基于序列商映射的可分度量空間

基于序列商映射的可分度量空間

1空間x的局部有限平衡劉川在2005年討論了0-弱基空間及其與測量空間之間的關(guān)系，并對0-弱第一相空間進(jìn)行了描述。這個空間是對g-第一可數(shù)空間的推廣。作者在文獻(xiàn)中研究了0-sn-網(wǎng),并證明了空間X具有點可數(shù)0-sn-網(wǎng)當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的可數(shù)到一、序列商映像。本文所述空間均為正則T1的,所有映射都是連續(xù)到上的。本文中沒有提及的概念和術(shù)語請見文獻(xiàn)。定義1設(shè)f:X→Y是一個映射。f稱為序列商映射,若對Y中的收斂序列{yn},則存在X中收斂于序列{xn},使得xn∈f-1(ynk)。定義2空間X的子集族B稱為X的一個0-弱基,如果B=∪{Bx(n):x∈X,n∈N}滿足:(1)對x∈X,n∈N,Bx(n)對有限交封閉并且x∈∩Bx(n);(2)U是空間X的開集當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x∈X,n∈N,存在Bx(n)∈Bx(n)使得Bx(n)?U。定義3P是空間X的集族,P稱為X的k-網(wǎng),如果對X的緊集K?U∈τ,則存在有限集P′?P,使得K?∪P′?U。定義4空間X的子集族B稱為X的一個0-sn-網(wǎng),如果B=∪{Bx(n):x∈X,n∈N}滿足:(1)對x∈X,n∈N,Bx(n)對有限交封閉并且x∈∩Bx(n);(2)L是空間X的收斂于x?L的序列,則存在L的子序列L′及n0∈N對任意的Bx(n0)∈Bx(n0)使得L′終留于Bx(n0)。類似Sirois-Dumais定義,我們定義X稱為0-sn-弱第一可數(shù)空間,若空間X有一個0-sn-網(wǎng)B=∪{Bx(n):x∈X,n∈N},對任意的x∈X,n∈N,Bx(n)是可數(shù)的?？臻gX稱為0-sn-度量空間,若空間X有σ-局部有限0-sn-網(wǎng)。若對n∈N有Bx(n)=Bx(1),由sn-網(wǎng)的定義可以知道B就是sn-網(wǎng)。2x有-閉包保持0-sn-網(wǎng)的實驗設(shè)計過程文獻(xiàn)中討論了0-sn-網(wǎng)的遺傳性質(zhì),并且證明了空間X有點可數(shù)0-弱基當(dāng)且僅當(dāng)空間X具有點可數(shù)0-sn-網(wǎng)的序列空間,從而建立了0-sn-網(wǎng)與0-弱基的聯(lián)系,并給出例子證明0-sn-網(wǎng)不是0-弱基。文獻(xiàn)證明了空間X具有點可數(shù)0-sn-網(wǎng)當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的可數(shù)到一、序列商映像。本文研究了0-sn-網(wǎng)與可分度量空間的關(guān)系,并正面回答了文獻(xiàn)中提出的問題。引理1設(shè)X有點可數(shù)0-弱基B=∪{Bx(n):x∈X,n∈N},L是空間X的收斂于x?L的序列,則存在L的子序列L′及n0∈N使得對任意的m∈N有L′終留于Bx(n0,m)。引理2令P是空間X的σ-遺傳閉包保持子集族,若P是cs*-網(wǎng),則P是空間X的k-網(wǎng)。定理1在拓?fù)淇臻gX中下述條件等價:(1)X是可分度量空間的可數(shù)到一、序列商映像;(2)X是0-sn-弱第一可數(shù)空間且是可分度量空間的序列商映像;(3)X有可數(shù)0-sn-網(wǎng);(4)X是0-sn-弱第一可數(shù)的0-空間。證明(1)→(2)由文獻(xiàn)中定理2.4得,X有點可數(shù)0-sn-網(wǎng),因此X是0-sn-弱第一可數(shù)空間。因為X是可分度量空間的可數(shù)到一、序列商映像,從而X是可分度量空間的序列商映像。(2)→(4)X是0-sn-弱第一可數(shù)空間且0-sn-網(wǎng)是cs*-網(wǎng),由引理2可知X是0-空間。由文獻(xiàn)中定理2.3容易得到(2)→(4)。下面將證明(4)→(3)→(1)。因為X是0-空間,由文獻(xiàn)定理4,我們可以假設(shè)X有對有限交封閉的可數(shù)cs-網(wǎng),取∪{Bx(n):x∈X,n∈N}是空間X的0-sn-網(wǎng),對m∈N及Bx(n)={Bx(n,m):m∈N}有Bx(n,m+1)?Bx(n,m),對m∈N,取Px(n)={P∈P:存在m∈N,Bx(n,m)?P},則Px(n)對有限交封閉。在空間X中Px(n)是點x的網(wǎng),否則在X中存在點x的鄰域U使得對P∈Px(n)有P?U。取{P∈P:x∈P?U}={Pk:k∈N},則對任意的m,k∈N,Bx(n,m)?U。對m≥k,選擇xmk∈Bx(n,m)\Pk,當(dāng)i=k+m(m-1)/2時,取yi=xmk。因為{Bx(n,m):m∈N}是點x的遞減的網(wǎng),所以序列{yi}在X中收斂于x。又因為P是空間X的cs-網(wǎng),所以存在k,j∈N使得{yi:i≥k}?Pk。選取i≥j,存在m≥k使得yi=xmk,則xmk∈Pk,矛盾。取B=∪{Px(n):x∈X,n∈N},則B可數(shù)。下面將證明B是空間X的0-sn-網(wǎng)。設(shè)L是空間X的收斂于x?L的序列,則存在L的子序列L′及n0∈N對任意的m∈N使得L′終留于Bx(n0,m)。但是存在m∈N使得Bx(n0,m)?Px(n0),對任意的Px(n0)∈Px(n0)有L′終留于Px(n0)。因此B是空間X的0-sn-網(wǎng)。(3)→(1)的證明過程可類比于文獻(xiàn)中定理2.4。文獻(xiàn)中作者提出了下面的問題:具有σ-遺傳閉包保持0-sn-網(wǎng)的空間是否是0-sn-弱第一可數(shù)的-空間?下面我們就這個問題給出肯定的回答。定理2在序列空間X中下述條件等價:(1)X有σ-離散的0-sn-網(wǎng);(2)X有σ-局部有限的0-sn-網(wǎng);(3)X有σ-遺傳閉包保持的0-sn-網(wǎng);(4)X是0-sn-弱第一可數(shù)的-空間;(5)X有由閉子集構(gòu)成的σ-緊有限的0-sn-網(wǎng)。證明(1)→(2)→(3)及(2)→(5)是顯然的。下面證明(5)→(2),在序列空間中由閉子集構(gòu)成的σ-緊有限族是局部有限族,所以X有由閉子集構(gòu)成的σ-緊有限的0-sn-網(wǎng)有σ-局部有限的0-sn-網(wǎng)。下面證明(3)→(4)。因為B是0-sn-網(wǎng),則B是cs*-網(wǎng)。由引理2,易得空間X有σ-遺傳閉包保持的k-網(wǎng),又因為X是正則空間,所以X是-空間。下面只需證明X是0-sn-弱第一可數(shù)的。取是σ-遺傳閉包保持的0-sn-網(wǎng),由X是正則性,可以假設(shè)B中的每一個元素都是閉的。固定n∈N,選取非孤立點x∈X,我們將證明Bx(n)是可數(shù)的。因為對m∈N,Bm∩Bx(n)是遺傳閉包保持族,從而只需證明存在非平凡的序列L收斂于x及對B∈Bx(n),L都終留于B。因為空間中的每一點都是Gδ-集,所以存在X中的開集序列{Ui}使得{x}=∩i∈N{Ui}且i+1?Ui。對m∈N及B∈Bm∩Bx(n)選取x(B,m)∈Um∩B-{x}。令M={x}∪{x(B,m):m∈N,B∈Bm∩Bx(n)},則M是空間X的閉子集且x是M中惟一一個非孤立點。不難證明M有σ-遺傳閉包保持0-sn-網(wǎng){B∩M:B∈B}。我們按以下的方式賦予M新的拓?fù)?M中除了x以外的每一個點都是開的,{B∩M:B∈Bx(n)}是x鄰域,記這個空間為M′。M′是正則空間且M′上的拓?fù)湟萂上的拓?fù)浼?xì),所以{B∩M:B∈Bx(n)}在M′時σ-遺傳閉包保持,因此M′有σ-遺傳閉包保持基,從而M′是可度量的,存在M′中的非平凡序列L收斂于x。因為{B∩M:B∈Bx(n)}是x在M′中的局部基,L終留于{B∩M:B∈Bx(n)}中的每一個元,因此L終留于B∈Bx(n),所以X是0-sn-弱第一可數(shù)的。下面證明(4)→(1)。X是-空間,由文獻(xiàn)中定理4,可以設(shè)X有σ-離散cs-網(wǎng)P,且P對有限交封閉。令∪{Bx(n):x∈X,n∈N}是空間X的0-sn-網(wǎng)。則對x∈X,n∈N,因為X是0-sn-弱第一可數(shù),Bx(n)可數(shù),這里每一個Bx(n)={Bx(n,m):m∈N}且對m∈N,Bx(n,m+1)?Bx(n,m)。n∈N,令Px(n)={P∈P:存在m∈N,Bx(n,m)?P},則Px(n)對有限交封閉,∪{Px(n):x∈X,n∈N}是σ-離散族。要證明Px(n)是x在X中的網(wǎng),僅需要證明存在m∈N,k∈N及固定x在X中的一個鄰域U使得Bx(n,m)?Pk,從而Pk∈Px(n)及Pk?U。如果上述不正確,則存在x在X中的一個鄰域U,對每一個P∈Px(n),P?U。對任意的m,k∈N記{P∈P:x∈P?U}={Pk:k∈N}使得B(n,m)?Pk。對m≥k選取xmk∈B(n,m)\Pk。當(dāng)i=k+m(m-1)/2,令yi=xmk。因為{Bx(n,m):m∈N}是x在X中的離散網(wǎng),所以序列{yi}在X中收斂于x。因為P是X的cs-網(wǎng),所以存在k,j∈N使得{yi:i≥j}?Pk。選擇i≥j使得存在m≥k有yi=xmk,則xmk∈Pk,矛盾。令B=∪{Px(n):x∈X,n∈N},將證明B是0-sn-網(wǎng)。