專題3.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)【八大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（原卷版）

專題3.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)【八大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1橢圓中x、y的取值范圍】 1【題型2根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值】 2【題型3橢圓的對稱性的應用】 3【題型4利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程】 4【題型5橢圓的焦距與長軸、短軸】 4【題型6求橢圓的離心率或其取值范圍】 5【題型7根據(jù)橢圓的離心率求參數(shù)】 6【題型8橢圓的實際應用問題】 6【知識點1橢圓的范圍】1．橢圓的范圍設橢圓的標準方程為(a>b>0)，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點的橫、縱坐標的取值范圍.(1)從形的角度看：橢圓位于直線x=a和y=b所圍成的矩形框里.(2)從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.【題型1橢圓中x、y的取值范圍】【例1】（2023秋·高二課時練習）已知點(m,n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則m的取值范圍是．【變式1-1】（2022·高二課時練習）設集合A={x|x24+3y24=1}，B＝{A．[－2，2] B．[0，2]C．[0，＋∞） D．{（－1，1），（1，1）}【變式1-2】（2023·上?！じ叨ｎ}練習）下列關于曲線Γ:x2A．曲線Γ是橢圓 B．y的取值范圍是[-3,3]C．關于直線y=x對稱 D．曲線?！咀兪?-3】（2022·高二課時練習）討論下列橢圓的范圍，并描點畫出圖形．(1)x(2)4x【題型2根據(jù)橢圓的有界性求范圍或最值】【例2】（2023·高二課時練習）已知橢圓x24+y2=1經(jīng)過點A．0,1 B．0,4 C．4,+∞ D．1,4【變式2-1】（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>A．322b B．2b C．【變式2-2】（2023春·湖南長沙·高三校聯(lián)考期中）已知橢圓x216+y212=1的左頂點為A，右焦點為FA．-16,0 B．C．0,8 D．0,16【變式2-3】（2022秋·高二課時練習）已知點P(x,y)是橢圓x【知識點2橢圓的對稱性】1．橢圓的對稱性(1)從形的角度看：橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

(2)從數(shù)的角度看：在橢圓的標準方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改變，這說明當點P(x,y)在橢圓上時，它關于x軸的對稱點(x,-y)也在橢圓上，所以橢圓關于x軸對稱；同理，以-x代替x，方程也不改變，所以橢圓關于y軸對稱；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱.坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫作橢圓的中心.【題型3橢圓的對稱性的應用】【例3】（2023秋·高二課時練習）若點3,2在橢圓x2a2A．點-3,-2不在橢圓上 B．點3,-2C．點-3,2在橢圓上 D【變式3-1】（2023秋·四川樂山·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x225+y29=1的左?右焦點分別為FA．2個 B．4個 C．6個 D．8個【變式3-2】（2023·高二課時練習）若點4,3在橢圓x2a2A．點4,-3不在橢圓上 B．點3,4在橢圓上C．點-4,-3不在橢圓上 D．點-【變式3-3】（2023秋·山東棗莊·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓x236+y29=1與x軸交于點A，B，把線段AB分成6等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P1，P2，P3，P4A．20 B．153 C．36 D．【知識點3橢圓的頂點、長短軸與離心率】1．橢圓的頂點與長軸、短軸以橢圓的標準方程(a>b>0)為例.

(1)頂點

令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.

這說明(-a,0)，(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點，(0,-b),(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點.因為x軸、y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓與它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫作橢圓的頂點.(2)長軸、短軸線段，分別叫作橢圓的長軸和短軸.長軸長=2a，短軸長=2b，a和b分別叫作橢圓的長半軸長和短半軸長.2．橢圓的離心率(1)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率.用e表示，即e=.

(2)離心率的范圍：0<e<1.

(3)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度.

當e越接近于1時，c越接近于a，從而b=越小，因此橢圓越扁；當e越接近于0時，c越接近于0，從而b=越接近于a，因此橢圓越接近于圓；當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.【題型4利用橢圓的幾何性質(zhì)求標準方程】【例4】（2023春·四川瀘州·高二?？计谀┮阎獧E圓的對稱軸是坐標軸，離心率為13，長軸長為12，則橢圓方程為（

A．x24+C．x236+y2【變式4-1】（2023秋·新疆烏魯木齊·高二?？计谀┻^點3,2且與橢圓3x2+8A．x25+y210=1 B．【變式4-2】（2023秋·高二課時練習）中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（

）A．x281+C．x272+【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1,F2A．x216+y24=1 B．

x216【題型5橢圓的焦距與長軸、短軸】【例5】（2023春·上海長寧·高二?？计谥校E圓x212+y2A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．焦距相等 D．頂點相同【變式5-1】（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）已知橢圓x23m+y2mA．1 B．2 C．2 D．4【變式5-2】（2023·四川巴中·南江中學校考模擬預測）已知橢圓C:x2m+3+y2m-1=1的左?右焦點分別是A．22 B．4 C．42 D【變式5-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃┮阎狿是橢圓C:y24+x2A．橢圓C的短軸長為23 B．F1C．橢圓C的離心率為12 D．存在點P，使得【題型6求橢圓的離心率或其取值范圍】【例6】（2023春·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1A．33 B．23 C．63【變式6-1】（2023秋·高二課時練習）設F1、F2分別是橢圓C:x2a2+yA．0,12 B．0,13 C．【變式6-2】（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F，過坐標原點O的直線l與橢圓C交于P,Q兩點，點PA．34 B．22 C．33【變式6-3】（2023春·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）設橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為FA．0,22 BC．23,2【題型7根據(jù)橢圓的離心率求參數(shù)】【例7】（2023秋·浙江杭州·高二期末）已知焦點在y軸上的橢圓x25+y2m=1A．54 B．154 C．203 D．【變式7-1】（2023·全國·高二專題練習）設e是橢圓x24+y2k=1A．(0,3) B．3,163 C．(0,3)∪16【變式7-2】（2023秋·高二單元測試）設橢圓C1:x2a2+y2A．233 B．2 C．3 D【變式7-3】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習）橢圓C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，斜率為1的直線l過左焦點F1，交CA．24,22 B．1,2 C．【題型8橢圓的實際應用問題】【例8】（2023·高二課時練習）2021年2月10日，天問一號探測器順利進入火星的橢圓環(huán)火軌道（將火星近似看成一個球體，球心為橢圓的一個焦點）．2月15日17時，天問一號探測器成功實施捕獲軌道遠火點（橢圓軌跡上距離火星表面最遠的一點）平面機動，同時將近火點高度調(diào)整至約265km．若此時遠火點距離約為11945km，火星半徑約為3395km，則調(diào)整后天問一號的運行軌跡（環(huán)火軌道曲線）的焦距約為（

）A．11680km B．5840km C．19000km D．9500km【變式8-1】（2023·廣東韶關·統(tǒng)考模擬預測）韶州大橋是一座獨塔雙索面鋼砼混合梁斜拉橋，具有樁深，塔高、梁重、跨大的特點，它打通了曲江區(qū)、湞江區(qū)、武江區(qū)交通道路的瓶頸，成為連接曲江區(qū)與芙蓉新城的重要交通橋梁，大橋承擔著實現(xiàn)韶關“三區(qū)融合”的重要使命，韶州大橋的橋塔外形近似橢圓，若橋塔所在平面截橋面為線段AB，且AB過橢圓的下焦點，AB=44米，橋塔最高點P距橋面110米，則此橢圓的離心率為（

A．13 B．25 C．23【變式8-2】（2023·高二課時練習）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分．燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，卡門位于另一個焦點F2上．由橢圓一個焦點F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2．已知此橢圓的離心率為59A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習）油紙傘是中國傳