數(shù)值分析課程報(bào)告

插值法和多項(xiàng)式擬合的研究摘要在科研和生產(chǎn)實(shí)踐中，常常需要通過一組測量數(shù)據(jù)來尋找變量x與y的函數(shù)關(guān)系近似表達(dá)式。解決這類問題的方法有兩種：一種是插值法,另一種是擬合法。插值法的原理是用一個(gè)簡單函數(shù)逼近被計(jì)算函數(shù)，然后用該簡單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計(jì)算函數(shù)的函數(shù)值。擬合法能夠是從給定的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，尋找函數(shù)的一個(gè)近似表達(dá)式,該近似表達(dá)式能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢而又不一定過全部的點(diǎn)，即曲線擬合。本文主要介紹拉格朗日插值法、埃爾米特插值法、三次樣條插值法以及基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合。關(guān)鍵詞：拉格朗日插值，埃爾米特插值，樣條插值，多項(xiàng)式擬合1方法的意義在許多實(shí)際問題及科學(xué)研究中，因素之間往往存在著函數(shù)關(guān)系，然而，這種關(guān)系經(jīng)常很難有明顯的解析表達(dá)，通常只是由觀察與測試得到一些離散數(shù)值。有時(shí)，即使給出了解析表達(dá)式，卻由于表達(dá)式過于復(fù)雜，不僅使用不便，而且不易于進(jìn)行計(jì)算與理論分析。解決這類問題的方法有兩種：一種是插值法,另一種是擬合法。插值法的原理是用一個(gè)簡單函數(shù)逼近被計(jì)算函數(shù)，然后用該簡單函數(shù)的函數(shù)值近似替代被計(jì)算函數(shù)的函數(shù)值。它要求給出函數(shù)的一個(gè)函數(shù)表，然后選定一種簡單的函數(shù)形式，比如多項(xiàng)式、分段線性函數(shù)及三角多項(xiàng)式等，通過已知的函數(shù)表來確定一個(gè)簡單的函數(shù)作為的近似，概括地說，就是用簡單函數(shù)為離散數(shù)組建立連續(xù)模型。插值法在實(shí)際應(yīng)用中非常廣泛，但是它也有明顯的缺陷，一是測量數(shù)據(jù)常常帶有測試誤差，而插值多項(xiàng)式又通過所有給出的點(diǎn)，這樣就是插值多項(xiàng)式保留了這些誤差；二是如果實(shí)際得到的數(shù)據(jù)過多，則必然得到次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式，這樣近似的效果并不理想。擬合法能夠很好的解決這些問題，它從給定的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，尋找函數(shù)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)=,該近似表達(dá)式能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢而又不一定過全部的點(diǎn)，即曲線擬合的問題，函數(shù)的近似表達(dá)式y(tǒng)=稱為擬合曲線。常用最小而二乘法來確定擬合曲線。2插值法的介紹2.1插值法定義設(shè)f(x)為[a，b]上的函數(shù)，在互異點(diǎn)處的函數(shù)值分別為,構(gòu)造一個(gè)簡單函數(shù)j(x)作為函數(shù)f(x)的近似表達(dá)式y(tǒng)=f(x)?j(x),使,i＝0,1,2,…,n(1.0)則稱j(x)為關(guān)于節(jié)點(diǎn)的插值函數(shù)；稱為插值節(jié)點(diǎn)；稱,i=1,2,…,n為插值點(diǎn)；f(x)稱為被插值函數(shù)。式（1.0）稱為插值條件。這類問題稱為插值問題。插值的任務(wù)就是由已知的觀測點(diǎn),為物理量(未知量)建立一個(gè)簡單的、連續(xù)的解析模型，以便能根據(jù)該模型推測該物理量在非觀測點(diǎn)處的特性。常用的插值函數(shù)類{}是代數(shù)多項(xiàng)式，相應(yīng)插值問題是代數(shù)插值，本文主要介紹三種代數(shù)差值：拉格朗日插值，埃爾米特插值和樣條插值。2.2拉格朗日插值2.2.1兩點(diǎn)插值問題已知，求滿足插值條件的插值多項(xiàng)式。根據(jù)解析幾何知識可知，所求的為過點(diǎn)的直線，即：上式經(jīng)整理可改寫為：式中，。顯然,,且，為由插值節(jié)點(diǎn)唯一確定的線性函數(shù)。，為節(jié)點(diǎn)，上的一次插值基函數(shù)?？梢钥闯?，節(jié)點(diǎn)上的插值基函數(shù)的次數(shù)為插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)減一，基函數(shù)組中所含的函數(shù)個(gè)數(shù)與插值節(jié)點(diǎn)數(shù)相同。而滿足的插值多項(xiàng)式就是節(jié)點(diǎn)上插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)分別為。這種表示為插值基函數(shù)線性組合的一次插值多項(xiàng)式也就是一次拉格朗日插值多項(xiàng)式。當(dāng)給定n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)后，可類似定義n次插值基函數(shù)，并以此構(gòu)造n次拉格朗日多項(xiàng)式。2.2.2n次拉格朗日插值多項(xiàng)式n次插值基函數(shù)：顯然具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1，性質(zhì)2，為由插值節(jié)點(diǎn)唯一確定的n次函數(shù)。性質(zhì)3，基函數(shù)組所含的基函數(shù)個(gè)數(shù)與插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。以n次插值基函數(shù)為基礎(chǔ)，可得拉格朗日插值多項(xiàng)式為：若記，則有。于是也可寫成：2.2.3拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)，也叫截?cái)嗾`差。用簡單的插值多項(xiàng)式代替復(fù)雜的函數(shù)，這種做法是否有效，取決于截?cái)嗾`差是否滿足精度要求。拉格朗日型余項(xiàng)：其中，且依賴于。一般情況下，的具體數(shù)值無法知道，但是若能夠求出，則可以得出插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差限為：由此看出，的大小除了與有關(guān)外，還與插值節(jié)點(diǎn)有密切關(guān)系。當(dāng)給定M個(gè)點(diǎn)出的函數(shù)值，但僅選用其中個(gè)作為插值條件而求某點(diǎn)處函數(shù)值時(shí)，n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的選取應(yīng)該盡可能的接近，使得計(jì)算的函數(shù)值的誤差限盡可能的小。2.3埃爾米特插值許多實(shí)際問題不但要求插值多項(xiàng)式與被插值函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值相當(dāng)，而且還需要求其導(dǎo)數(shù)值相等。滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是埃爾米特插值多項(xiàng)式。一般情形的埃爾米特插值問題一般情形的埃爾米特插值問題是指所滿足的插值條件中函數(shù)值的個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值的個(gè)數(shù)相等。即當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值給定時(shí)，要求一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式，使之滿足：這里給出個(gè)2n+2個(gè)插值條件，可唯一確定一個(gè)形式為的多項(xiàng)式，但是要確定2n+2個(gè)系數(shù)非常復(fù)雜，因此此時(shí)可以借用構(gòu)造拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)。設(shè)為次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式，且滿足：則滿足上述條件的埃爾米特插值多項(xiàng)式可以寫成用插值基函數(shù)表示的形式：上式滿足插值條件?？梢缘玫交瘮?shù)的解析式為：式中為拉格朗日插值基函數(shù)。因此埃爾米特插值多項(xiàng)式即為：一般情形下的埃爾米特插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為：式中，且與有關(guān)。埃爾米特插值的幾何意義：曲線與曲線在插值節(jié)點(diǎn)處有相同的公共切線。在帶導(dǎo)數(shù)的插值問題中，有時(shí)插值條件中的函數(shù)值個(gè)數(shù)與導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不等。這時(shí)可以以一般情況的埃爾米特插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出滿足插值條件的多項(xiàng)式。2.4樣條插值在上述方法中，我們根據(jù)區(qū)間上給出的節(jié)點(diǎn)得以得到函數(shù)的插值多項(xiàng)式，但是并非插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，逼近函數(shù)的精度越好，主要原因是因?yàn)閷τ谌我獾牟逯倒?jié)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，插值多項(xiàng)式不一定收斂到。這種高次插值不準(zhǔn)確的現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象。為了避免高次插值的缺點(diǎn)，人們常常采用分段插值的方法，即將插值區(qū)間分為若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上運(yùn)用前面介紹的插值方法構(gòu)造低次插值多項(xiàng)式。采用分段現(xiàn)象插值與分段二次插值，可以構(gòu)造一個(gè)整個(gè)連續(xù)的函數(shù)，而采用分段三次埃爾米特插值則可以構(gòu)造一個(gè)整體上具有一節(jié)連續(xù)導(dǎo)數(shù)的插值函數(shù)。實(shí)際問題中，很少給出插值點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值。三次樣條插值就是在只給出插值點(diǎn)上函數(shù)值的情況下，構(gòu)造一個(gè)整體上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的插值函數(shù)。2.4.1三次樣條插值函數(shù)的定義設(shè)區(qū)間上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，若函數(shù)滿足條件：在整個(gè)區(qū)間上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上是的三次多項(xiàng)式則稱為的三次樣條插值。的邊界條件為：給定兩端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，記為：，給定兩端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值，記為：，此外，對的邊界條件稱為自然邊界條件。2.4.2三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)，就是要寫出它在子區(qū)間上的表達(dá)式，記為。用節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)記節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值為，若已知后，則在上就是滿足條件，，，的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。步驟如下：根據(jù)，在內(nèi)階段的連續(xù)性及插值條件，運(yùn)用上的二點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式，寫出用表示的形式。利用在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性及邊界條件，導(dǎo)出含的n+1階線性方程組。求解含的線性方程組，將得到的代入上的二點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。具體公式為：+的確定由得二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)連續(xù)的條件得到，即：該式即為n+1階線性方程組。其中：求解該線性方程組還需兩個(gè)邊界條件。對于第一種邊界條件，將其代入，得到只含n-1個(gè)未知數(shù)的線性方程組：對于第二種邊界條件，將其代入，得到n+1階線性方程組：其中：二、用節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)記節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值為，由于在上是的線性函數(shù)，因此構(gòu)造以節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)表示的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式步驟如下：根據(jù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性及為線性函數(shù)的特點(diǎn)，將表示為線性函數(shù)。在根據(jù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性及插值條件，寫出用表示的形式。利用在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性及邊界條件，導(dǎo)出含的n+1階線性方程組。求解含的線性方程組，將得到的代入上的 的表達(dá)式，即得到二點(diǎn)三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。具體公式為：的確定由得二階導(dǎo)數(shù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)連續(xù)的條件得到，即：該式即為n+1階線性方程組。其中：解該方程還需要兩個(gè)邊界條件。對于第一種邊界條件，將其代入，得到只含n-1個(gè)未知數(shù)的線性方程組：式中：對于第二種邊界條件，將其代入，得到n+1階線性方程組：對于三次樣條插值函數(shù)來說，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，可以證明：不但樣條插值函數(shù)收斂于函數(shù)本身，而且其導(dǎo)數(shù)也收斂于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.曲線擬合3.1用最小二乘法求解矛盾方程組工程實(shí)際中許多問題都可歸結(jié)為矛盾方程組，實(shí)際中需要尋求矛盾方程組的未知數(shù)的一組取值，它使得偏差的絕對值之和盡可能的小，為了便于分析計(jì)算和應(yīng)用，常采用使偏差的平方和達(dá)到最小值，這一條件稱為最小二乘原則。按最小二乘原則來選擇的一組取值的方法稱為求解矛盾方程組的最小二乘法，符合條件的的一組取值稱為矛盾方程組的最小二乘解。把Q看出n個(gè)自變量的二次函數(shù)，記為，因此，求矛盾方程組的最小二乘解就是二乘函數(shù)的最小值點(diǎn)。若矛盾方程組的系數(shù)矩陣A的秩為n，則二次函數(shù)一定存在最小值。即矛盾方程組的最小二乘解存在，且正則方程組有唯一解，此解就是矛盾方程組的最小二乘解。3.2多項(xiàng)式擬合設(shè)通過測量得到函數(shù)的一組數(shù)據(jù)為：，求一個(gè)次數(shù)低于N-1的多項(xiàng)式（其中待定），使其最好的擬合這組數(shù)據(jù)，最好的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)：使得在的偏差的平方和達(dá)到最小。的解即正則方程組的解。由該正則方程組求得的唯一解代入擬合多項(xiàng)式，即為所求。數(shù)值試驗(yàn)表1是1971年到1990年我國總?cè)丝诘慕y(tǒng)計(jì)數(shù)字，試根據(jù)1971年到1985年這15年人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字用下面幾種方法預(yù)測未來20年的人口數(shù)字，并用圖示的方法比較1986年到1990年間預(yù)測人口數(shù)字與實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)字的差異，在你所使用的幾種預(yù)測方法中找出一組較為合理的預(yù)測方法。指數(shù)形式；拉格朗日插值、埃爾米特插值、樣條插值；三次多項(xiàng)式擬合；四次多項(xiàng)式擬合表1人口統(tǒng)計(jì)數(shù)字年份1971197219731974197519761977197819791980人口8.52298.71778.92119.08599.24209.37179.49749.62599.75429.8705年份1981198219831984198519861987198819891990人口10.007210.165410.300810.435710.585110.750710.930011.102611.270411.4333數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果：1.指數(shù)形式擬合圖形為：2.三次多項(xiàng)式擬合的效果：3.四次多項(xiàng)式擬合的效果結(jié)論：基于最小二乘法的多項(xiàng)式擬合能取得良好的函數(shù)逼近效果。階數(shù)越高，擬合效果越好。參考文獻(xiàn)[1]王正林，龔純，等．精通MATLAB科學(xué)計(jì)算．北京：電子工業(yè)出版社，2009:135—157[2]任玉杰．?dāng)?shù)值分析及其MATLAB實(shí)現(xiàn)［M］．北京：高等教育出版社，2007：584—642[3]李信真，車剛明，等．計(jì)算方法[M]．西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2010：150—167[4]金一慶，陳越．?dāng)?shù)值方法[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000：165—176附錄1.按指數(shù)形式擬合的程序：x=[8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.7542,9.8705,10.0072,10.1654,10.3008,10.4357,10.5851,10.7507,10.9300,11.1026,11.2704,11.4333];y=[1971,1972,1973,1974,1975,1976,1977,1978,1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990];p=polyfit(x,log(y),1);a=exp(p(2));b=p(1);y_n=a*exp(b*x);plot(x,y,x,y,'*',x,y_n),grid,axis([8.5,11.8,1970,1991]),legend('實(shí)際統(tǒng)計(jì)曲線','實(shí)際統(tǒng)計(jì)值','指數(shù)曲線')2.按三次多項(xiàng)式擬合的程序：x=[8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.7542,9.8705,10.0072,10.1654,10.3008,10.4357,10.5851,10.7507,10.9300,11.1026,11.2704,11.4333];y=[1971,1972,1973,1974,1975,1976,1977,1978,1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990];p=polyfit(x,y,3);y1=polyval(p,x);plot(x,y,x,y,'*',x,y1),grid,axis([8.5,11.8,1970,1991]),legend('實(shí)際統(tǒng)計(jì)曲線','實(shí)際統(tǒng)計(jì)值','三次多項(xiàng)式擬合')按四次多項(xiàng)式擬合的程序：x=[8.5229,8.7177,8.9211,9.0859,9.2420,9.3717,9.4974,9.6259,9.7542,9.8705,10.0072,10.1654