專題01-抽象問題有形化-破解抽象函數(shù)難題(原卷版)

第頁最新高考數(shù)學壓軸題命題區(qū)間探究與突破專題第一篇函數(shù)與導數(shù)專題01抽象問題有形化，破解抽象函數(shù)難題一．方法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式抽象，對學生思維能力考查的起點較高，使得此類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一，使多數(shù)學生感覺無從下手，望而生畏．事實上，解決此類問題時，只要準確掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，熟知我們所學的基本初等函數(shù)，將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)問題，問題就迎刃而解了．具體的可概括為函數(shù)性質(zhì)法、賦值法和構(gòu)造函數(shù)法.二．解題策略類型一函數(shù)性質(zhì)法【例1】【2020屆重慶一高一?！恳阎x在R上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減，則下面結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【指點迷津】1.先研究清楚函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性等性質(zhì)，這樣函數(shù)就不再抽象了，而是變得相對具體，我們就可以畫出符合性質(zhì)的草圖來解題.2.解決抽象函數(shù)問題常用的結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝對稱?f(a＋x)＝f(b－x)?f(x)＝f(b＋a－x)．特例：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)；函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝0對稱?f(x)＝f(－x)(即為偶函數(shù))．(2)函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特例：函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a,0)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(0,0)對稱?f(x)＋f(－x)＝0(即為奇函數(shù))．(3)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱；y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?函數(shù)y＝f(x)關(guān)于(a,0)對稱．(4)對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：①若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a；②若f(x＋a)＝，則T＝2a；③若f(x＋a)＝－，則T＝2a；(a>0)④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則T＝|a－b|；⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，則T＝2|b－a|.（5）奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．【舉一反三】【2020屆湖北荊門一中一?！渴嵌x在實數(shù)集上的奇函數(shù)，，，若（1），則（1）（2）（3）．類型二賦值法【例2】【2020屆洛陽一高一?！咳艉瘮?shù)滿足對其定義域內(nèi)任意成立.（1）求的值；（2）求的值.【指點迷津】根據(jù)對題目給出的抽象的函數(shù)性質(zhì)的理解，將條件和結(jié)論有機地結(jié)合起來，作適當變形，我們找到一個符合題意的具體函數(shù)或給變量賦值，把抽象函數(shù)問題化為具體的數(shù)學問題，從而問題得解.【舉一反三】【2020屆山西運城一中期末】定義在R上的函數(shù)滿足，且當時，，對任意R，均有．（1）求證：對任意R，恒有；（2）求證：是R上的增函數(shù)；（3）若，求的取值范圍．類型三構(gòu)造函數(shù)法【例3】【2020屆湖南株洲一高一?！恳阎x在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對任意，有，且.設(shè)，則（）A． B． C． D．【指點迷津】導數(shù)、不等式、函數(shù)相結(jié)合的問題,往往考查函數(shù)的單調(diào)性、大小比較、解不等式等,問題的關(guān)鍵點在于利用好已知條件中含有原函數(shù)和它的導函數(shù)的式子,考慮用構(gòu)造函數(shù)法，通過構(gòu)造函數(shù),使抽象函數(shù)問題具體化.如本題從QUOTEfx+f'x<0fx+f'x<0出發(fā)，聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)QUOTE,從而可以用上已知條件來判斷函數(shù)單調(diào)性，進一步達到比較大小的目的.一般：（1）條件含有QUOTE，就構(gòu)造QUOTE,（2）若QUOTE，就構(gòu)造QUOTE，（3）QUOTE，就構(gòu)造QUOTE，（4）QUOTE就構(gòu)造QUOTE，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).【舉一反三】【2020屆福建泉州一中期末】已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且，為函數(shù)的導函數(shù)，當時，有，則不等式的解集為（）A． B．C． D．三．強化訓練1．【2020屆安徽廬山陽一中期末】已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，滿足，則（1）（2）（3）A． B．0 C．2 D．202.【2020屆重慶廣益中學校月考】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若對任意，都有恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是A． B． C． D．3.【2020屆廣東惠州中學模擬】已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，，則在區(qū)間上函數(shù)的圖象與軸的交點的個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．94．【2020屆浙江高三專練】已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A． B．C． D．5.【2020屆河北高三月考】定義在上的偶函數(shù)滿足，對且，都有，則有（）A．B．C．D．6.【2020屆江西撫州二中期末】已知對任意實數(shù)都有，，若不等式（其中）的解集中恰有兩個整數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7.【2020江西南臨川二中一模】已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若（1），則（1）（2）（3）A．50 B．2 C．0 D．8.【2020屆甘肅甘南一中期末】定義在實數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)滿足，則．9．【2020屆江蘇鹽城一中期末】）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且，則的解集為________.10.【山西大學附屬中學