專(zhuān)題四-平面向量與不等式【解析】

1/26真題四平面向量與不等式一、單選題1．（2019·全國(guó)高考真題（文））已知向量，則（）A． B．2C．5 D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故選A2．（2021·四川高三一模（文））已知向量，，若向量與向量共線(xiàn)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由向量坐標(biāo)運(yùn)算得到，根據(jù)向量共線(xiàn)可構(gòu)造方程求得，由模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】，又向量與向量共線(xiàn)，，解得：，.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若與共線(xiàn)，則.3．（2020·海南高考真題）在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則算出即可.【詳解】故選：C4.（2021·湖北華中師大一附中高三月考）已知均為單位向量，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由兩邊平方得，又因?yàn)榭傻?，再?jì)算即可得結(jié)果．【詳解】由得因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，則，所以，又，所以故選：C．5．（2021·江蘇鹽城市·高三二模）已知是相互垂直的單位向量，與共面的向量滿(mǎn)足則的模為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)是相互垂直的單位向量，利用坐標(biāo)法以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立方程進(jìn)行求解即可.【詳解】是相互垂直的單位向量，不妨設(shè)，，設(shè)，由可得，即，則的模為.故選：D6．（2020·浙江高考真題）若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定目標(biāo)函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小值從而確定目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線(xiàn)系在y軸上的截距最大，z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線(xiàn)系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，聯(lián)立直線(xiàn)方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：且目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有最大值.故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是.故選：B.7．（2020·全國(guó)高考真題（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】由已知可得：.A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；C：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)不符合題意；D：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)符合題意.故選：D.8．（2020·全國(guó)高考真題（理））已知向量，滿(mǎn)足，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】計(jì)算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出的值.【詳解】，，，.，因此，.故選：D.9．（2020·海南高考真題）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.10．（2019·北京高考真題（理））若x，y滿(mǎn)足，且y≥?1，則3x+y的最大值為（）A．?7 B．1 C．5 D．7【答案】C【解析】由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值5.故選C.11．（2021·湖南衡陽(yáng)市·高三一模）設(shè)，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得且，然后結(jié)合基本不等式與中間值1比較，用不等式的性質(zhì)比較大小可得．【詳解】易知：,，，，顯然成立.所以．故選：C．12．（2021·福建漳州市·龍海二中高三月考）已知是平面向量，滿(mǎn)足，且，記與的夾角為，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先給兩邊平方然后展開(kāi)，代入，得到，然后利用，然后當(dāng)時(shí)，求解的最小值.【詳解】由得，，所以.則令函數(shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減.又因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量間夾角余弦值的取值范圍的計(jì)算問(wèn)題，解答的一般思路為：當(dāng)已知，和(其中為常數(shù))時(shí)，一般采用平方法，得到然后展開(kāi)，得到的值.13．（2021·浙江紹興市·高三一模）已知a，b，，若關(guān)于x不等式的解集為，則（）A．不存在有序數(shù)組，使得B．存在唯一有序數(shù)組，使得C．有且只有兩組有序數(shù)組，使得D．存在無(wú)窮多組有序數(shù)組，使得【答案】D【解析】根據(jù)，不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解的問(wèn)題，利用兩個(gè)一元二次不等式解集有交集的結(jié)論，得出兩個(gè)不等式解集的形式，從而再結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系確定結(jié)論．【詳解】由題意不等式的解集為，即的解集是，則不等式的解是或，不等式的解集是，設(shè)，，，所以，，和是方程的兩根，則，，又，所以是的一根，所以存在無(wú)數(shù)對(duì)，使得．故選：D．14．（2020·浙江高考真題）已知a，bR且ab≠0，對(duì)于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0 C．b<0 D．b>0【答案】C【解析】對(duì)分與兩種情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋郧?，設(shè)，則的零點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，則，，要使，必有，且，即，且，所以；當(dāng)時(shí)，則，，要使，必有.綜上一定有.故選：C15．（2021·浙江紹興市·高三一模）已知，則的最小值是（）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】將，變形為，令，根據(jù)確定，得到，然后由，，進(jìn)一步確定，然后由，利用三角函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)椋?，令，則，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，解得，所以，則，所以，所以的最小值是3，故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將，變形為，利用三角換元，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解.二、多選題16．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知且，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由且，可以得到，，然后結(jié)合不等式的性質(zhì)容易對(duì)A，B，C選項(xiàng)進(jìn)行判斷，然后利用基本不等式可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】A：因?yàn)榍?，所以，即，，不一定等?，故A項(xiàng)不一定成立；B：因?yàn)?，所以，所以B項(xiàng)一定成立；C：因?yàn)?，所以，C項(xiàng)一定成立；D：，D項(xiàng)一定成立.17．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知均為正實(shí)數(shù)，且，則（）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，直接根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果；對(duì)于選項(xiàng)B，化為積為定值的形式后，根據(jù)基本不等式求出最小值可得答案；對(duì)于選項(xiàng)C，變形后利用二次函數(shù)求出最小值可得答案；對(duì)于選項(xiàng)D，變形后利用基本不等式求出最小值可得答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，令，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“”，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“”，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用基本不等式求解最值問(wèn)題常采用常數(shù)代換法，其解題步驟為：（1）根據(jù)已知條件或其變形確定定值（常數(shù)）；（2）把定值（常數(shù)）變形為1；（3）把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；（4）利用基本不等式求解最值．18．（2020·海南高考真題）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD三、填空題19．（2021·安徽合肥市·高三二模（文））已知向量，，且，則___________.【答案】【解析】由垂直的坐標(biāo)表示求得，再由模的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【詳解】由得，，則，所以．故答案為：．20．（2021·湖南岳陽(yáng)市·高三一模）已知點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是____________．【答案】【解析】直接利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：由題設(shè)可得：，即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故答案為：．21．（2020·山東高一其他模擬）已知，為實(shí)數(shù)，則______．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）【答案】≥【解析】利用作差法，配方即可比較大小.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號(hào)．故答案為：≥22．（2020·全國(guó)高考真題（文））若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最大值是__________．【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線(xiàn)，在平面區(qū)域內(nèi)找到一點(diǎn)使得直線(xiàn)在縱軸上的截距最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示：平移直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在縱軸上的截距最大，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，解得：，因此的最大值為：.故答案為：.23．（2020·江西吉安市·高三其他模擬（理））若，則的最大值是___________.【答案】【解析】根據(jù)約束條件作出可行域以及直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)在軸上的截距最小，有最大值，得出答案.【詳解】根據(jù)約束條件作出可行域如圖所示，

由解得將目標(biāo)函數(shù)化為，表示直線(xiàn)在軸上的截距的相反數(shù)的故當(dāng)直線(xiàn)在軸上的截距最小時(shí)，有最大值.當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2,1）時(shí)在軸上的截距最小，最大，由A(2,1)知的最小值為故答案為：24．（2021·浙江高三其他模擬）已知向量，滿(mǎn)足，．若，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，，利用已知作出以為直徑作直角三角形的外接圓，令，連接．設(shè)，由已知點(diǎn)在直線(xiàn)上，【詳解】令，，則，故，又，所以．以為直徑作直角三角形的外接圓，進(jìn)而得出當(dāng)時(shí)，即取得最大值．令，連接．設(shè)，因?yàn)椋渣c(diǎn)在直線(xiàn)上，又，所以，即，所以．結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，即取得最大值，且．故答案為：25．（2020·全國(guó)高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【答案】【解析】首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)k的值.【詳解】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．26．（2020·全國(guó)高考真題（理））設(shè)為單位向量，且，則______________.【答案】【解析】整理已知可得：，再利用為單位向量即可求得，對(duì)變形可得：，問(wèn)題得解.【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所以所以解得：所以故答案為?7．（2021·江西高三其他模擬（理））平面向量??，滿(mǎn)足，，，則對(duì)任意，的最大值為_(kāi)__________.【答案】【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的軌跡方程為，然后化簡(jiǎn)所求式子，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的點(diǎn)之間的最大值問(wèn)題，簡(jiǎn)單判斷即可.【詳解】由，，可設(shè)由，把坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)可得：所以點(diǎn)點(diǎn)的軌跡方程為又，所以求的最大值即兩個(gè)圓、上動(dòng)點(diǎn)最大值，如圖所示;當(dāng)過(guò)兩圓的圓心時(shí)，有最大即故答案為：28．（2021·浙江高三其他模擬）已知向量，，滿(mǎn)足，與的夾角為，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】根據(jù)題意設(shè)，，，則，，，，由條件可得，后能結(jié)合正弦定理得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后數(shù)形結(jié)合得到的最大值，即的最大值.【詳解】因?yàn)椋?，．設(shè)，，，則，，，．因?yàn)榕c的夾角為，所以，的外接圓的直徑為：則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是半徑為的圓中的優(yōu)?。ú缓c(diǎn)，），由，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心、半徑為的圓，如圖，結(jié)合圖形可知，當(dāng)點(diǎn)，，，四點(diǎn)共線(xiàn)，且在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，最大，且最大值是，故的最大值為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的運(yùn)算和模長(zhǎng)的最值問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是在中，根據(jù)題意得到，后能結(jié)合正弦定理得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，利用得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后數(shù)形結(jié)合得到的最大值，即的最大值．屬于中檔題.29．（2021·北京朝陽(yáng)區(qū)·高三一模）李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營(yíng)一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對(duì)商品進(jìn)行廣告促銷(xiāo)，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬(wàn)件）與廣告費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷(xiāo)活動(dòng)獲利最多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投入_______萬(wàn)元．【答案】【解析】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最小值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.30．（2020·全國(guó)高三其他模擬）已知正實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足，其中，，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】12【解析】解法一根據(jù)可知，得到，然后變形所求的式子并結(jié)合基本不等式可知結(jié)果.解法二對(duì)取對(duì)數(shù)可知，，然后代入所求式子并結(jié)合基本不等式可知結(jié)果.【詳解】解法一由得，，所以，所以，即，所以.因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故，所以的最小值為12.解法二對(duì)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為12.故答案為：12【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)定睛：解法一關(guān)鍵在于得到，解法二結(jié)合對(duì)數(shù)，同時(shí)兩種解法都使用基本不等式.31．（2020·江西吉安市·高三其他模擬（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，，則的最大值是______．【答案】【解析】由等差數(shù)列得通項(xiàng)公式可的設(shè)，，則不等式組等價(jià)為，，利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求最值即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題設(shè)知，，設(shè)，，則不等式組等價(jià)為，對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)槿鐖D所示的三角形及其內(nèi)部，由，由可得，作沿著可行域的方向平移，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值．由解得，所以，故答案為：32．（2020·浙江高考真題）設(shè)，為單位向量，滿(mǎn)足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_(kāi)______．【答案】【解析】利用復(fù)數(shù)模的平方等于復(fù)數(shù)的平方化簡(jiǎn)條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】，，，.故答案為：.四、雙空題33．（2020·天津高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________，若是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)________．【答案】