二重積分定義和性質(zhì)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

二重積分的定義和計(jì)算知識(shí)準(zhǔn)備1/24回想定積分.設(shè)一元函數(shù)y=f(x)在[a,b]可積.則有如圖0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

xi=xi+1

xi,表示小區(qū)間[xi,xi+1]長,f(

i)xi表示小矩形面積.2/24有一空間幾何體.其底面是xoy

面上區(qū)域D,其側(cè)面為母線平行于z軸柱面,其頂是曲面z=f(x,y),我們稱為曲頂柱體.我們知道，頂是平面平頂柱體體積V=底面積×高，那么曲頂柱體體積V怎么計(jì)算呢？0yzxz=f(x,y)D一、引例3/24(1)用曲線將D分成

n個(gè)小區(qū)域D1,D2,…,Dn,

每個(gè)小區(qū)域Di都對(duì)應(yīng)著一個(gè)小曲頂柱體.如圖z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi計(jì)算步驟4/24(2)因?yàn)镈i很小,小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體.(

i,

i)Di.小平頂柱體高=f(

i,

i).若記

i=Di面積.則小平頂柱體體積=f(

i,

i)

i

小曲頂柱體體積f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)5/24(3)所以,大曲頂柱體體積分割得越細(xì),則右端近似值越靠近于準(zhǔn)確值V,若分割得"無限細(xì)",則右端近似值會(huì)無限靠近于準(zhǔn)確值V.也就是6/24

1.定義設(shè)z=f(x,y)是定義在有界閉區(qū)域D

R2上有界函數(shù).將D任意分割成n個(gè)無公共內(nèi)點(diǎn)小區(qū)域Di(I=1,2,…,n),其面積記為

i.(

i,

i)Di,作積f(

i,

i)

i,二、二重積分概念與性質(zhì)7/24若對(duì)任意分法和任意取法,當(dāng)

0時(shí),和式極限存在且極限值都為I,則稱f(x,y)在D上可積,記為f(x,y)

R(D),并稱此極限值I為f(x,y)在D上二重積分.記作即其中“

”稱為二重積分符號(hào),D稱為積分區(qū)域,f(x,y)稱為被積函數(shù),d

稱為面積元素,x,y稱為積分變量.和式8/24注1.定積分二重積分區(qū)分在將小區(qū)間長度

xi換成小區(qū)域面積

i,將一元函數(shù)f(x)在數(shù)軸上點(diǎn)

i

處函數(shù)值f(

i)換成二元函數(shù)f(x,y)在平面上點(diǎn)(

i,

i)處函數(shù)值f(

i,

i).可見,二重積分是定積分推廣.9/24注2.若將D用兩族平行于x軸和y軸直線分割.(如圖)則除邊界上區(qū)域外,Di都是矩形，它面積為：故也將二重積分寫成此時(shí)面積元素記為：d=dxdy

i=xi

yi10/242.二重積分幾何意義：設(shè)x,y在D上可積,則(1)當(dāng)z=f(x,y)0時(shí),(2)當(dāng)z=f(x,y)<0時(shí),(3)=(D1上曲頂柱體體積)(D2上曲頂柱體體積)11/243.二重積分性質(zhì).設(shè)D為有界閉區(qū)域,以下包括積分均存在.性質(zhì)1.性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.12/24直角坐標(biāo)系下二重積分計(jì)算.由二重積分幾何意義知,當(dāng)f(x,y)0時(shí),如圖若點(diǎn)x處截面面積為A(x),則體積三、二重積分計(jì)算xy0axA(x)b13/24假如積分區(qū)域D表示為：利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分我們稱為［X－型］（特殊情況）14/2415/24積分區(qū)域D為：［X－型］普通地，---先對(duì)y積分，后對(duì)x積分二次積分16/24假如積分區(qū)域D為：［Y－型］---先對(duì)x積分，后對(duì)y積分二次積分17/24若區(qū)域如圖，比不是X型也不是Y型，在分割后三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式得：則必須分割.18/24例1將化為二次積分。其中D由直線圍成。解1：先畫出積分區(qū)域D，可知D是Y－型。將D向y軸投影。于是，19/24解2：D也是X－型。將D向x軸投影。于是，20/24例2計(jì)算其中D由直線圍成。解先畫出積分區(qū)域D，