜合題，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

12.（1）如圖，等腰直角中，，，線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)A作于點(diǎn)，過(guò)作于求證：≌．

（2）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，若是以為直角邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，在等腰直角中，，，點(diǎn)在線段上從向運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)向右上方做等腰直角，求點(diǎn)移動(dòng)的距離．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），，，；（3）8

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可；（2）分四種情況，由（1）的結(jié)論并結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明；（3）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）的結(jié)論和等腰直角三角形的性質(zhì)即可證明．

【詳解】解：（1）為等腰直角三角形，，

又，，，，

又，，即，≌；

（2）分四種情況討論：當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，且點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)．

為等腰直角三角形，由（1）可知：≌，

，，，，

，，，；

其余三種情況如圖所示，

同理可求得：，，；

（3）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

為等腰直角三角形，由（1）可知：≌，

，，，

點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，

當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離是．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)．

13.已知：CD是經(jīng)過(guò)∠BCA的頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F是直線CD上兩點(diǎn)，∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，∠BCD＞∠ACD．

①如圖1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，寫(xiě)出BE，EF，AF間的等量關(guān)系：．

②如圖2，∠α與∠BCA具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫(xiě)出∠α與∠BCA的數(shù)量關(guān)系．

（2）如圖3．若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫(xiě)出新結(jié)論并進(jìn)行證明．

【答案】（1）①EF=BE-AF；②∠α+∠BCA=180°，理由見(jiàn)解析；（2）不成立，EF=BE+AF，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論；②求出∠BEC=∠AFC,∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論;

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可得出結(jié)論．

【詳解】（1）①EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系：EF=BE-AF，

證明：當(dāng)α=90°時(shí)，∠BEC=∠CFA=90°，

∵∠BCA=90°,

∴∠BCE＋∠ACF=90°,

∵∠BCE＋∠CBE=90°，

∴∠ACF=∠CBE，

∵AC=BC,

∴△BCE≌△CAF,

∴BE=CF,CE=AF,

∵CF=CE＋EF,

∴EF=CF-CE=BE-AF；

②∠α與∠BCA關(guān)系：∠α+∠BCA=180°

當(dāng)∠α+∠BCA=180°時(shí)，①中結(jié)論仍然成立;

理由是：如題圖2，

∵∠BEC=∠CFA=∠α,,∠α+∠ACB=180°,

又∵

∴∠CBE=∠ACF,

在△BCE和△CAF中

∴△BCE≌△CAF(AAS),

∴BE=CF,CE=AF，

∴EF=CF-CE=BE-AF;

故答案