用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系原卷版

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1.空間中點(diǎn)的位置向量如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．2.空間中直線的向量表示式直線l的方向向量為a，且過點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta，①把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，②①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．3.空間中平面的向量表示式平面ABC的向量表示式：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們稱為空間平面ABC的向量表示式．考點(diǎn)二：空間中平面的法向量平面的法向量如圖，若直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱a為平面α的法向量；過點(diǎn)A且以a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．考點(diǎn)三：空間中直線、平面的平行1.線線平行的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2.線面平行的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.面面平行的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.考點(diǎn)四：空間中直線、平面的垂直1.線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2.線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識(shí)點(diǎn)三面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.【題型歸納】題型一：平面的法向量的求法1．（2023春·江西贛州·高二?？迹┮讶琰c(diǎn)，，者在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．2．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，則平面的一個(gè)法向量（

）A． B． C． D．中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量為（

）A． B． C． D．題型二：空間中直線、平面的平行4．（2023秋·高二單元測試）已知直線平面，且的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或 B． C．3 D．或35．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．16．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別為棱的中點(diǎn)，若平面，則（

）A． B． C． D．題型三：空間中直線、平面的垂直7．（2023秋·高二單元）已知直線的方向向量，平面的法向量，若，則（）A． B． C． D．8．（2023秋·全國·高二）已知，，，若，且平面，則（

）A． B． C． D．9．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，為面對角線上的一點(diǎn)，且,若平面，則（

）A． B． C． D．題型四：空間向量研究直線、平面的位置綜合問題10．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，⊥底面，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，，.求證：(1)平面；(2)平面⊥平面.11．（2023秋·高二單元測試）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：(1)；(2)平面.12．（2023秋·高二單元測試）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，且，二面角是直二面角．(1)求證：平面；(2)求證：平面.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，且，則的值是（

）A．－3 B．－4C．3 D．414．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，，則該平面的一個(gè)法向量為（

）A． B．C． D．15．（2023秋·吉林通化·高二校考階段練習(xí)）已知空間中三點(diǎn)，，，則（

）A．與是共線向量 B．的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是16．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，求證：平面．17．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，P，Q分別為線段AB，CD的中點(diǎn)，平面ABCD.(1)求證：∥平面CEP；(2)求證：平面平面DEP.【高分突破】一、單選題18．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱C1D1上，且，若∥平面，則（

）A． B． C． D．19．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面，底面是矩形，分別為的中點(diǎn)，，，若平面，則（

）A． B． C． D．20．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正三棱錐DABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．21．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在正方體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，為下底面的中心，則下列結(jié)論中正確的是（

）①平面平面

②

③

④平面A．①② B．①②④ C．②③④ D．①④22．（2023春·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，并且四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，下列結(jié)論：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．423．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在長方體中，，，，，分別是棱，，上的點(diǎn)，且，，，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面平行，則的最小值為（

）A． B．17 C． D．二、多選題24．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)兩向量，且，若為平面的一個(gè)法向量，則（

）A． B． C． D．25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知平面內(nèi)兩向量，且，若為平面的一個(gè)法向量，則（）A． B．C． D．26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把和折成互相垂直的兩個(gè)平面后，得出如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A． B．C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直27．（2023春·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的面內(nèi)（含邊界）移動(dòng)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．為定值C．的最小值為D．當(dāng)直線平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡被以為球心，為半徑的球截得長度為1三、填空題28．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是．29．（2023秋·高二單元測試）在空間直角坐標(biāo)系中，已知，若平面的一個(gè)法向量為，則直線的一個(gè)方向向量為．30．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側(cè)棱與底面ABC所成的角為60°，側(cè)面底面ABC，點(diǎn)P在線段上，且平面平面，則．31．（2023春·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在棱上，且，動(dòng)點(diǎn)滿足為棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)到平面距離的最小值為.四、解答題32．（2023春·福建漳州·高二統(tǒng)考期末）如圖所示的幾何體中，平面平面為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)滿足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.33．（2023秋·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，已知空間幾何體的底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD與底面成角．(1)若，