專題1.5 空間向量的應(yīng)用【十大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

專題1.5空間向量的應(yīng)用【十大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求平面的法向量】 2【題型2利用空間向量證明線線平行】 5【題型3利用空間向量證明線面平行】 7【題型4利用空間向量證明面面平行】 12【題型5利用空間向量證明線線垂直】 17【題型6利用空間向量證明線面垂直】 20【題型7利用空間向量證明面面垂直】 24【題型8利用空間向量研究距離問題】 30【題型9利用空間向量求空間角】 36【題型10利用空間向量研究存在性問題】 41【知識點(diǎn)1空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示】1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(1)空間中點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．(3)平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點(diǎn)A和一個向量a，那么過點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.【注】一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量.【題型1求平面的法向量】【例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知A1,1,0,B1,0,1,C0,1,1，則平面ABC的一個單位法向量是（

）A．1,1,1 B．(C．(13,【解題思路】待定系數(shù)法設(shè)平面ABC的一個法向量為n，由法向量的性質(zhì)建立方程組解出分析即可.【解題思路】設(shè)平面ABC的一個法向量為n=又AB=由AB⊥即x=又因?yàn)閱挝幌蛄康哪?，所以B選項(xiàng)正確，故選：B.【變式1-1】（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┛臻g直角坐標(biāo)系O-xyz中，已知點(diǎn)A(2,0,2),B(2,1,0),A．(1,2,1) B．(-1,2,1) C．(2,1,2) D．(2,-1,2)【解題思路】根據(jù)法向量的求解方法求解即可.【解題思路】解：由題知AB=設(shè)平面ABC的一個法向量為n=所以n?AB=0n?BC所以，平面ABC的一個法向量可以是n=故選：A.【變式1-2】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1OA．0,1,1 B．1,-1,1 C．1,0,-1 D．-【解題思路】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系寫出各向量，利用法向量的性質(zhì)可得解.【解題思路】∵ABCD是正方形，且AB∴AO∴O∴A0,-1,0，B1,0,0，C∴AB=1,1,0又A1∴B11,1,1∵平面OCB1的法向量為則y=0x+y+結(jié)合選項(xiàng)，可得n=故選：C.【變式1-3】（2023秋·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC,AB=AC=1,PAA．-12,-12,14 B【解題思路】先求出BC=【解題思路】依題意得，B0,1,0,設(shè)n=n?BC=x-y故選：D.【知識點(diǎn)2用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系】1．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．【題型2利用空間向量證明線線平行】【例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：CE//【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算，計(jì)算判斷CE與MN共線即可推理作答.【解題思路】（方法1）因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，則有MN=MA+兩式相加得：2MN=CE，因此CE與MN共線，而直線CE所以CE//（方法2）因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，MN=AN-因此CE與MN共線，而直線CE與MN不重合，所以CE//【變式2-1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知棱長為1的正方體OABC--O1A1B1【解題思路】由圖中的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，證明DE=GF，可得【解題思路】因?yàn)檎襟w的棱長為1，D,E,所以有D12,0,1，E1,12,1所以DE=12,12,0【變式2-2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在線段A1B，D【解題思路】利用空間向量共線定理證明.【解題思路】證明：MN=因?yàn)锽M=13所以MN=-=-1=2又因?yàn)镻為B1所以BP=從而BP與MN為共線向量．因?yàn)橹本€MN與BP不重合，所以MN//【變式2-3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=3，點(diǎn)S、P在棱CC1、AA【解題思路】利用坐標(biāo)法，利用向量共線定理即得.【解題思路】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC與DD1的方向?yàn)閤、y與則D0,0,0、A3,0,0、C0,4,0、B3,4,0、D10,0,3、由題意知P3,0,2、Q0,2,3、S0,4,1∴PQ=-3,2,1∴PQ=RS，又PQ，∴PQ∥【題型3利用空間向量證明線面平行】【例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD//BC.AD⊥AB,AD=3,AB=BC=2,PA⊥平面ABCD，且PA=3，點(diǎn)【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法證明即可.【解題思路】如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0,0,3),若DM=2MP，則M(0,1,2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以又因?yàn)锳D⊥AB，PA∩AB=所以AD⊥平面平面PAB的其中一個法向量為AD=(0,3,0)所以MN?AD=0又因?yàn)镸N?平面PAB所以MN//平面PAB【變式3-1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點(diǎn)M,N分別在BD,AE上，且BM=13【解題思路】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線MN的方向向量和平面CDE的法向量，利用直線與平面平行的直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系即可求解.【解題思路】因?yàn)榫匦蜛BCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB,不妨設(shè)AB,AD,AF的長分別為3a則B3a,0,0，D0,3b,0，所以BD=因?yàn)锽M=13所以NM=又平面CDE的一個法向量是AD由NM?AD=2a因?yàn)镸N?平面CDE所以MN∥平面CDE【變式3-2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為棱PD的中點(diǎn)，PF=λPC（λ為常數(shù)，且0<λ<1）．若直線BF//【解題思路】由題意可知，AB，AD，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別求出平面ACE的法向量m和直線BF的方向向量BF，由BF【解題思路】因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥由題意可知，AB，AD，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-則A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，D0,4,0，所以AC=2,2,0，AE=0,2,1，則PF=λPC設(shè)平面ACE的一個法向量為m=由AC?m=0AE?m=0因?yàn)锽F//平面ACE，所以BF?m【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB//CD，CD=4AB，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，與E，F(xiàn)(1)當(dāng)P為EF的中點(diǎn)時，證明：PB//平面ADE(2)設(shè)平面EAD與平面EBC的交線為l，是否存在點(diǎn)P使得l/平面PBD？若存在，求EPPF【解題思路】（1）設(shè)點(diǎn)G為棱ED的中點(diǎn)，連接AG，PG，通過證明四邊形ABPG為平行四邊形，得到AG//PB，再根據(jù)線面平行的判定定理可證PB//（2）延長DA，CB相交于點(diǎn)H，連接EH，則直線EH為平面EAD與平面EBC的交線，連接HF，交BD于點(diǎn)I，若EH//平面PBD，由線面平行的性質(zhì)可知EH//PI，設(shè)HI=λHF，推出【解題思路】（1）如圖，設(shè)點(diǎn)G為棱ED的中點(diǎn)，連接AG，PG，∴GP=12∵AB//CD，∴GP=AB，∴四邊形ABPG為平行四邊形，∴AG//又PB?平面ADE，AG?平面∴PB//平面ADE（2）如圖，延長DA，CB相交于點(diǎn)H，連接EH，則直線EH為平面EAD與平面EBC的交線，連接HF，交BD于點(diǎn)I，若EH//平面PBD，由線面平行的性質(zhì)可知EH設(shè)HI=∵點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，AB//CD，∴HI=λHF=∵D，I，B三點(diǎn)共線，∴λ2+2λ所以當(dāng)EPPF=23時，PF又EH?平面PBD，PI?平面PBD，∴EH//∴存在滿足條件的點(diǎn)P使得l//平面PBD，此時EP【題型4利用空間向量證明面面平行】【例4】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC．【解題思路】根據(jù)題意得到AB，AP，AD兩兩垂直，從而以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并確定A，B，C，D，P，E，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，求得PB，F(xiàn)E，F(xiàn)G，BC，從而即可確定平面EFG的法向量n1，平面PBC的法向量n2，進(jìn)而即可證明平面EFG∥平面【解題思路】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．所以PB=(2,0,-2)，F(xiàn)E=(0,-1,0)，F(xiàn)G=(1,1,-1)設(shè)n1=(x則n1⊥FE，n1⊥令z1=1，則x1=1，設(shè)n2=(x由n2⊥PB，n2⊥令z2=1，則x2=1，所以n1=n2，所以平面EFG【變式4-1】（2023春·高二課時練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1【解題思路】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明線線平行，由面面平行的判定定理證明平面MNP//平面【解題思路】證明:如圖，以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，D1A1,D1建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體的棱長為1，則有A11,0,0，B1,1,1，D(0,0,1)，N12,1,0于是A1B=0,1,1，A1顯然有NM=12A1D，PM由NM//A1D，NM?平面A1BD，A同理PM//平面A1BD，NM,PM所以平面MNP//平面A【變式4-2】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，從?ABCD所在平面外一點(diǎn)O作向量OA'=kOA，O(1)A'，B'，C'(2)平面A'B'【解題思路】（1）利用共面向量定理證明，由A'（2）利用共線向量定理，可得：A'B'//AB，A【解題思路】（1）證明：因?yàn)閺?ABCD所在平面外一點(diǎn)O作向量OA'=kOA，所以AC=所以A====A故A'，B'，C'，（2）證明：A'B'=O∵A'B'?平面A'∴AB//平面A由（1）知A'C'∵A'C'?平面A'∴AC//平面A因?yàn)锳B∩AC=A，所以平面ABCD//平面A【變式4-3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的方向向量以及平面的法向量，計(jì)算其數(shù)量積即可證明；（2）計(jì)算兩個平面的法向量，根據(jù)法向量是否平行，即可證明.【解題思路】證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以FC1=(0，2，1)，DA=(2，0，0)，AE=(0，2（1）設(shè)n1=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥DA，n1即n1→·DA=2x1=0，n1所以n1=(0，-1，2).因?yàn)镕C1·n1=-2+2=0，所以又因?yàn)镕C1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.（2）C1B1=(2，設(shè)n2→=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.由n2→⊥FC得n令z2=2，則y2=-1，所以n2→=(0，-1因?yàn)閚1→=n2→，所以平面ADE∥平面B1【知識點(diǎn)3用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系】1．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.2．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．【題型5利用空間向量證明線線垂直】【例5】（2023春·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E,F分別是D'D【解題思路】設(shè)AB=a,AD=b,AA'【解題思路】設(shè)AB=a,a|EF=B'EF?B'【變式5-1】（2023秋·廣東廣州·高一?？计谥校┤鐖D，AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥AC，AB=AC=AD=1，E，F(xiàn)分別是AB，CD【解題思路】由題意，利用向量法，根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合數(shù)量積證明垂直，可得答案.【解題思路】由題意，連接ED，如下圖：MN=同理EF=故EF?MN由AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥故EF⊥【變式5-2】（2023秋·高二課時練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出E,F【解題思路】證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,

因?yàn)檎襟w棱長為1，E,F分別是所以B1所以F1所以EF=由EF?所以EF⊥即EF⊥【變式5-3】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動.求證：無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.【解題思路】本題建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩直線的方向向量，求數(shù)量積即可判斷.【解題思路】證明：(方法1)以A為原點(diǎn)，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，則A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F(0，∵E在BC上，∴設(shè)E(m，1，0)，∴PE=(m，1，-1)，AF=(0∵PE·AF=0，∴PE∴無論點(diǎn)E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.(方法2)因?yàn)辄c(diǎn)E在邊BC上，可設(shè)BE=λBC，于是PE·AF=(PA+AB+BE)·12(=12(PA·AB+PA·AP+AB·AB+AB·AP+λBC·AB因此PE⊥故無論點(diǎn)E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.【題型6利用空間向量證明線面垂直】【例6】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.【解題思路】建系，利用空間向量證明線面垂直.【解題思路】如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，連接AO，因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以AO⊥BC，因?yàn)樵谡庵鵄BC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AO?平面ABC，則AOBC∩CC1=C，BC所以AO⊥平面BCC1B1，取B1C1的中點(diǎn)O1，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)B,OO1,OA分別為則B1,0,0所以AB則AB可得AB1⊥BA1,AB1⊥BDBA1∩BD＝B，BA1,所以AB1⊥平面A1BD.【變式6-1】（2023春·江蘇宿遷·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段(1)求證：AM⊥(2)求證：AM⊥平面BDF【解題思路】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明CE⊥平面ABCD，然后以點(diǎn)C（2）先求出平面BDF的法向量，然后利用直線AM的方向向量與法向量共線即可證明線面垂直.【解題思路】（1）因?yàn)樗倪呅蜛CEF為矩形，則CE⊥因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，所以CE⊥平面ABCD，又四邊形ABCD以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD、CB、CE所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C-由AB=2，AF=1，得C0,0,0，A2E0,0,1，F(xiàn)2,所以AM=-2所以AM?BD=所以AM（2）由（1）知，AM=-22,-設(shè)n=x,y,z是平面所以n→?BD取y=1，得x=1，z=-因?yàn)锳M=-22,-22,1所以AM⊥平面BDF【變式6-2】（2023春·廣西柳州·高二?？茧A段練習(xí)）已知平行六面體ABCD-A1B1(1)求AC(2)求證：AC1⊥【解題思路】（1）利用轉(zhuǎn)化法將AC1換成AB+（2）利用向量垂直來證明AC1⊥A【解題思路】（1）設(shè)AB=則a?又a2所以A=1+1+1+2×1即AC（2）因?yàn)锳1所以A=1-1+1所以AC1⊥又A1B∩所以AC1⊥【變式6-3】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，(1)求證：EF⊥(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求得向量，由（2）設(shè)G(x,0,z)，求出平面PCB內(nèi)兩個不共線向量CB,CP，由FG【解題思路】（1）因?yàn)镻D⊥底面ABCD，DA?平面ABCD，DC?所以PD⊥DA，PD⊥所以DA⊥以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a,a2,0)，P(0，0∴EF=(-a2∴EF?DC＝∴EF⊥DC，即EF⊥（2）設(shè)G(x,0,z)，則FG若使GF⊥平面PCB，則需FG?CB=0由FG?解得x=由FG?CP=解得z=0因?yàn)镃B,CP為平面PCB內(nèi)兩條相交直線，故GF⊥∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(a2,0,0)，即G【題型7利用空間向量證明面面垂直】【例7】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點(diǎn)．求證：平面DEA⊥平面ECA.【解題思路】建系，分別求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空間向量證明面面垂直.【解題思路】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則C0,0,0所以EA=設(shè)平面ECA的一個法向量是n1則n1取x1=1，則y1設(shè)平面DEA的一個法向量是n2則n2取x2=3，則y因?yàn)閚1?n所以平面DEA⊥平面ECA.【變式7-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，(1)求五面體ABCDEF的體積；(2)若M為EC的中點(diǎn)，求證：平面CDE⊥平面AMD【解題思路】（1）取AD中點(diǎn)N，連接EN，CN，易證得EN⊥平面ABCD，五面體ABCDEF的體積=棱柱ABF-NCE的體積+棱錐E-CDN的體積，分別求出棱柱ABF（2）證法1：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AF為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.由垂直向量的坐標(biāo)運(yùn)算可證得CE⊥AD,CE⊥MD，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可證明；證法2【解題思路】（1）因?yàn)锳D=2，AF=AB=BC=FE因?yàn)锳D//BC//又FA⊥平面ABCD，AN?平面ABCD，F(xiàn)A所以EN⊥平面ABCD，又因?yàn)锳B⊥AD，即AB⊥AB,FA?平面FAB，所以AN所以ABF-高等于1，三棱錐E-CDN是高等于1五面體ABCDEF的體積=棱柱ABF-NCE的體積+棱錐E即：V（2）證法1：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AF為x,y點(diǎn)C1,1,0，D0,2,0，E0,1,1所以AD得到：CE所以CE⊥AD,CE⊥MD，所以CE⊥平面AMD，又CE?平面CDE，所以平面CDE⊥平面證法2：因?yàn)锳C=AE=2，所以△ACE為等腰三角形，M同理在△NCE中，MN⊥CE，（N為AD中點(diǎn)）又AM、MN?AM∩MN=M，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE⊥平面AMD.【變式7-2】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┤鐖D，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．證明：(1)BE∥平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PAD．【解題思路】（1）根據(jù)題意，先證明AB，AD，AP兩兩垂直，從而建立對應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法證明平面PAD的一個法向量AB與BE垂直，進(jìn)而即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1），先證明平面PCD的一個法向量與平面PAD的一個法向量垂直，進(jìn)而即可證明結(jié)論．【解題思路】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，又因?yàn)锳B⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1)，則BE=所以AB=1,0,0為平面又BE?AB=0,1,1?又BE?平面PAD，所以BE∥平面PAD（2）由（1）知平面PAD的法向量AB=1,0,0，PD=設(shè)平面PCD的一個法向量為n=則n?PD=0n?DC=0，即2y-2z又n?所以n⊥AB，所以平面PAD⊥平面【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC(1)求證：AP⊥BC；(2)若點(diǎn)M是線段AP是一點(diǎn)，且AM=3．試證明平面AMC⊥平面BMC【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量AP,BC的坐標(biāo)，計(jì)算（2）求出平面平面AMC和平面BMC的法向量，計(jì)算法向量的數(shù)量積，結(jié)果為0，即可證明結(jié)論.【解題思路】（1）證明：以O(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)O作CB的平行線為x軸，以AD方向?yàn)閥軸正方向，以射線OP的方向?yàn)閆軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則O(0，故AP=(0，3∴AP?∴AP⊥BC，即AP⊥BC（2）證明：因?yàn)镻O⊥平面ABC，AO?平面ABC，所以因?yàn)镻O=4，AO=3，故AP=5，∵M(jìn)為AP∴M(0,-65，125)，∴AM=(0,9BM=(-4,-165,125)，CM=(4,設(shè)平面BMC的法向量為n=(則n?BM=0n令b=1，則n=設(shè)平面AMC的法向量為m=(x,y即95y+125z由于n?得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC．【知識點(diǎn)4用空間向量研究距離、夾角問題】1．距離問題(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．(2)點(diǎn)P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．2．夾角問題(1)兩個平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．(2)空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【題型8利用空間向量研究距離問題】【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=π3(1)求點(diǎn)M到直線PD(2)求直線PD與平面PCD1【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法求出點(diǎn)到直線的距離即可；（2）結(jié)合（1）中點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線PD的方向向量和平面PCD1【解題思路】（1）由題可得AD=2，CD=又點(diǎn)P為AB上靠近A的三等分點(diǎn)，所以AP=1．在△ADPDP故AD所以△ADP為直角三角形，故DP⊥AB因?yàn)榈酌鍭BCD為平行四邊形，所以DP⊥CD．由直四棱柱性質(zhì)可知DD1⊥即DP，CD，DD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DP，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則D(0,0,0),因?yàn)镻D1=-3令PE=λPD1由ME?PD1=-3+3λ+9λ-6=0，解得（2）因?yàn)镈P=3,0,設(shè)平面PCD1的法向量為n=x令x=3，得y=1，z設(shè)直線PD與平面PCD1所成角為則sinθ所以直線PD與平面PCD1所成角的正弦值為【變式8-1】（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期末）如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C

(1)求證：平面A1BD⊥(2)求A1到平面AB【解題思路】（1）先證線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證結(jié)論；（2）建立坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式可求答案.【解題思路】（1）因?yàn)锳BCD-A1B1C1又BD⊥AC，AA1∩BD?平面A1BD，所以平面A（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以B1為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A1,0,1，A11,0,0，B1由n?B1A=x+z=0設(shè)A1到平面AB1E的距離為d，則d=A1【變式8-2】（2023春·高二課時練習(xí)）直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，邊長為2，側(cè)棱A

(1)求證：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN與平面EFBD的距離．【解題思路】（1）法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，通過證明EF（2）法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離h,再由等體積法即可求出答案.法二:求出平面AMN的法向量,AB→=(0，2，0)，平面AMN與平面EFBD的距離等于【解題思路】（1）法一:證明：連接B1D1E、F分別是∴MN//EF//B1D1，∴MN//平面EFBD，∵NF∴ABFN是平行四邊形，∴∵AN?平面EFBD，BF?平面EFBD，∴∵AN∩MN=N，∴法二:如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣則A(2F(1，AM→∴EF→=MN→∵M(jìn)N?平面EFBD，EF?平面EFBD，∴∵AN?平面EFBD，BF?平面EFBD，∴又MN∩AM=M，∴平面（2）法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離h△AMN中，AM=AN=10∴由等體積可得13?19法二:設(shè)平面AMN的一個法向量為n=則n→?MN∵AB∴平面AMN與平面EFBD的距離為d=【變式8-3】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCD-A1BC(1)點(diǎn)A1到直線BD(2)點(diǎn)A1到平面BD(3)異面直線BD,C【解題思路】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求直線BD的方向向量BD和向量A1B的坐標(biāo)，再求A1B在BD上的投影向量的大小，結(jié)合勾股定理求點(diǎn)A1到直線BD的距離；(2)求平面BDC1的法向量n，再求向量A1B在向量n上的投影的大小即可；(3)證明【解題思路】（1）以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳D=AA1=1，AB=2，則B1,2,0，所以BD=-1,-2,0，A1B=0,2,-1，所以A1B在BD上的投影向量的大小為A（2）由(1)BD=-1,-2,0，D設(shè)平面BDC1的法向量n=x,取y=1，可得x=-2，z=-2，所以n=-2,1,-2是平面BDC1的一個法向量，向量A1B=（3）由(1)CD1=0,-2,1，BA1=0,-2,1，所以CD1//BA1，所以CD1//BA1，又CD1?平面A1BD取y1=1，可得x1=-2，z1=2，所以m=-2,1,2是平面A1BD的一個法向量，向量CD=0,-2,0在法向量m【題型9利用空間向量求空間角】【例9】（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，面ABC⊥面AA1C1C，AB⊥AC

(1)求證：四邊形AA(2)若BF=3FC，求直線A1【解題思路】（1）利用線面平行的性質(zhì)推導(dǎo)出AA1//（2）證明出AB⊥平面AA1C1C，然后以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC所在直線分別為x、y軸，平面AA1C1C內(nèi)過點(diǎn)【解題思路】（1）證明：在三棱柱ABC-A1因?yàn)锽B1?平面BB1C1C，因?yàn)锳A1?平面AA1EF，因?yàn)槠矫鍭BC//平面A1B1C1，平面AA所以，A1E//（2）解：因?yàn)锳B⊥AC，平面ABC⊥平面AA1AB?平面ABC，所以，AB⊥平面以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC所在直線分別為x、y軸，平面AA1C1C內(nèi)過點(diǎn)A

因AA1=則B2,0,0，C0,2,0，A1AB=2,0,0，AC1=AF=AC+設(shè)平面AFC1的法向量n=令y=1，得n而A1C1=AC=0,2,0于是得sinθ所以直線A1C1與平面AF【變式9-1】（2023春·陜西西安·高一?？计谀┤鐖D1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AC=12，∠BAC=π3，E，F(xiàn)都在AC上，且AE:EF:FC=3:4:5，BE//FG，將△

(1)求異面直線PF，BG所成角的余弦值；(2)若M為PB的中點(diǎn)，求鈍二面角B-FM【解題思路】（1）（2）依題意可得BE⊥EF，BE【解題思路】（1）由題意可知AE=3，EF=4，CF=5故PE⊥EF，且∴AEAB=ABAC=12，∴又BE//FG，所以FG⊥AC，即故可以EF，EB，EP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系E-

易知BE=ABsin則F4,0,0，B0,33,0，∴PF=4,0,-3，∴cosPF故異面直線PF，BG所成角的余弦值為23（2）由（1）可知M0,∴MF=4,-332設(shè)平面BFM法向量為m=由m?MF=0m?BF=0設(shè)平面EFM法向量為n=由n?MF=0n?EF=0所以cosm所以鈍二面角B-FM-【變式9-2】（2023春·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，PH⊥平面ABCD（垂足H在矩形ABCD內(nèi)），E為棱PC的中點(diǎn)，HE

(1)證明：PB=(2)若AB=2BC=2PC，直線PC與平面ABCD所成角為π4，求平面【解題思路】（1）延長CH交AB于點(diǎn)F，連按PF，BH，由線面平行的性質(zhì)得HE//PF，進(jìn)而確定H為（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面PAD與平面PHC的法向量，利用向量法求面面角的余弦值.【解題思路】（1）延長CH交AB于點(diǎn)F，連接PF，BH，HE//平面PAB，面CPF∩面PAB=PF，HE?又E為棱PC的中點(diǎn)，則H為CF的中點(diǎn)，∴BH是直角三角形BCF斜邊上的中線，∴BH=CH，易知Rt△（2）以H為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∵PH⊥平面ABCD，∴CH是PC在平面ABCD∴∠PCH是直線PC與面ABCD所成角，∴∠∴△PCH設(shè)AB=4，則BC=PC=2，則CH∴P0,0,2，A1,-3,0，D-1,-3,0∴PA=1,-3,-2，PD=-設(shè)平面PAD的法向量為m=由m?PA=x-設(shè)平面PHC的法向量為n=(由n?HP=2c∴cosm,n=22?【變式9-3】（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠

(1)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；(2)求平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值．【解題思路】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求得向量PC=1,1,-1，和平面（2）由平面PAB的一個法向量n1=0,1,0，求得平面PCD【解題思路】（1）解：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB,AD?平面ABCD，所以又因?yàn)椤螧AD=90°，所以因?yàn)镻B與底面所成的角為45°，所以∠PBA=45°以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立的空間直角坐標(biāo)系O-因?yàn)锳D=2，PA=BC=1，可得B1,0,0，D所以PC=1,1,-1，PB=設(shè)平面PBD的一個法向量為m=x,取z=2，則x=2,y所以cosm所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為39（2）解：根據(jù)題意，平面PAB的一個法向量n1設(shè)平面PCD的一個法向量為n2=(a取b=1，則c=2，a則cosn所以平面PAB與平面PCD所成的銳二面角的余弦值為66【題型10利用空間向量研究存在性問題】【例10】（2023·全國·高三對口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD

(1)求二面角D-(2)在線段AB（含端點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)P，使得FP∥平面AED.若存在，求出APAB【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解二面角，（2）由平面法向量與直線方向向量垂直，結(jié)合向量共線，即可由坐標(biāo)運(yùn)算求解.【解題思路】（1）過D作DM⊥AB于M，由于∠DAB=60°，則AM=ADcos∠DAB=12AD,由于AD=DC=

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DB為x軸，y軸，過點(diǎn)D作CF的平行線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=CB=2∴DDB=設(shè)面DBF的法向量n1則n1?DB=0n1?設(shè)面CBF的法向量n2=(則n2?CB=0n2?∵cos<由幾何體的特征可知二面角D-∴二面角D-BF-（2）∵AE⊥BD，BD⊥AD,AE∩AD∴BD⊥面設(shè)AP=DB若FP∥平面AED，則FP⊥BD,所