高考數(shù)學一輪復習試題第5節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第5節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考試要求1.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質.2.通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.3.理解指數(shù)函數(shù)的單調性，特殊點等性質，并能簡單應用.1.根式的概念及性質(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)①負數(shù)沒有偶次方根.②0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù)).⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數(shù)).2.分數(shù)指數(shù)冪規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.3.指數(shù)冪的運算性質實數(shù)指數(shù)冪的運算性質：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指數(shù)函數(shù)及其性質(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖象關于y軸對稱1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a>1與0<a<1來研究.3.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)eq\r(4,（－4）4)＝－4.()(2)分數(shù)指數(shù)冪aeq\f(m,n)可以理解為eq\f(m,n)個a相乘.()(3)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù).()(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于eq\r(4,（－4）4)＝eq\r(4,44)＝4，故(1)錯誤.(2)當eq\f(m,n)<1時，不可以，故(2)錯誤.(3)由于指數(shù)函數(shù)解析式為y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指數(shù)函數(shù)，故(3)錯誤.(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)錯誤.2.(多選)下列函數(shù)中，值域為(0，＋∞)的是()A.y＝x2 B.y＝eq\f(2,x)C.y＝2x D.y＝3x－1答案CD解析y＝x2的值域為[0，＋∞)；y＝eq\f(2,x)的值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)；y＝2x的值域為(0，＋∞)；y＝3x－1的值域為(0，＋∞).3.(2021·日照檢測)函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是()答案A解析易知f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＝1－e|x|≤0，A正確.4.(易錯題)若函數(shù)f(x)＝(a2－3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________.答案2解析依題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3＝1，,a＞0且a≠1，))解得a＝2.5.已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))－eq\f(1,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))－eq\f(1,4)，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－eq\f(3,4)，則a，b，c的大小關系是________.答案c＜b＜a解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(x)是R上的減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))－eq\f(1,3)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))－eq\f(1,4)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(0)，即a＞b＞1，又c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－eq\f(3,4)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(0)＝1，∴c＜b＜a.6.(2022·重慶月考)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))eq\s\up12(0)＋8eq\f(1,4)×eq\r(4,2)－＝________.答案2解析原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(1,3)×1＋2eq\f(3,4)×2eq\f(1,4)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\f(1,3)＝2.考點一指數(shù)冪的運算1.(2020·新高考全國Ⅰ卷)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿足R0＝1＋rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天答案B解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝eq\f(R0－1,T)＝eq\f(3.28－1,6)＝0.38.由題意，累計感染病例數(shù)增加1倍，則I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln2，∴t2－t1＝eq\f(ln2,0.38)≈eq\f(0.69,0.38)≈1.8.2.[(0.064eq\f(1,5))－2.5]eq\f(2,3)－eq\r(3,3\f(3,8))－π0＝________.答案0解析＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,10)))\s\up12(3)))eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))×eq\f(2,3)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(3)))eq\f(1,3)－1＝eq\f(5,2)－eq\f(3,2)－1＝0.3.計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－eq\f(1,2)·eq\f(\r(（4ab－1）3),（0.1）－1·（a3·b－3）\f(1,2))＝________(a＞0，b＞0).答案eq\f(8,5)解析原式＝eq\f(2·4\f(3,2)a\f(3,2)b－\f(3,2),10a\f(3,2)b－\f(3,2))＝eq\f(8,5).4.若xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝3，則eq\f(x\f(3,2)＋x－\f(3,2)－3,x2＋x－2－2)＝________.答案eq\f(1,3)解析由xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2)＝3，兩邊平方，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47.∴x2＋x－2－2＝45.xeq\f(3,2)＋x－eq\f(3,2)＝(xeq\f(1,2))3＋(x－eq\f(1,2))3＝(xeq\f(1,2)＋x－eq\f(1,2))(x－1＋x－1)＝3×(7－1)＝18.∴eq\f(x\f(3,2)＋x－\f(3,2)－3,x2＋x－2－2)＝eq\f(1,3).感悟提升(1)指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加.②運算的先后順序.(2)當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).(3)運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應用例1(1)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結論中一定成立的是()A.a<0，b<0，c<0 B.a<0，b≥0，c>0C.2－a<2c D.2a＋2c<2答案D解析作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象，如圖，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，結合圖象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________.答案[－1，1]解析曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得：如果曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b應滿足的條件是b∈[－1，1].感悟提升1.對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.2.有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解.訓練1(1)(2020·北京卷)已知函數(shù)f(x)＝2x－x－1，則不等式f(x)＞0的解集是()A.(－1，1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案D解析在同一平面直角坐標系中畫出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的圖象如圖.由圖象得交點坐標為(0，1)和(1，2).又f(x)＞0等價于2x＞x＋1，結合圖象，可得x＜0或x＞1.故f(x)＞0的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞).(2)(多選)(2021·濟南調研)已知實數(shù)a，b滿足等式2022a＝2023b，則下列關系式成立的是()A.0<b<a B.a<b<0C.0<a<b D.a＝b答案ABD解析如圖，觀察易知a，b的關系為a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.考點三指數(shù)函數(shù)的性質及應用角度1比較指數(shù)式的大小例2(1)已知a＝2eq\f(4,3)，b＝4eq\f(2,5)，c＝25eq\f(1,3)，則()A.b＜a＜c B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b答案A解析a＝2eq\f(4,3)＝16eq\f(1,3)，b＝4eq\f(2,5)＝16eq\f(1,5)，c＝25eq\f(1,3)，∵冪函數(shù)y＝xeq\f(1,3)在R上單調遞增，所以a＜c，∵指數(shù)函數(shù)y＝16x在R上單調遞增，∴b＜a，即b＜a＜c.(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列結論一定成立的是()A.a＋b≤0 B.a－b≥0C.a－b≤0 D.a＋b≥0答案D解析∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，①令f(x)＝ex－π－x，則f(x)是R上的增函數(shù)，①式即為f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.角度2解簡單的指數(shù)方程或不等式例3(1)已知實數(shù)a≠1，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值為______.答案eq\f(1,2)解析當a<1時，41－a＝21，解得a＝eq\f(1,2)；當a>1時，2a－(1－a)＝4a－1，無解，故a的值為eq\f(1,2).(2)(2022·湖南五市聯(lián)考)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x＜0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)＜1，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3，1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案C解析當a＜0時，不等式f(a)＜1可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)－7＜1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＜8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)，因為0＜eq\f(1,2)＜1，所以a＞－3，此時－3＜a＜0；當a≥0時，不等式f(a)＜1可化為eq\r(a)＜1，即0≤a＜1.故a的取值范圍是(－3，1).角度3與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調性例4(1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________.答案(－∞，4]解析令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上單調遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上單調遞減.而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調遞增，則有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4].(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x2＋2x＋1的單調遞減區(qū)間為________.答案(－∞，1]解析設u＝－x2＋2x＋1，因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(u)在R上為減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－x2＋2x＋1的單調遞減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的單調遞增區(qū)間.又u＝－x2＋2x＋1的單調遞增區(qū)間為(－∞，1]，所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，1].(3)已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2x＋1)，則關于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0的解集為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))∪(1，＋∞)解析由題意知f(x)是奇函數(shù)，且在R上為減函數(shù)，則f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0，即f(t2－2t)＜－f(2t2－1)＝f(1－2t2).所以t2－2t＞1－2t2，解得t＞1或t＜－eq\f(1,3).角度4函數(shù)的最值(值域)問題例5(1)(2021·沈陽期末)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋1在區(qū)間[－3，2]上的值域是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57))解析因為x∈[－3，2]，所以若令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8))，故y＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4).當t＝eq\f(1,2)時，ymin＝eq\f(3,4)；當t＝8時，ymax＝57.故所求函數(shù)值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)).(2)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2＋2x＋3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，則f(x)的單調遞增區(qū)間是________.答案(－∞，－1]解析∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(t)是減函數(shù)，且f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，則a>0且eq\f(12a－22,4a)＝2，解之得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的單調遞減區(qū)間是(－∞，－1]，故f(x)的單調遞增區(qū)間是(－∞，－1].感悟提升1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調性比較大??；(2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.指數(shù)方程(不等式)的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行轉化.3.涉及指數(shù)函數(shù)的綜合問題，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關性質，其次要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.易錯警示在研究指數(shù)型函數(shù)的單調性時，當?shù)讛?shù)a與“1”的大小關系不確定時，要分類討論.訓練2(1)(2022·福州一模)已知a＝25eq\f(1,5)，b＝6eq\f(2,5)，c＝2eq\f(6,5)，則()A.a＜b＜c B.b＜a＜cC.c＜b＜a D.a＜c＜b答案A解析a＝25eq\f(1,5)＝5eq\f(2,5)，b＝6eq\f(2,5)，c＝2eq\f(6,5)＝8eq\f(2,5)，因為冪函數(shù)y＝xeq\f(2,5)在(0，＋∞)上單調遞增，且5＜6＜8，所以5eq\f(2,5)＜6eq\f(2,5)＜8eq\f(2,5)，所以a＜b＜c.(2)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\r(－x2＋x＋2)的單調遞增區(qū)間是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))解析令t＝eq\r(－x2＋x＋2)＝eq\r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,4))，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t)，0≤t≤eq\f(3,2)，－1≤x≤2，故t的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，所以函數(shù)y的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,1＋a·2x)的圖象關于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))對稱，則a＝________，f(x)的值域為________.答案1(0，1)解析依題設f(x)＋f(－x)＝1，則eq\f(2x,1＋a·2x)＋eq\f(2－x,1＋a·2－x)＝1，整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0.所以a－1＝0，則a＝1.因此f(x)＝eq\f(2x,1＋2x)＝1－eq\f(1,1＋2x).由于1＋2x>1，∴0<eq\f(1,1＋2x)<1，∴0<f(x)<1.故f(x)的值域為(0，1).1.(多選)函數(shù)y＝ax－a(a＞0，a≠1)的圖象可能是()答案BC解析當a＞1時，y＝ax－a為增函數(shù)，且過點(1，0)，當x＝0時，y＝1－a＜0，故A不正確，B正確.當0＜a＜1時，y＝ax－a為減函數(shù)，且過點(1，0)，當x＝0時，y＝1－a∈(0，1)，故C正確，D不正確.2.(多選)下列函數(shù)中在區(qū)間(0，1)內(nèi)單調遞減的是()A.y＝xeq\f(1,2) B.y＝21－xC.y＝ln(x＋1) D.y＝|1－x|答案BD解析A項，y＝xeq\f(1,2)在(0，1)內(nèi)單調遞增，B項，y＝21－x＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，在(0，1)內(nèi)單調遞減，C項，y＝ln(x＋1)在(0，1)內(nèi)單調遞增，D項，y＝|1－x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x≤1，,x－1，x＞1，))故在(0，1)上單調遞減.3.不論a為何值，函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過定點，則這個定點的坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))答案C解析y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)變?yōu)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))a－(2x＋y)＝0，依題意，對a∈R，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))a－(2x＋y)＝0恒成立，則2x－eq\f(1,2)＝0，且2x＋y＝0，∴x＝－1且y＝－eq\f(1,2)，即恒過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).4.(2021·合肥沖刺)若0<b<a<1，則ab，ba，aa，bb中最大的是()A.ab B.ba C.aa D.bb答案A解析∵0<b<a<1，∴指數(shù)函數(shù)y＝ax和y＝bx均為減函數(shù)，∴ab>aa，ba<bb，∵冪函數(shù)y＝xb在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴ab>bb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab.5.(多選)(2022·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)＝2－x－2x，有下列四個結論，其中正確的結論是()A.f(0)＝0B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增D.對任意的實數(shù)a，方程f(x)－a＝0都有解答案ABD解析f(x)＝2－x－2x，則f(0)＝eq\f(1,20)－20＝0，故A正確；f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，故B正確；f(x)＝eq\f(1,2x)－2x在R上是減函數(shù)，故C錯誤；當x→－∞時，f(x)→＋∞；當x→＋∞時，f(x)→－∞，即f(x)的值域是(－∞，＋∞)，它又是R上的減函數(shù)，因此對任意實數(shù)a，f(x)＝a都有解，故D正確.6.(2021·煙臺一模)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系式為P＝P0e－kt，其中P0，k為正常數(shù).如果一定量的廢氣在前10h的過濾過程中污染物被消除了20%，那么污染物減少到最初含量的50%還需要經(jīng)過多長時間？(結果四舍五入取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.693，ln5≈1.609)()A.11h B.21h C.31h D.41h答案B解析由已知得eq\f(4,5)＝e－10k，方程兩邊同取自然對數(shù)得lneq\f(4,5)＝－10k，所以k＝eq\f(2ln2－ln5,－10)≈0.0223.設污染物減少到最初含量的50%需要經(jīng)過th，則eq\f(1,2)＝e－0.0223t，方程兩邊同取自然對數(shù)得lneq\f(1,2)＝－0.0223t，解得t≈31.所以還需要經(jīng)過31－10＝21h使污染物減少到最初含量的50%.7.(2022·德州調研)設函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x－1，則不等式f(x)＞1的解集為________.答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析由題意得f(1)＝1，則f(x)＞1可化為f(x)＞f(1)，又f(x)為偶函數(shù)，在(0，＋∞)上單調遞增，故解集為(－∞，－1)∪(1，＋∞).8.化簡：eq\f(（a\f(2,3)·b－1）－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5))(a＞0，b＞0)＝________.答案eq\f(1,a)解析原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)·beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,a).9.已知0≤x≤2，則函數(shù)y＝4x－eq\f(1,2)－3×2x＋5的最大值為________.答案eq\f(5,2)解析設2x＝t，0≤x≤2，則1≤t≤4，y＝4x－eq\f(1,2)－3×2x＋5＝eq\f(1,2)t2－3t＋5＝eq\f(1,2)(t－3)2＋eq\f(1,2)，故當t＝1，即x＝0時，函數(shù)有最大值eq\f(5,2).10.化簡下列各式：(1)8eq\f(2,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,8)))eq\s\up12(0)＋eq\r(4,（3－π）4)＋[(－2)6]eq\f(1,2)；(2)eq\f(5,6)aeq\f(1,3)·b－2·(－3a－eq\f(1,2)b－1)÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2).解(1)原式＝(23)eq\f(2,3)－1＋|3－π|＋(26)eq\f(1,2)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.(2)原式＝－eq\f(5,2)a－eq\f(1,6)b－3÷(4aeq\f(2,3)·b－3)eq\f(1,2)＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,6)b－3÷(aeq\f(1,3)b－eq\f(3,2))＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,2)·b－eq\f(3,2)＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).11.已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常數(shù)，且a>0，a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1，6)，B(3，24).(1)求f(x)的表達式；(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))eq\s\up12(x)－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解(1)因為f(x)的圖象過A(1，6)，B(3，24)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b·a＝6，,b·a3＝24.))所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.所以f(x)＝3·2x.(2)由(1)知a＝2，b＝3，則當x∈(－∞，1]時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－m≥0恒成立，即m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在x∈(－∞，1]上恒成立.又因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)均為減函數(shù)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)也是減函數(shù)，所以當x＝1時，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)有最小值eq\f(5,6).則m≤eq\f(5,6)，故m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,6))).12.(多選)(2021·唐山二模)已知a＞b＞0，且ab＝4，則()A.2a－b＞1 B.log2a－log2b＞1C.2a＋2b＞8 D.log2a·log2b＜1答案ACD解析a＞b＞0，且ab＝4.對于A，a－b＞0，所以2a－b＞20＝1，故A正確；對于B，取a＝eq\f(8,3)，b＝eq\f(3,2)，所以log2a－log2b＝log2eq\f(a,b)＝log2eq\f(16,9)＜log22＝1，故B錯誤；對于C，2a＋2b≥2eq\r(2a·2b)＝2eq\r(2a＋b)，當且僅當a＝b時取等號，又因為a＋b≥2eq\r(ab)＝4，當且僅當a＝b時取等號，所以2a＋2b≥2eq\r(2a＋b)≥2eq\r(24)＝8，當且僅當a＝b時取等號，因為a＞b＞0，所以不能取等號，故C正確；對于D，當a＞1＞b＞0時，log2a＞0，log2b＜0，所以log2a·log2b＜1；當a＞b＞1時，log2a＞0，log2b＞0，所以log2a·log2b≤eq\f(（log2a＋log2b）2,4)＝eq\f([log2（ab）]2,4