初三數(shù)學(xué)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系知識精講湘教版

wordword#/7初三數(shù)學(xué)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系知識精講湘教版【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)：知識與技能：理解一元二次方程的根的判別式，會根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程的根的情況。掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式及有關(guān)的應(yīng)用。過程與方法：會利用一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系式解有關(guān)一元二次方程的綜合題。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力和逆向思維能力。教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程根的判別式及其應(yīng)用。一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：靈活地運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別解有關(guān)一元二次方程的綜合題。主要內(nèi)容：（一）一元二次方程根的判別式一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的根的判別式?！?b2-4ac利用判別式的符號判定方程的根的情況：A>0o方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。A=0o方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。A<0o方程沒有實(shí)數(shù)根。能解決的題型：（1）不解方程判定一元二次方程根的情況。（2）根據(jù)方程的根的情況確定字母系數(shù)的取值X圍。（3）解與根有關(guān)的證明題。（二）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）1.如果一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的兩個(gè)根為x1,x2。那么有bcx+x=--,x.x=—2a12a這兩個(gè)式子我們可以根據(jù)一元二次方程的求根公式進(jìn)行推導(dǎo)得出。我們知道一元二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）的兩根為：-b+bb2-4ac -b-bb2-4acx二 ,x= 2a 2 2aTOC\o"1-5"\h\z一b+b22—4ac一b一、b2-4ac b...x+x= + =一一\o"CurrentDocument"2 2a 2a a一b+b22-4ac -b-b22-4ac 4acc一 ? 一 一xx 2 2a 2a 4a2a.能解決的題型(1)已知一根求另一根及求未知數(shù)。(2)已知兩根求作一元二次方程。(3)不解方程求與兩根有關(guān)的代數(shù)式的值。(4)已知兩數(shù)的和與積，求這兩個(gè)數(shù)。【典型例題】例1.不解方程，判斷下列一元二次方程的根的情況。2x2+3x-3-036x2-12+1-0x2一5x+3-02x2+3x+2-0分析：利用根的判別式及其符號來判斷。解：(1)a—2,b—3,c—-3/.A-b2-4ac-32-4義2義(-3)-33>0???原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根a-36,b—-12,c-1/A-b2-4ac-(—12)2—4義36義1-0???原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)、(4)略，請同學(xué)們完成強(qiáng)調(diào)：(1)要求學(xué)生能準(zhǔn)確地把握根的判別式。(2)當(dāng)a、c異號時(shí)，b2-4ac>0,方程有兩個(gè)不相等實(shí)根。例2.m為何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程x2+(8一4m)x+4m2-0(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；(3)沒有實(shí)數(shù)根。分析：這種題型主要是培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，根據(jù)方程的根的情況確定判別式的符號再求得m的取值。解：A-b2-4ac-(8一4m)2一4義1義4m2-64-64m(1)依題意：64一64m>0，/m<1??.當(dāng)m<1時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(2)64-64m-0,/m-1.?.當(dāng)m=1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。(3)64一64m<0,/m>1

??.當(dāng)m>1時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根。例3,已知關(guān)于x的方程：x2+2x+m-1=0(1)若1是方程的一個(gè)根，求m的值及另一根。(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值X圍。分析：(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系。解：設(shè)方程x2+2x+m-1=0的兩根為X1、x2,貝Ux+x=—212x?x=m-112又x=11x=—3,m=—22(2)由A=b2—4ac=22—4(m—1)>0解得：m<2例4.已知X1、x2是方程x2-2x-4=0的兩個(gè)根，不解方程，求下列各式的值。(1)(x—2)(x—2)12xx(2)一+一xx的代數(shù)式即可。12的代數(shù)式即可。分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系，將所求的式子通過變形整理，得到x1+x2,x1x2解：:x、x是方程x2—2x—4=0的兩根12/.x+x=2,x?x=4TOC\o"1-5"\h\z12 12(x—2)(x—2)=x?x—2(x+x)+41 2 12 12=4—2x2+4=4(2)22—2x4 =—14xxx2+x(2)22—2x4 =—14\o"CurrentDocument"—2+ =—i 2—=—1 2 ^-2-xxxx xx1 2 12 12例5,已知關(guān)于x的一元二次方程x2—2mx—3m2+8m—4=0(1)求證：當(dāng)m>2時(shí)，原方程永遠(yuǎn)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。(2)若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于5,另一個(gè)大于2,求m的取值X圍(1)證明：A=(-2m)2—4(—3m2+8m—4)=4m2+12m2-32m+16=16(m—1)2無論m取任何實(shí)數(shù)，都有16(m—1)2>0?m取任意實(shí)數(shù)，原方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。因此當(dāng)m>2時(shí)，原方程永遠(yuǎn)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。(2)解關(guān)于x的一元二次方程x2—2mx—3m2+8m—4=02=m2=m±2(m—1)/./.x=3m—2,x=2—m1由條件得：21由條件得：23m—2<52—m>22—m<53m—2>24解得：m<0或m>34即m的取值范圍是m<0或m>—3例6,已知關(guān)于x的方程x2+(8-4m)x+4m2=0(1)當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值，并求出此時(shí)方程的根。(2)是否存在正數(shù)m，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于136？若存在，請求出m的值，不存在，說明理由。分析：本題考查同學(xué)們對根的判別式及根與系數(shù)的綜合應(yīng)用能力。解：(1)???方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根/.b2一4ac=(8一4m)2一4義1義4m2=0得：m=1/.m=1時(shí)，此時(shí)方程為x2+4x+4=0/.x=x=-212(2)設(shè)方程的兩根為x1、x2則x+x=4m一8,xx=4m21 2 12又x2+x2=(x+x)2-2xx=1361 2 1 2 12廠.16(m2-4m+4)-2義4m2=136,/m2-8m-9=0廠m=9，m=一112又由題設(shè)知：m>0,??.m=-1舍去又b2-4ac=-4m+4>0m<1,m=9也應(yīng)舍去??.滿足條件的正數(shù)m的值不存在?！灸M試題】(答題時(shí)間：40分鐘)一,選擇題.不解方程，下列一元二次方程中，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的方程是()x2-2布x+5=02x2+4x+5=0x2-16x+16=0x2-2v3x-3=0TOC\o"1-5"\h\z-“八 1 12.如果x、x是方程x2-3x+1=0的兩個(gè)根，則—+—的值等于()12 xx121A.-3 B.3 C.3 D.-3.已知關(guān)于x的方程x2-4x+k=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值X圍是()A.k>4 B.k<4C.k<-4 D.k<4.已知方程x2-(2m+1)x+m=0的兩根之和與兩根之積相等，那么m的值為()

A.1 B.-1 C.2D.—2.以-2、5為兩根的一元二次方程是()x2-2x+5=0x2+5x-2=0x2-3x-10=0x2+3x-10=0二.填空題TOC\o"1-5"\h\z1,已知x、x是方程2x2-7x+4=0的兩個(gè)根，則x+x= ,12 12x?x= ,(x-x)2= 。12 12.如果一元二次方程x2+4x+k2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k=。.已知一元二次方程kx2-(2k-1)x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值X圍是 。.如果方程2x2-kx+1=0的一個(gè)根是1，則k=，另一根為。.方程2x2-ax+2b=0的兩根和為4,積為-3，則a=，b=。三.解答題11.設(shè)x、x是方程x2-(k+1)x-3=0的兩根，且—+—=2，求k的值。12 xx12.已知關(guān)于x的一元二次方程4x2-(k+2)x+k-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。(1)求k的值；(2)求這時(shí)方程的根。.證明一元二次方程(x-1)(x-2)=k2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。.若關(guān)于x的一元二次方程3(m2-1)x2-2m2x+2m=0有一個(gè)根為1，求m的值及方程的另一個(gè)根?！驹囶}答案】.選擇題BC1.A 2.B 3.BBC.填空題7 171.-，2，丁 2.k=±224113.k< 且k牛0 4.3，-428，-3x+xx+x=k+1，12.解：依題意得：11又一+——=2xx12

x+x+x廠.—i 2xx12，k=-7k+1- 二2-3.解：(1)依題意：A=(k+2)2-4義4(k-1)=0即k2-12k+20=0(k-2)(k-10)=0k=2,k=1012(2)當(dāng)k=2時(shí)，原方程變?yōu)?x2-4x+1=011x=x=1 22當(dāng)k=10時(shí)，原方程變?yōu)?x2-12x+9=023x=x=22證明：將方程化為一般形式為：x2-3x+2-k2=0A=(-3)2-4義(2-k2)=1+k2無論k為何值k2>0:△=1+k2>0???原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。解：依題意，1應(yīng)滿足原方程，代入得：3(m2-1)-2m2+2m=0解得：m=-3，m=112???3(m2-1)中0m——3當(dāng)m--3時(shí)，原方程變?yōu)椋?x2-3x-1—01/.x—1，x―——1 24.另一根為-14【勵(lì)志故事】學(xué)學(xué)喬丹的愛國籃球上帝喬丹在日前的中國之行中，拒絕乘坐主辦方為他提供的奔馳、寶馬，而是點(diǎn)名要了美國的道奇山羊。原來喬丹有一條重要的商業(yè)原則，那就是“做廣告從來只做美國貨”，所以，座駕事件與“愛國精神”息息