武漢-中考數(shù)學(一元二次方程提高練習題)壓軸題訓(xùn)練

一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1．如圖，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向B點移動，點Q從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？【答案】經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【解析】【分析】作出輔助線，過點Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=×PB×QE，有P、Q點的移動速度，設(shè)時間為t秒時，可以得出PB、QE關(guān)于t的表達式，代入面積公式，即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點Q作QE⊥PB于E，則∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝?PB?QE．設(shè)經(jīng)過t秒后△PBQ的面積等于4cm2，則PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根據(jù)題意，?（6﹣t）?t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．當t＝4時，2t＝8，8＞7，不合題意舍去，取t＝2．答：經(jīng)過2秒后△PBQ的面積等于4cm2．【點睛】本題考查了一元二次方程的運用，注意對所求的值進行檢驗，對于不合適的值舍去．2．機械加工需用油進行潤滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺設(shè)備潤滑用油量為90kg，用油的重復(fù)利用率為60%，按此計算，加工一臺設(shè)備的實際耗油量為36kg，為了倡導(dǎo)低碳，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際油耗量進行攻關(guān)．（1）甲車間通過技術(shù)革新后，加工一臺設(shè)備潤滑油用油量下降到70kg，用油的重復(fù)利用率仍然為60%，問甲車間技術(shù)革新后，加工一臺設(shè)備的實際油耗量是多少千克？（2）乙車間通過技術(shù)革新后，不僅降低了潤滑油用油量，同時也提高了用油的重復(fù)利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新前的基礎(chǔ)上，潤滑用油量每減少1kg，用油的重復(fù)利用率將增加1.6%，例如潤滑用油量為89kg時，用油的重復(fù)利用率為61.6%．①潤滑用油量為80kg，用油量的重復(fù)利用率為多少？②已知乙車間技術(shù)革新后實際耗油量下降到12kg，問加工一臺設(shè)備的潤滑用油量是多少千克？用油的重復(fù)利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】試題分析：（1）直接利用加工一臺設(shè)備潤滑油用油量下降到70kg，用油的重復(fù)利用率仍然為60%，進而得出答案；（2）①利用潤滑用油量每減少1kg，用油的重復(fù)利用率將增加1.6%，進而求出答案；②首先表示出用油的重復(fù)利用率，進而利用乙車間技術(shù)革新后實際耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．試題解析：（1）根據(jù)題意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②設(shè)潤滑用油量是x千克，則x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：設(shè)備的潤滑用油量是75千克，用油的重復(fù)利用率是84%．考點：一元二次方程的應(yīng)用3．解下列方程：(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；(2)(x＋1)2＝6x＋6.【答案】(1)x1＝1＋，x2＝1－(2)x1＝－1，x2＝5.【解析】試題分析：（1）根據(jù)配方法解一元二次方程的方法，先移項，再加減一次項系數(shù)一半的平方，完成配方，再根據(jù)直接開平方法解方程即可；（2）根據(jù)因式分解法，先移項，再提公因式即可把方程化為ab=0的形式，然后求解即可.試題解析：(1)由題可得，x2－2x＝，∴x2－2x＋1＝.∴(x－1)2＝.∴x－1＝±＝±.∴x1＝1＋，x2＝1－.(2)由題可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.∴x1＝－1，x2＝5.4．觀察下列一組方程：；；；；它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”．若也是“連根一元二次方程”，寫出k的值，并解這個一元二次方程；請寫出第n個方程和它的根．【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.【解析】【分析】（1）根據(jù)十字相乘的方法和“連根一元二次方程”的定義,找到56是7與8的乘積,確定k值即可解題,（2）找到規(guī)律,十字相乘的方法即可求解.【詳解】解：(1)由題意可得k＝－15，則原方程為x2－15x＋56＝0，則(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.(2)第n個方程為x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.【點睛】本題考查了用因式分解法求解一元二次方程,與十字相乘聯(lián)系密切,連根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等難度,會用十字相乘解題是解題關(guān)鍵.5．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k+1)x+＝0有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)當k取最小整數(shù)時，求此時方程的解．【答案】(1)k＞﹣；(2)x1＝0，x2＝﹣1．【解析】【分析】(1)由題意得△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，解不等式即可求得答案；(2)根據(jù)k取最小整數(shù)，得到k＝0，列方程即可得到結(jié)論．【詳解】(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2+(k+1)x+＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴△＝(k+1)2﹣4×k2＞0，∴k＞﹣；(2)∵k取最小整數(shù)，∴k＝0，∴原方程可化為x2+x＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的根的判別式△＝b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．6．某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元．假設(shè)該公司2、3、4月每個月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請你預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本．【答案】（1）每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%；（2）預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．【解析】【分析】（1）設(shè)每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）由4月份該公司的生產(chǎn)成本=3月份該公司的生產(chǎn)成本×（1﹣下降率），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．答：每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），答：預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算．7．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)方程①的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，當k=1時，求x12+x22的值．【答案】（1）k>–；（2）7【解析】【分析】（1）由方程根的判別式可得到關(guān)于k的不等式，則可求得k的取值范圍；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，可求x1+x2=-3，x1x2=1，代入求值即可．【詳解】（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，即，解得；（2）當時，方程為，∵，，∴.【點睛】本題主要考查根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的個數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．如圖，一艘輪船以30km/h的速度沿既定航線由南向北航行，途中接到臺風警報，某臺風中心正以10km/h的速度由東向西移動，距臺風中心200km的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風影響區(qū)，當這艘輪船接到臺風警報時，它與臺風中心的距離BC=500km，此時臺風中心與輪船既定航線的最近距離AB=300km．（1）如果這艘船不改變航向，那么它會不會進入臺風影響區(qū)？（2）如果你認為這艘輪船會進入臺風影響區(qū)，那么從接到警報開始，經(jīng)過多長時間它就會進入臺風影響區(qū)？（3）假設(shè)輪船航向不變，輪船航行速度不變，求受到臺風影響的時間為多少小時？【答案】（1）如果這艘船不改變航向，那么它會進入臺風影響區(qū)．（2）經(jīng)過15﹣h就會進入臺風影響區(qū)；（3）2小時．【解析】【分析】（1）作出肯定回答：這艘輪船不改變航向，那么它能進入臺風影響區(qū)．（2）首先假設(shè)輪船能進入臺風影響區(qū)，進而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）將輪船剛好進入臺風影響區(qū)和剛好離開臺風影響的兩個時間節(jié)點相減，即能得出受影響的時間長.【詳解】解：（1）如圖易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，當B′C′=200時，將受到臺風影響，根據(jù)勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，整理得到：t2﹣30t+210=0，解得t=15±，由此可知，如果這艘船不改變航向，那么它會進入臺風影響區(qū)．（2）由（1）可知經(jīng)過(15﹣)h就會進入臺風影響區(qū)；（3）由（1）可知受到臺風影響的時間為:15+﹣（15﹣）=2h．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理等知識，根據(jù)題意得出關(guān)于x的等式是解題關(guān)鍵．9．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，．求的取值范圍．是否存在實數(shù)，使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？【答案】(1)且；(2)不存在,理由見解析【解析】【分析】（1）因為方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．得出其判別式△＞0，可解得k的取值范圍；（2）假設(shè)存在兩根的值互為相反數(shù)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出對應(yīng)的不等式即可求出k的值．【詳解】（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，可得：k﹣1≠0且△=﹣12k+13＞0，解得：k＜且k≠1；（2）假設(shè)存在兩根的值互為相反數(shù)，設(shè)為x1，x2．∵x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=．又∵k＜且k≠1，∴k不存在．【點睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=﹣p，x1x2=q．10．已知:如圖，在中，，cm，cm.直線從點出發(fā)，以2cm/s的速度向點方向運動，并始終與平行，與線段交于點.同時，點從點出發(fā)，以1cm/s的速度沿向點運動，設(shè)運動時間為(s)().(1)當為何值時，四邊形是矩形?(2)當面積是的面積的5倍時，求出的值;【答案】（1）；（2）。【解析】【分