三年級火箭發(fā)射衛(wèi)星數(shù)學模型省名師優(yōu)質(zhì)課獲獎課件市賽課一等獎課件

數(shù)學建模MathematicalModelling第1頁第六講運載火箭發(fā)射衛(wèi)星數(shù)學模型

火箭是一個復雜系統(tǒng)，為了使問題簡單明了，我們只從動力系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)上分析，而且總假設火箭推進力是足夠強大。

一、為何不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星二、理想火箭模型三、多級火箭系統(tǒng)第2頁1)模型假設1.1衛(wèi)星軌道是以地球中心為圓心某個平面上圓周，衛(wèi)星在此軌道上以地球引力作為向心力繞地球作平面勻速圓周運動；1.2地球是固定于空間中一個均勻球體，其質(zhì)量集中于球心；1.3其它星球?qū)πl(wèi)星引力忽略不計。1.衛(wèi)星能進入600km高空軌道,火箭必須最低速度.

一、為何不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星第3頁設地球半徑為R，中心為O，質(zhì)量為M，曲線C表示地球表面，C′表示衛(wèi)星軌道，C′半徑為r，衛(wèi)星質(zhì)量為m。rC′OCR1.衛(wèi)星能進入600km高空軌道,火箭必須最低速度.

一、為何不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星第4頁

假如把衛(wèi)星放在地球表面，則由（1）式，得2）建模與求解依據(jù)假設1.2、1.3，衛(wèi)星只受地球引力，由牛頓萬有引力定律可知其引力大小為(1)第5頁第6頁2.火箭推進力及升空速度火箭簡單模型是由一臺發(fā)動機和一個燃料倉組成。燃料燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭末端噴出，給火箭一個向前推力?；鸺w行要受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等影響，使火箭升空后作曲線運動。

1.衛(wèi)星能進入600km高空軌道,火箭必須最低速度.

一、為何不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星第7頁1）模型假設為使問題簡化，假設：2.1火箭在噴氣推進下作直線運動，火箭所受重力和空氣阻力忽略不計；2.2在t時刻火箭質(zhì)量為m(t)，速度為v(t)，且均為時間t連續(xù)可微函數(shù)；2.3從火箭末端噴出氣體相對火箭本身速度u為常數(shù),即氣體相對于地球速度為v(t)-uuv第8頁2）建模與分析因為火箭在運動過程中不停噴出氣體，使其質(zhì)量不停降低，在[t,t+△t]內(nèi)降低許可由微分公式表示為即第9頁第10頁

因為噴出氣體相對地球速度為v(t)-u，則由動量守恒定律有第11頁（1）第12頁表明火箭所受推力等于燃料消耗速度與噴氣速度(相對火箭)乘積。表明，在一定條件下，火箭升空速度由噴氣速度(相對火箭)及質(zhì)量比決定。這為提升火箭速度找到了正確路徑：盡可能提升火箭燃燒室產(chǎn)生氣體噴出速度，這需要從燃料上想方法；盡可能降低在時刻火箭質(zhì)量，這要從結(jié)構(gòu)上想方法。第13頁

3.一級火箭末速度上限火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)質(zhì)量可分為三部分：凈載質(zhì)量(有效負載，如衛(wèi)星)mp,，

燃料質(zhì)量mF

，結(jié)構(gòu)質(zhì)量(如外殼、燃料容器及推進器)

mS。一級火箭末速度上限主要是受當前技術條件限制。1)

模型假設3.1普通來說，結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+mF中占有一定百分比，在現(xiàn)有技術條件下，要使燃料與發(fā)動機質(zhì)量和小于所載燃料1/9是極難做到。當前技術條件下不妨設相對火箭噴氣速度u=3km/s.3.2初速度v0忽略不計，即v0=0.第14頁

2）建模與求解因為升空火箭最終(燃料已耗盡)質(zhì)量為mp+ms。然后將燃料倉和發(fā)動機丟棄，只剩下凈載體，由式(1)及假設3.2得到其末速度為

令，代入上式，得

由此可見，對于給定u值，當有效負荷mp=0時，火箭末速度到達最大，即火箭末速度上限數(shù)學模型(2)(3)第15頁而衛(wèi)星能進入600km高空軌道,火箭末速度最低為7.6km/s.即便忽略空氣阻力、重力、不攜帶任何東西情況下，火箭末速度最大才6.6km/s。所以，用一級火箭發(fā)射衛(wèi)星，在當前技術條件下無法到達在對應高度所需速度，也就是說單級火箭不能用于發(fā)射衛(wèi)星。由假設3.1，取u

=3km,，便得火箭末速度上限(4)第16頁這就是單級火箭設計方面最大缺點，所以我們必須反思，有必要改進火箭設計。3)模型分析單級火箭一直將將燃料倉和發(fā)動機帶到了末端，而未將這些丟棄,火箭發(fā)動機作了許多無用功。也就是說發(fā)動機必須把整個沉重火箭加速到最終,不過當燃料耗盡時,發(fā)動機加速僅僅是一個空燃料倉.第17頁上面我們對問題分析能夠看出：火箭推進力自始至終在加速著整個火箭，然而伴隨燃料不停消耗，所出現(xiàn)無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在隨之不停加速，作了無用功，效益低，浪費大。所謂理想火箭，就是能夠伴隨燃料燃燒不停拋棄火箭無用結(jié)構(gòu)。二、理想火箭模型

一、為何不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星第18頁在t時刻動量為m(t)v(t)，而在t+Δt時刻動量為2）建模與分析1）模型假設在[t,t+Δt]時段丟棄結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燒掉燃料質(zhì)量以β與1-β

百分比同時進行。在[t,t+Δt]時段丟棄結(jié)構(gòu)質(zhì)量為燒掉燃料質(zhì)量第19頁依據(jù)動量守恒定律，有第20頁第21頁第22頁

由上式可知，當燃料耗盡，結(jié)構(gòu)質(zhì)量拋完全棄時，便只剩下衛(wèi)星質(zhì)量mp，從而最終速度數(shù)學模型為

當m0足夠大，便可使衛(wèi)星到達我們所希望它含有任意速度。比如，考慮到空氣阻力和重力等原因，預計要使v=10.5km/s才行,假如取u=3km/s,β=0.1,則可推出m0/mp=50，即發(fā)射1噸重衛(wèi)星大約需50噸重理想火箭。第23頁

理想火箭構(gòu)想就是把無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以到達最正確升空速度,即使在當前技術條件下難以辦到,但它確為發(fā)展火箭技術指明了奮斗目標。當前已商業(yè)化多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)便是朝著這種目標邁出第一步。多級火箭是從末級開始，逐層燃燒,當?shù)趇級燃料燒盡時,第i+1級火箭馬上自動點火,并拋棄已經(jīng)無用第i級。三、多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)二、理想火箭模型

一、為何不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星第24頁

1）模型假設為了簡單起見，先作以下假設：(1)mi用表示第i級火箭質(zhì)量，mp表示有效負載。(2)設各級火箭含有相同

，

mi表示第i級結(jié)構(gòu)質(zhì)量,(1-

)mi表示第i級燃料質(zhì)量。(3)噴氣相對火箭速度u相同。1.多級火箭速度第25頁火箭初始質(zhì)量為第一級火箭燃料消耗完成時，火箭質(zhì)量為2）模型建立與求解此時第一級火箭速度為

將第一級火箭結(jié)構(gòu)拋去，點燃第二級火箭，此時火箭質(zhì)量為第26頁而且含有初速度v1.類似可求得第二級火箭燃料消耗完成時，火箭速度為那么第n級火箭燃料消耗完成時，火箭末速度為n級火箭速度第27頁2.各級火箭質(zhì)量分配

1)問題背景怎樣分配各級火箭質(zhì)量，使得火箭有效負荷最大？這也就是說，假如知道火箭到達末速度為v，氣體噴射速度為u，結(jié)構(gòu)比為

；對于給定初始質(zhì)量怎樣選擇質(zhì)量m1，m2，…，mn，使得有效負荷mp最大。2)模型假設同前所述第28頁2)模型建立

依據(jù)我們分析，能夠建立一個單目標，非線性約束優(yōu)化問題。第29頁3)模型求解令ai表示第i級火箭點燃之前火箭系統(tǒng)質(zhì)量與該級火箭被拋棄火箭系統(tǒng)質(zhì)量之比。那末將問題能夠轉(zhuǎn)化為另一個優(yōu)化問題第30頁再令，那么顯然再將問題轉(zhuǎn)化為下面優(yōu)化問題第31頁第32頁令依據(jù)Lagrange乘數(shù)法，令第33頁第34頁當時，取到極大值.最優(yōu)質(zhì)量比第35頁從圖中我們能夠看到：多級火箭最優(yōu)質(zhì)量比伴隨火箭級數(shù)n增加而降低.即以理想火箭質(zhì)量比為極限.而且第36頁3)三級火箭最優(yōu)性對于v=10.5km/s，u=3km/s,β=0.1，利用公式計算多級火箭最優(yōu)質(zhì)量比n12345…+∞m0/mp/148.8377.1665.0960.19…48.566第37頁

從上表中我們看到：三級火箭最優(yōu)質(zhì)量比幾乎是二級火