瑕積分的中值定理

瑕積分的中值定理王曉華【摘要】以區(qū)間［a,b］以b為瑕點的積分為例，在定積分中值定理的基礎(chǔ)上用比較類推法研究了瑕積分的中值定理,給出瑕積分的第一中值定理、第二中值定理及積分型柯西中值定理，并予以證明.【期刊名稱】《湖州師范學(xué)院學(xué)報》【年(卷)，期】2018(040)002【總頁數(shù)】5頁(P16-20)【關(guān)鍵詞】瑕積分;收斂;中值定理【作者】王曉華【作者單位】浙江廣廈建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，浙江東陽322100【正文語種】中文【中圖分類】O175MSC2010:00A050引言文獻(xiàn)［1］介紹了定積分第一中值定理和第二中值定理;文獻(xiàn)［2］將定積分中值定理進(jìn)行推廣，給出一個統(tǒng)一的表示形式;文獻(xiàn)［3-5］將定積分中值定理推廣到無限區(qū)間上廣義積分的中值定理，得到一些研究成果.本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，對區(qū)間［a,b］上以b為瑕點的瑕積分的中值定理進(jìn)行研究，得出一些結(jié)果，豐富了廣義積分的理論.1預(yù)備知識定義1［1］設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b)上連續(xù)，而在點x=b的任意左鄰域內(nèi)無界，此時稱點x=b是函數(shù)f(x)的瑕點.取￡>0,如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b)上的廣義積分，又叫瑕積分，記作f(x)dx，即引理1［1］若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，g(x)在區(qū)間［a,b］上可積且不變號，在［a,b］上必存在一點廠使得f(x)g(x)dx=f(&g(x)dx.引理2［1］設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間［a,b］上可積，①若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)下降，對任意給定的xe［a,b］都有f(x)>0，則存在R［a,b］，使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)上升，對任意給定的xe［a,b］都有f(x)>0，則存在R［a,b］,使得f(x)g(x)dx=f(b)g(x)dx.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)，則存在R［a,b］,使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx+f(b)g(x)dx.引理3［2］若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b)上連續(xù)，且(c為常數(shù))，則函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b)上有界；(H)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b)上存在最大值或最小值；(B)對于任意的M，m<p<M，其中：M=sup{f(x)|xe［a,b)},m=inf{f(x)|xe［a,b)}都存在M［a,b)，使得f(&=”從定積分的中值定理，本文可以類推得到瑕積分的中值定理.2主要結(jié)果定理1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上非負(fù)連續(xù)且(c為常數(shù))，又設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,b)上不變號且瑕積分g(x)dx收斂，則(I)瑕積分f(x)g(x)dx收^;存在Eu[a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(&g(x)dx.證明(I)設(shè)M=sup{f(x)|xE[a,b)},m=inf{f(x)|xe[a,b)},對于任意給定的xe[a,b)都有m<f(x)<M,不妨假設(shè)g(x)>0，于是有：0<mg(x)<f(x)g(x)<Mg(x),(I)由瑕積分g(x)dx收斂及不等式(1)知，瑕積分f(x)g(x)dx收斂且有：mg(x)dx<f(x)g(x)dx<Mg(x)dx.(2)若g(x)dx=0，則由(2)式推出f(x)g(x)dx=0，則顯然存在M(a,b),使得f(x)g(x)dx=f(&g(x)dx.若g(x)dx疝，則g(x)dx>0，則由(2)式得：令則m<p<M，由引理3的(B)知，存在Eu[a,b)，使得f(&=“命題得證.定理2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上單調(diào)下降且f(x)>0，又設(shè)瑕積分g(x)dx收斂，貝U瑕積分f(x)g(x)dx收^;(H)存在Eu[a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx.證明(I)由題設(shè)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上有界，即存在M>0,對任意給定的xe[a,b)都有|f(x)|<M,又瑕積分g(x)dx收^，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則的必要條件知，對任意給定的￡>0,存在A>0,使得當(dāng)a1>A,a2>A時，有：對于f(x)g(x)dx由定積分第二中值定理知，存在K(a1,a2),使得由柯西收斂準(zhǔn)則的充分條件知瑕積分f(x)g(x)dx收斂.(H)對任意給定的xe[a,b)，令G(x)=g(t)dt,則其在[a,b)上連續(xù)，且收斂，記為G(b-),又令m=inf{G(x)|xe[a,b)},M=sup{G(x)|xE[a,b)},則m<G(x)<M,對任意給定的A>a，根據(jù)引理2,有：f(x)g(x)dx=f(a)g(t)dt=f(a)G(EA),其中：Eau[a,A].由存在且為常數(shù)及f(a片0可得存在，記其為口，則m<p<M,再由引理3的(B)得存在R[a,b),使得G(&=l于是有：f(x)g(x)dx=f(a)|j=f(a)G(&=f(a)g(x)dx.定理3設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上單調(diào)上升且(c為常數(shù))，又設(shè)瑕積分g(x)dx收斂，則(I)瑕積分f(x)g(x)dx收^;(H)存在Eu[a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(b-0)g(x)dx.證明(I)證明參考定理2的(I).對于任意給定的A>a，根據(jù)定理2的(H)可得：f(x)g(x)dx=f(A)g(x)dx.根據(jù)積分區(qū)間的可加性⑶其中:EAu[a,A].已知瑕積分f(x)g(x)dx和g(x)dx都收斂，又可得存在，從定理2的證明可以類似地推出，存在^e[a,b)使得⑷由(3)式、(4)式可得：推論設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上單調(diào)，(c為常數(shù))且瑕積分g(x)dx收斂，貝U瑕積分f(x)g(x)dx收^;(H)存在Eu(a,b)，使得f(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx+f(b-0)g(x)dx.定理4若函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，f(x)dx、g(x)dx均收斂，且f(x)、g(x)在區(qū)間[a,b)上有原函數(shù)，對任意給定的xe[a/b),f2(x)+g2(x)/0，則存在R[a,b),使得證明令并設(shè)F(x)、G(x)分別是f(x)、g(x)在區(qū)間[a,b)上的原函數(shù)，根據(jù)f(x)、g(x)在區(qū)間[a,x]上的可積性可知，f(x)dx、g(x)dx在[a,b)上連續(xù)，且f(x)dx=F(x)-F(a),g(x)dx=G(x)-G(a),從而H(x)在［a,b)上連續(xù)、在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且由引理知H(x)在［a,b)上必有最大值或最小值，不妨設(shè)有最大值M，則存在R(a,b)使H(滬M,易知H任)=0，于是由題設(shè)知g(混0,則在定積分中值定理的基礎(chǔ)上，本文討論了區(qū)間［a,b)上以b為瑕點的瑕積分的中值定理，而區(qū)間(a,b］上以a為瑕點，或c在［a,b］內(nèi)且以c為瑕點的瑕積分的中值定理，可以做類似的討論，得出相應(yīng)的結(jié)果.參考文獻(xiàn)：［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，2011.［2］ 覃運(yùn)初.開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)［J］.安慶師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003,9(4):43-44.［3］