第二節(jié)-多元函數(shù)的偏導數(shù)名師優(yōu)質(zhì)課獲獎市賽課一等獎?wù)n件

一、偏導數(shù)概念及其計算二、高階偏導數(shù)第二節(jié)偏導數(shù)第1頁定義1.在點存在,偏導數(shù)，記為某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)注意:一、偏導數(shù)定義及其計算法第2頁一樣可定義對y

偏導數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點

(x,y)處對x則該偏導數(shù)稱為偏導函數(shù),也簡稱為偏導數(shù),記為或

y

偏導數(shù)存在,第3頁比如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x偏導數(shù)概念能夠推廣到二元以上函數(shù).偏導數(shù)定義為第4頁二元函數(shù)偏導數(shù)幾何意義:是曲線在點M0處切線對x

軸斜率.在點M0處切線斜率.是曲線對y軸第5頁例1.求解法1:解法2:在點(1,2)處偏導數(shù).第6頁例2.設(shè)證:例3.求偏導數(shù).解:求證第7頁偏導數(shù)記號是一個例4.已知理想氣體狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母商!此例表明,整體記號,第8頁例5.求在點(0,0)處偏導數(shù).例6.求在點(0,0)處偏導數(shù).例7.求在點(0,0)處偏導數(shù).第9頁函數(shù)在某點各偏導數(shù)都存在,顯然比如注意：但在該點不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(0,0)并不連續(xù)!第10頁二、高階偏導數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D

內(nèi)存在連續(xù)偏導數(shù)若這兩個偏導數(shù)仍存在偏導數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)二階偏導數(shù)

.按求導次序不一樣,有以下四個二階偏導數(shù):第11頁類似能夠定義更高階偏導數(shù).比如，z=f(x,y)關(guān)于x三階偏導數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x

n–1階偏導數(shù),再關(guān)于y

一階偏導數(shù)為第12頁例8.求函數(shù)解:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.二階偏導數(shù)及第13頁例9二者不等第14頁則定理.比如,對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對n

元函數(shù)高階混合導數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù),故求初等函數(shù)高階導數(shù)能夠選擇方便求導次序.因為初等函數(shù)偏導數(shù)仍為初等函數(shù),當三階混合偏導數(shù)在點(x,y,z)連續(xù)時,有而初等(證實略)第15頁證:令則則定理.令第16頁一樣在點連續(xù),得第17頁例10.

證實函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程第18頁內(nèi)容小結(jié)1.偏導數(shù)概念及相關(guān)結(jié)論

定義;記號;幾何意義

函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)

混合偏導數(shù)連續(xù)與求導次序無關(guān)2.偏導數(shù)計算方法

求一點處偏導數(shù)方法