章節(jié)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

10/10/1山東大學(xué)數(shù)學(xué)院第1頁第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1.2復(fù)平面上曲線和區(qū)域1.3復(fù)變函數(shù)1.4復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)性第2頁§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算一、復(fù)數(shù)概念1、產(chǎn)生背景數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中稱為虛單位，2、定義：形如為任意實(shí)數(shù),且記分別稱為實(shí)部與虛部。第3頁二、復(fù)數(shù)表示法1、(復(fù)平面上)點(diǎn)表示------用坐標(biāo)平面上點(diǎn)rθ此時(shí)坐標(biāo)面（稱為復(fù)平面）與直角坐標(biāo)平面區(qū)分與聯(lián)絡(luò)。第4頁2、(復(fù)平面上)向量表示-----（1）?！L度，記為，則（2）輻角()——與軸正向夾角(周期性)第5頁輻角主值:注其中主值確定方法見教材P3（1.1.6）式或借助復(fù)數(shù)向量表示.第6頁3、三角（或極坐標(biāo)）表示---由得歐拉公式5、代數(shù)表示------第7頁復(fù)數(shù)各種表示可相互轉(zhuǎn)換在不一樣運(yùn)算中可選擇不一樣表示式進(jìn)行運(yùn)算。NSPyzZx6*、復(fù)球面表示------

將擴(kuò)充復(fù)平面中全部復(fù)數(shù)唯一表示為一個(gè)點(diǎn)，則全部復(fù)數(shù)與復(fù)球面上點(diǎn)建立一一對應(yīng)關(guān)系。第8頁三、復(fù)數(shù)運(yùn)算1、相等——兩個(gè)復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)實(shí)部與虛部分別相等時(shí)才相等。2、和、差、積、商（分母不為0）——代數(shù)式、三角式、指數(shù)式3、共軛復(fù)數(shù)及運(yùn)算性質(zhì)zzyxo第9頁四、復(fù)數(shù)n次方根n個(gè)值恰為以原點(diǎn)為中心，內(nèi)接正邊形頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為半徑圓周稱為主值。第10頁答疑解惑

答：不能，實(shí)數(shù)能比較大小，是因?yàn)閷?shí)數(shù)是有序；而復(fù)數(shù)是無序，所以不能比較大小。假設(shè)復(fù)數(shù)有大小，其大小關(guān)系應(yīng)與實(shí)數(shù)中大小關(guān)系保持一致，（因?yàn)閷?shí)數(shù)是復(fù)數(shù)特例），不妨取0和i加以討論：1、復(fù)數(shù)能否比較大小，為何？注：復(fù)數(shù)模、實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，輻角也是實(shí)數(shù)，可比較大小。第11頁2、復(fù)數(shù)能夠用向量表示，則復(fù)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算是否相同？答：有相同之處，但也有不一樣之處。

加減和數(shù)乘運(yùn)算相同，乘積運(yùn)算不一樣，向量運(yùn)算有數(shù)量積、向量積和混合積，復(fù)數(shù)則沒有；復(fù)數(shù)運(yùn)算有乘除及乘冪、方根，但向量沒有；乘積運(yùn)算幾何意義不一樣。第12頁經(jīng)典例題例1、判斷以下命題是否正確？（1）（2）（3）（

×

）（

∨

）（

×）第13頁例2、求以下復(fù)數(shù)模與輻角（1）（2）（3）（4）第14頁解（1）（2）第15頁（3）(4)第16頁例3、求滿足以下條件復(fù)數(shù)z：（1）（3）（2）且第17頁第18頁第19頁例4求方程根。并將分解因式。解∵，則其余三個(gè)根即為所求得由第20頁第21頁§1.2復(fù)平面上曲線和區(qū)域一、復(fù)平面上曲線方程平面曲線有直角坐標(biāo)方程和參數(shù)方程兩種形式。第22頁由代入知曲線C方程可改寫成復(fù)數(shù)形式若令，而，則曲線C參數(shù)方程等價(jià)于復(fù)數(shù)形式。第23頁二、簡單曲線與光滑曲線第24頁三、區(qū)域

1、去心鄰域3、區(qū)域及分類2、內(nèi)點(diǎn)與開集區(qū)域——連通開集。第25頁屬于D內(nèi)任一條簡單閉曲線，在D內(nèi)能夠經(jīng)過連續(xù)變形而收縮成一點(diǎn)。注：①閉區(qū)域，它不是區(qū)域。②任意一條簡單閉曲線C把復(fù)平面分為三個(gè)不相交點(diǎn)集：有界區(qū)域稱為C內(nèi)部；無界區(qū)域，稱為C外部；C，稱為內(nèi)部與外部邊界。（經(jīng)典例題見教材例1.2.1

，例1.2.2）第26頁§1.3復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變函數(shù)概念1、定義——對于集合G中給定

，總有一個(gè)（或幾個(gè)）確定復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，并稱G為定義集合，而稱為函數(shù)值集合(值域).分類——第27頁2、復(fù)變函數(shù)與實(shí)函數(shù)關(guān)系討論一個(gè)復(fù)變函數(shù)研究兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)

3、復(fù)變函數(shù)單值性討論第28頁教材P12（例1.3.2)是否為單值函數(shù)

令則均為單值實(shí)二元函數(shù)是單值函數(shù)。故第29頁教材(例1.3.3）是單值函數(shù)嗎？，均為多值實(shí)二元函數(shù)方法二、見教材第30頁二、映射復(fù)變函數(shù)幾何圖形表示第31頁

函數(shù)在幾何上能夠看著是把z平面上一個(gè)點(diǎn)集G（定義域）變到w平面上一個(gè)點(diǎn)集G*（值域）一個(gè)映射（或映照）。與G中點(diǎn)為一一對應(yīng)映射為雙射第32頁典型例題例1、求z平面上以下圖形在映射下象。第33頁解(1)乘法模與輻角定理Howcomplextheexpressionare!第34頁uv4i圖a虛軸上從點(diǎn)0到4i一段（見圖a）。(1)記，則即w平面內(nèi)4圖b（3）見教材例1.3.4（3）第35頁映為（4）將直線建立所滿足象曲線方程，消，是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開口向左拋物線（見圖c1)vu圖c12其是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)，開口向右拋物線（見圖c2）。將線映為，消x得第36頁例2、求以下曲線在映射下象解法一（1）消x,y建立u,v所滿足象曲線方程或由兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)反解解得x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲線方程即得象曲線方程第37頁（2）代入原象曲線方程，得w平面內(nèi)一條直線。第38頁解法二代入原象方程得化為實(shí)方程形式（2）留作練習(xí)。第39頁第40頁第41頁§1.4復(fù)變函數(shù)極限和連續(xù)性第42頁第43頁第44頁第45頁本章難點(diǎn)與重點(diǎn)第46