隱函數(shù)組專(zhuān)題培訓(xùn)市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

18.2隱函數(shù)組一、隱函數(shù)組概念二、方程組情形三、反函數(shù)組和坐標(biāo)變換第1頁(yè)設(shè)方程組確定函數(shù)求想一想，怎么做？問(wèn)題1一、隱函數(shù)組概念第2頁(yè)利用克萊滿(mǎn)法則解此二元一次方程組移項(xiàng)，得第3頁(yè)當(dāng)時(shí)，方程組有唯一解：這么我們實(shí)際上已找到了求方程組確定隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式(之一)。第4頁(yè)第5頁(yè)問(wèn)題2設(shè)方程組確定函數(shù)求

利用問(wèn)題1結(jié)論，你可能已經(jīng)知道應(yīng)該怎么做了。

依葫蘆畫(huà)瓢哦！將x或y

看成常數(shù)自己動(dòng)手做！第6頁(yè)當(dāng)時(shí)，將y看成常數(shù)公式當(dāng)時(shí),將x看成常數(shù)公式第7頁(yè)二、方程組情形第8頁(yè)第9頁(yè)第10頁(yè)下面推導(dǎo)公式：即，等式兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)，現(xiàn)第11頁(yè)這是關(guān)于二元線(xiàn)性方程組。方程組有唯一解。第12頁(yè)類(lèi)似，對(duì)等式兩邊對(duì)

y

求導(dǎo)，得關(guān)于線(xiàn)性方程組。解方程組得第13頁(yè)尤其地，方程組第14頁(yè)例1設(shè)解

1：令則第15頁(yè)第16頁(yè)解2：方程兩端對(duì)

x

求導(dǎo)。注意：即得第17頁(yè)即第18頁(yè)解1直接代入公式；解2利用公式推導(dǎo)方法。將所給方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)并移項(xiàng):第19頁(yè)將所給方程兩邊對(duì)

y

求導(dǎo)，用一樣方法得第20頁(yè)設(shè)確定函數(shù)求解令則例3第21頁(yè)同理可得第22頁(yè)

問(wèn)題1和問(wèn)題2方法能夠推廣到更普通情形.第23頁(yè)定理(隱函數(shù)存在定理)設(shè)1.2.3.其中，方程組則在內(nèi)唯一確定一組函數(shù)且第24頁(yè)雅可比行列式第25頁(yè)

當(dāng)所出現(xiàn)函數(shù)都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，雅可比行列式有以下兩個(gè)慣用性質(zhì)：1.2.第26頁(yè)1.三、反函數(shù)組和坐標(biāo)變換

定理18.5（反函數(shù)組定理）設(shè)函數(shù)組

及其一階偏導(dǎo)數(shù)在某區(qū)域

上連續(xù)，點(diǎn)

是D內(nèi)點(diǎn)，且則在點(diǎn)

某鄰域

內(nèi)存在唯一一組反函數(shù)

使得

第27頁(yè)且當(dāng)

時(shí)，有2.坐標(biāo)變換:兩個(gè)主要坐標(biāo)變換.第28頁(yè)例2

直角坐標(biāo)

與極坐標(biāo)

之間變換為

所以除原點(diǎn)外，在一切點(diǎn)上都能確定出反函數(shù)組因?yàn)?/p>

第29頁(yè)例3直角坐標(biāo)

與球坐標(biāo)變換

其Jacobian行列式為所以在

一切點(diǎn)，

可唯一確定出