無錫九年級上學期數學實驗基礎手冊

1.1等腰三角形性質和鑒定例1．提示：∠DBC=90°－∠C=90°－（180°－∠A）=∠A，或作AE⊥BC例2．提示：作AF⊥BC，或證△ABD≌△ACE回顧與反思：引導學生從不同角度入手，合理選用證明辦法【訓練與提高】1.C2.B3.A4.22；20或22；205.50°、80°或65°、65°；30°、30°6.20或357.38.略9.提示：證△ABD≌△ACE【拓展與延伸】1.等腰三角形，提示：連MA，證△MDE≌△MAC2.30°，提示，連EC，證△BED≌△BEC1.2.直角三角形全等鑒定（1）例1.略例2.略【訓練與提高】1.C2.D3.5或104.1：35.∠CAB=∠DAB；∠ABC=∠ABD；AC=AD或BC=BD6.提示：證△ACF≌△HBF【拓展與延伸】提示：證△ABD≌△CAE1.2.直角三角形全等鑒定（2）例1．提示：作FG⊥AE，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)I⊥AD，例2．提示：證△CDF≌△CBE【訓練與提高】1.C2.D3.D4.D5.1.56.257.108.提示：證CE=CF=CG【拓展與延伸】1.提示：證△FCD≌△FBE，得FD=FE2.略1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（1）例1．提示：證△CDF≌△ABE例2．略【訓練與提高】1.B2.C3.104.265.86.4和67.38.8、4.8【拓展與延伸】1.略2.略1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（2）例1．⑴略；⑵例2．3【訓練與提高】1.C2.D3.D4.22或265.10、56.6.57.1288.189.略【拓展與延伸】1.（，2），（，）2.略1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（3）例1．提示：證△ADE≌△ABF或連AC，證△ACE≌△ACF例2．⑴提示：連AC；⑵60°【訓練與提高】1.C2.A3.D4.略5.60°、60°、12、、6.17.8.60°9.9.610.略【拓展與延伸】1.242.略1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（4）例1．提示：△ADE≌△BAF例2．略【訓練與提高】1.D2.C3.1+2a5.86.BE⊥CF且BE=CF7.【拓展與延伸】1.提示：取BC中點F，連AF并延長交DC延長線于點G2.⑴提示：證△AOF≌△BOE，⑵成立，證△AOF≌△BOE1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（5）例1．略例2．略【訓練與提高】1.B2.A3.8.4、5.44.略5.平行四邊形6.略7.略【拓展與延伸】1.略2.⑴略，⑵BC∥AD且BC=AD1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（6）例1．略例2．【訓練與提高】1.C2.C3.244.125.96.(2,4)(3,4)(8,4)7.略8.略【拓展與延伸】1.矩形2.⑴8秒，⑵秒1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（7）例1．略例2．略【訓練與提高】1.D2.B3.4.555.AE=2AD6.菱形【拓展與延伸】1.⑴略，⑵直角三角形2.⑴25，⑵1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形性質和鑒定（8）例1．略例2．略【訓練與提高】1.B2.D3.D4.，1.55.46.70°7.58.略【拓展與延伸】1.⑴平行四邊形，⑵∠A=150°⑶AB=AC且∠BAC≠60°⑷AB=AC且∠A=150°2.⑴略，⑵AB=AC1.4等腰梯形性質和鑒定例1．略例2．⑴略，⑵等腰三角形【訓練與提高】1.B2.B3.3、34.305.36.367.308.略【拓展與延伸】1.⑴提示：作DG⊥AB⑵2.t=6秒，平行四邊形；t=7秒，等腰梯形1.5中位線（1）例1．略例2．提示：延長AD交BC于點F【訓練與提高】1.D2.B3.20或224.405.AB=AC6.37.提示：連AC、BD，交于點O，作OO’⊥l【拓展與延伸】1.略2.⑴略，⑵6.51.5中位線（2）例1．提示：延長AE交BC延長線于點F例2．提示：取AB中點G，連EG、FG【訓練與提高】1.A2.B3.A4.225.46.2407.AC=BD8.菱形【拓展與延伸】略第1章復習題1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.B8.D9.C10.B11.C12.D13.C14.A15.C16.2或617.18.14或16或2619.6420.125°21.2622.23.1624.325.提示：證AD=AE，ED=EF26.提示：證MQ=AC=PN27.28.129.⑴略，⑵2BC=3AB30.⑴提示：三線合一，⑵略31.⑴提示：證△ADP≌△DCG，⑵等腰三角形32.⑴C（－2，3），D（－3，0）⑵提示：證△DOE≌△BOA，33.34.⑴t=2，⑵AB=，不能35.⑴略，⑵3636.⑴4：5，⑵9：11，⑶16：19，37.提示：在AF上取AG=AD，連EG第1章自我檢測題1.C2.B3.B4.A5.D6.C7.8.略9.1210.11.9.612.7613.提示：連ME、MD14.略15.略16.BE=5，CD:DE=第2章數據離散限度極差【實踐與摸索】例1解：甲隊隊員身高極差為179–177＝2cm；乙隊隊員身高極差為180–176＝4cm．由于甲隊隊員身高變化幅度小，因此甲隊更為整潔．例2解：中位數是：2534元/m2；極差是：3515–2056＝1459元/m2．【訓練與提高】1．B2．D3．B4．B5．B6．9；7．乙8．3；39．169910．16011．(1)略；（2）＝90分；＝90分；（3）火箭隊極差為18分，湖人隊極差為30分；（4）從平均分看，兩隊平均得分相似，實力大體相稱；從折線走勢看，火箭隊比賽成績呈上升趨勢，湖人隊比賽成績呈下降趨勢；從獲勝場次看，火箭隊勝3場，湖人隊勝2場，火箭隊獲勝場數多；從極差看，火箭隊成績較穩(wěn)定．因此預測下一場比賽火箭隊更能獲得好成績．方差與原則差【實踐與摸索】例解：（1）7；7；1．2（2）兩隊成績平均數相似；乙隊眾數比甲隊大；乙隊方差比甲隊小，闡明乙隊較穩(wěn)定．因此乙隊射擊水平較甲隊高．【訓練與提高】1．B2．D3．4；24．＞；乙5．06．33．6；110；甲7．甲8．（1）略；（2）甲機床方差是0．0002；乙機床方差是0．00045；（3）甲機床加零件質量比較穩(wěn)定【拓展與延伸】1．（1）①平均數：5；方差：eq\f(20,3)②平均數：15；方差：eq\f(20,3)③平均數：50；方差：eq\f(,3)（2）＋a；S2；m；m2S2用計算器求方差與原則差【實踐與摸索】例解：甲平均數為12．6s；方差為0．64；乙平均數為12．4s；方差為1．04．因此乙成績更好些，甲成績穩(wěn)定些．【訓練與提高】1．A2．C3．C4．(1)平均數：50．50；方差：181．3；原則差：13．46；(2)平均數：7．714；方差：1．061；原則差1．030．5．(1)15；1．8；5．5；6(2)①平均數、中位數、眾數均可；②不能，由于乙隊游客年齡有兩個極端值，導致年齡方差較大，平均年齡高于大某些游客年齡．6．S甲2≈0．01，S乙2≈0．02，因此甲成績比較穩(wěn)定．第二章復習題1．A2．C3．A4．37505．76．1．57．乙8．甲＝70分；乙＝70分；S甲2＝300；S乙2＝120．甲、乙兩名同窗平均分相似，但乙方差小，比較穩(wěn)定，應讓乙參加數學競賽．9．（1）甲＝（6＋2＋7＋5）＋80＝85，乙＝（5＋1＋5＋9）＋80＝85．（2）S甲2＝[（86－85）2＋（82－85）2＋（87－85）2＋（85－85）2]＝3．5，S乙2＝[（85－85）2＋（81－85）2＋（85－85）2＋（89－85）2]＝8．（3）∵S乙2＞S甲2，∴甲組學習成績較穩(wěn)定．10．乙11．解：（1）兩段臺階相似點是：兩段臺階路高度平均數相似；不同點是：兩段臺階路高度中位數、方差和極差均不相似．（2）S甲2＝eq\f(2,3)，S乙2＝eq\f(35,3)，甲路段走起來更舒服某些，由于它臺階高度方差小．（3）每個臺階高度均為15cm，使方差為0．第3章二次根式3．1二次根式⑴【實踐與摸索】例1分析要使二次根式故意義，只要滿足被開方數不不大于等于零即可．解（1）由x–1≥0，得x≥1．（2）、（3）略．例2解（1）(2eq\r(3))2＝22×(eq\r(3))2＝4×3＝12．（2）(–3eq\r(5))2＝(–3)2×(eq\r(5))2＝9×5＝45．(3)(–eq\f(3eq\r(2),2))2＝eq\f(32×(eq\r(2))2,22)＝eq\f(9×2,4)＝eq\f(9,2)．回顧反思：2eq\r(3)表達2×eq\r(3)，但2×eq\r(3)普通寫成2eq\r(3)．例3分析由于當a≥0時，（eq\r(a))2＝a，因此當a≥0時，a＝（eq\r(a))2，即任何一種非負數都可以寫成一種數平方形式．解（1）a2–4＝a2–22＝(a＋2)(a＋2)．（2）9b2–5＝(3b)2–(eq\r(5))2＝(3b＋eq\r(5))(3b–eq\r(5))．（3）略．【訓練與提高】1．B2．B3．(1)x≤eq\f(5,2)（2）x可以取一切實數（3）x≤2（4）x＝1（5）x＝2（6）3≤x≤54．（1）eq\f(1,2)（2）45（3）eq\f(8,3)（4）a2b（5）（-eq\f(5eq\r(2),2)）2（6）155．（1）（x＋eq\r(6)）(x–eq\r(6))(2)(eq\r(3)b＋eq\r(2))(eq\r(3)b–eq\r(2))(3)(3y2＋1)(eq\r(3)y＋1)(eq\r(3)y–1)【拓展與延伸】1．22．–23．1二次根式（2）【實踐與摸索】例1（1）eq\r((－7))2＝eq∣－7∣＝7；（2）eq\r((3－π))2＝eq∣3－π∣＝π–3例2略回顧反思：式子eq\r(a)具備雙重非負性，即：（1）a≥0；（2）eq\r(a)≥0．一種式子是二次根式必要滿足兩個條件：（1）根指數是2；（2）被開方數不不大于或等于零．注意(eq\r(a))2與eq\r(a2)不同，兩者不能混淆．兩者平方運算不同樣，前者在根號外，后者在根號內；②a取值不同樣，前者a必要不不大于等于零，后者a可為任何數；③計算成果不同樣，前者計算成果為a，后者計算成果為eq∣a∣．【訓練與提高】1．D2．A3．eq\r(2)–14．–beq\r(a)5．a≤16．x≤27．（1）1（2）28．a–b9．–aeq\r(－a)–a【拓展與延伸】1．–12．2x3.4eq\r(6)+23．2二次根式乘除⑴【實踐與摸索】例1（1）解：原式＝eq\r(7×63)＝eq\r(7×7×9)＝21；（2）解：原式＝eq\r(27×eq\f(1,3))＝3．回顧反思：當a≥0，b≥0時，eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)．例2（1）解：原式＝eq\r(72)×eq\r(52)＝35；（2）解：原式＝eq\r(63×14×2)＝eq\r(32×72×22)＝eq\r(32)×eq\r(72)×eq\r(22)＝＝42．回顧反思：當a≥0，b≥0時，eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)也可以寫成eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)，運用它們可以進行二次根式化簡，在對二次根式化簡時，普通先將被開方數寫成幾種平方數與另一種數積形式．【訓練與提高】1．B2．A3．D3．(1)18(2)4a（3）15(4)5(5)4(6)ab【拓展與延伸】1．8eq\r(2)2．3．2二次根式乘除（2）【實踐與摸索】例1（1）解：原式＝eq\r(32×22×5)＝6eq\r(5)；（2）解：原式＝eq\r(32×52×2)＝15eq\r(2)；（3）解：原式＝eq\r(22×a2×b)＝2aeq\r(b)；（4）解：原式＝eq\r(x2(x2＋y2))＝xeq\r(x2＋y2)．回顧反思：化簡二次根式時，把被開方數中能開得盡方因數開方．例2（1）解：原式＝eq\r(14×7)＝eq\r(72×2)＝7eq\r(2)；(2）解：原式＝(2×3)×eq\r(50)＝30eq\r(2)；(3)、(4)略回顧反思：第（2）題先把根號外面有理數相乘，再運用一次根式乘法法則進行計算．例3（1）解：原式＝–eq\r(eq\f(3,4)×eq\f(8,3)×56)＝–eq\r(42×7)＝–4eq\r(7)；(2）解：原式＝10eq\r(2)；回顧反思：在運算中注意符號變化，有理數乘法中符號法則在實數范疇內也合用．【訓練與提高】1．2eq\r(2)；2eq\r(3)；3eq\r(2)；3eq\r(3)；4eq\r(2)．2．(1)3eq\r(6)(2)4eq\r(10)(3)20eq\r(5)(4)7(5)x2yeq\r(xy)(6)(x＋y)eq\r(x)3．(1)3eq\r(6)(2)24eq\r(10)(3)a2（4）10eq\r(2)a（5）12eq\r(10ab)（6）–4xyeq\r(3y)（7）xeq\r(y)【拓展與延伸】1．4–eq\r(5)2．±13．2二次根式乘除（3）【實踐與摸索】例1（1）解：原式＝eq\r(12)＝2eq\r(3)；（2）解：原式＝eq\r(eq\f(3,2)×6)＝3；（3）解：原式＝2eq\r(eq\f(9,2)×eq\f(4,9))＝2eq\r(2)．回顧反思：化簡二次根式時，把被開方數中能開得盡方因數開方．例2（1）解：原式＝eq\f(8,7)；(2)、(3)略．例3（1）解：原式＝eq\f(5,2)；(2）解：原式＝eq\r(eq\f(90×121,36×100))＝eq\f(11eq\r(10),20)；回顧反思：化簡二次根式時，如果被開方數是帶分數，把它化成假分數形式再開方；如果被開方數是不能直接開方小數，普通都化成分數再開方．【訓練與提高】1．C2．D3．(1)3(2)eq\f(1,2)(3)2(4)eq\f(eq\r(3)b,2a)4．(1)eq\f(2eq\r(3),7)(2)eq\f(7,3)(3)eq\r(7)(4)eq\f(b2eq\r(ab),c)5．(1)eq\r(5)(2)2eq\r(10)(3)eq\r(2)(4)eq\f(2eq\r(5),3)(5)eq\f(5eq\r(6),14)(6)–eq\f(4,3)【拓展與延伸】1．–eq\r(－y)2．–eq\r(1－a)3．2二次根式乘除（4）【實踐與摸索】例1（1）解：原式＝eq\f(2×eq\r(3)，eq\r(3)×eq\r(3))＝eq\f(2eq\r(3),3)；（2）解：原式＝eq\f(eq\r(5),2eq\r(6))＝eq\f(eq\r(5)×eq\r(6),2eq\r(6)×eq\r(6))＝eq\f(eq\r(30),12)；（3）解：原式＝eq\r(eq\f(ab4,ab2))＝eq\r(b2)＝b；(4)解：原式＝eq\f((eq\r(3)＋2),(eq\r(3)－2)(eq\r(3)＋2))＝–(eq\r(3)＋2)＝–eq\r(3)–2．回顧反思：化去根號內分母，可以用如下幾種辦法解決：（1）eq\r(eq\f(a,b))＝eq\r(eq\f(a·a,b·b))＝eq\f(eq\r(ab),b)，（2）eq\f(eq\r(a),eq\r(b))＝eq\f(eq\r(a)·eq\r(b),eq\r(b)·eq\r(b))＝eq\f(eq\r(ab),b)；（3）若分母是eq\r(a)＋b形式，那么分母、分子上同步乘eq\r(a)–b可以達到分母有理化目．例2（1）解：原式＝–eq\f(eq\r(6),6)；(2)解：原式＝–3a．回顧反思：二次根式運算成果普通規(guī)定分母中不含根號，被開方數中也不能具有分母．【訓練與提高】1．C2．C3．C4．(1)eq\f(eq\r(3),3)(2)eq\f(eq\r(3),3)(3)eq\f(eq\r(14),2)(4)eq\r(3)(5)eq\f(eq\r(2m),2)(6)eq\r(2)–15．(1)–eq\f(eq\r(5),5)(2)eq\f(10eq\r(3xy),3y)6．略【拓展與延伸】1．eq\r(14)2．（1）eq\f(3eq\r(mn),5)（2）–eq\f(ab3eq\r(ab),2)3．3二次根式加減（1）【實踐與摸索】例1略．回顧反思：在判斷兩個二次根式與否是同類二次根式時，應先將各二次根式化簡，然后看其被開方數與否相似．例2（1）解：原式＝（3eq\r(2)–2eq\r(2)）＋（eq\r(3)–3eq\r(3)）＝eq\r(2)–2eq\r(3)；(2)解：原式＝（3eq\r(a)–4eq\r(a)）＋（–2eq\r(5)–2eq\r(5)）＝–eq\r(a)–4eq\r(5)．例3（1）解：原式＝5eq\r(2)＋4eq\r(2)＝9eq\r(2)；(2)解：原式＝（3eq\r(3)＋2eq\r(3)）＋3eq\r(5)＝eq\r(3)＋3eq\r(5)；(3)解：原式＝eq\f(eq\r(2),2)–2eq\r(3)–eq\f(eq\r(2),2)＋eq\f(2eq\r(3),3)＝–eq\f(4eq\r(3),3)．回顧反思：二次根式加減實際是對同類二次根式合并，不是同類二次根式不能合并．進行二次根式加減時應先將沒有化簡二次根式化簡，然后再合并同類二次根式，且計算成果要化成最簡形式．【訓練與提高】1．D2．A3．B4．B5．略6．(1)4eq\r(5)–5eq\r(2)(2)–13eq\r(3)(3)eq\f(15eq\r(2),2)(4)eq\r(2)–eq\f(13eq\r(3),3)(5)13eq\r(2)–eq\r(13)（6）–10eq\r(3)–eq\f(9eq\r(5),5)（7）eq\f(140eq\r(3),9)(8)eq\f(eq\r(2),4)＋eq\f(13eq\r(3),3)【拓展與延伸】(1–a)eq\r(－a)3．3二次根式加減（2）【實踐與摸索】例1（1）解：原式＝eq\r(3)–6eq\r(3)＝–5eq\r(3)；(2)解：原式＝eq\r(eq\f(3,8)×6)–3eq\r(3×6)）＝eq\f(3,2)–9eq\r(2)；(3)解：原式＝2–eq\r(2)＋2eq\r(2)–2＝eq\r(2)．回顧反思：在進行二次根式混合運算時要注意運算順序．例2（1）解：原式＝eq\f((eq\r(3))2＋2eq\r(3)＋12,2)–〔(3eq\r(2))2–(2eq\r(3))2〕＝eq\f(4＋2eq\r(3),2)–（18–12）＝–4＋eq\r(3)；(2)解：原式＝〔(3eq\r(2))2–(2eq\r(3))2〕2＝36．回顧反思：．進行二次根式運算時，要先對所給式子進行觀測，有些可以直接類比整式乘法公式進行運算．【訓練與提高】1．(1)–19(2)2＋eq\r(2)(3)eq\r(3)–eq\f(18eq\r(5),5)(4)95–30eq\r(10)2．(1)5eq\r(2)(2)4（3）22–2eq\r(21)（4）2＋eq\r(3)【拓展與延伸】1．(1)–64＋36eq\r(2)(2)10–eq\f(eq\r(15),2)2．eq\f(5eq\r(3),3)第三章復習題1．C2．B3．D4．D5．C6．(1)6eq\r(2)(2)5（3）36（4）5xyeq\r(3x)（5）–17．28．(1)–24eq\r(3)(2)1（3）eq\f(a,3)（4）eq\f(2eq\r(3),3)–4eq\r(2)（5）eq\f(4,3)–15eq\r(2)（6）16eq\r(2)–4eq\r(6)9．（1）–2（2）eq\f(2－eq\r(3),2)（3）2eq\r(6)（4）110．–2eq\r(mn)11．212．（1）2eq\r(6)（2）eq\r(6)＋eq\r(5)（3）–4eq\r(2)–4eq\r(6)13．514．–215．①由8–x≥0；3x＋4≥0；x＋2≥0，得–eq\f(4,3)≤x≤8②若c為斜邊，則a2＋b2＝c2，x＝–10(舍)；若b為斜邊，則a2＋c2＝b2，x＝2；若a為斜邊，則c2＋b2＝a2，x＝eq\f(2,5)因此，x＝2或x＝eq\f(2,5)．第二章自我檢測1．D2．A3．D4．B5．A6．2；27．2；48．2；0．59．＞10．(1)84．5；83(2)甲＜乙(3)乙成績更穩(wěn)定11．(1)甲＝9．8環(huán)；乙＝9．8環(huán)（2）S甲2＝0．214；S乙2＝0．146，因此乙發(fā)揮更穩(wěn)定12．（1）70；6（2）數學13．（1）6；7；8；2．2（2）只要說得有理即可第三章自我檢測1．D2．C3．D4．C5．D6．C7．x≤3，且x≠18．（1）eq\r(2)；（2）eq\f(14,55)；（3）3eq\r(x)；（4）eq\f(8,3)eq\r(3)–1；（5）1；（6）eq\f(3,2)．9．m–n10．111．2；eq\r(17)–412．(1)2eq\r(2)；(2)3eq\r(2)；(3)eq\r(2)–2eq\r(3)；（4）8y；(5)eq\f(5,3)eq\r(6)–eq\f(3,4)eq\r(2)；（6）4；(7)4；(8)–95＋30eq\r(10)．13．eq\r(x)14．－2b15．–4eq\r(2)16．9期中自我檢測1．B2．D3．B4．D5．D6．B7．B8．D9．x≥－110．511．eq\r(2)12．105°13．1614．菱形15．500或80016．2.517．eq\r(2)－118．4019．（1）－a2beq\r(ab)；（2）－eq\f(2,9)eq\r(3)；（3）eq\f(14,3)；（4）eq\f(5,4)eq\r(2)．20．(1)矩形；(2)菱形；(3)正方形（證明略）21．（1）AAS證明；（2）連結AD，由勾股定理得AD＝4，由于DC·AD＝AC·DF，因此DF＝2.422．(1)80；80；60；80；90；（2）王成；(3)略．23．（1）由于∠A＝60°，AC＝1，因此AB＝2，BC＝eq\r(3)，設AB邊上高為h，則AB·h＝AC·BC，因此h＝eq\f(eq\r(3),2)，由平移性質可得CF∥AD，CF＝AD，因此S＝eq\f(1,2)（CF＋DB）h＝eq\f(1,2)（AD＋DB）h＝eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(eq\r(3),2)；（2）菱形，理由略．BCADEF第20題圖24．（1）1；eq\f(8,5)（2）能，①當DE∥QB時，四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC得t＝eq\f(9,8)；②當PQ∥AC時，四邊形QBED是直角梯形，由△AQP∽△ABC得t＝eq\f(15,8)．BCADEF第20題圖第四章一元二次方程參照答案4.1一元二次方程【實踐與摸索】例1依照題意，列出方程，并將其化成普通形式：圖4.1.1（1）如圖4.1.1，有一塊矩形鐵皮，長100cm，寬50cm．在它四個角分別切去一種正方形，然后將四周突出某些折起，就能制作一種無蓋方盒．如果要制作無蓋方盒底面積是3圖4.1.1那么鐵皮各角應切去多大正方形？．（2）要組織一次排球邀請賽，參賽每兩個隊之間都要比賽一場．依照場地和時間等條件，賽程籌劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應當邀請多少個隊參賽？解：（1）角度一：等量關系是底面長×寬等于底面積，設切去正方形邊長是xcm，則有方程(100－2x)(50－2x)＝3600；角度二：等量關系是底面積等于大長方形面積減去四個小正方形面積，再減去四個小長方形面積，同樣設正方形長是xcm，則有方程100×50－4x2－2x(50－2x)－2x(100－2x)＝3600；以上方程通過整頓均可得到普通形式：x2－75x＋350＝0．(2)所有比賽共28場，若設邀請x個隊參賽，每個隊要與其她(x－1)個隊各賽一場，由于甲隊對乙隊比賽和乙隊對甲隊比賽是同一場比賽，因此所有比賽共x(x－1)場，于是得到方程x(x－1)＝28，通過整頓得到方程x2－x－56＝0．例2當滿足條件時，關于方程是一元二次方程；當滿足條件時，關于方程是一元一次方程．解：當，即時，關于方程是一元二次方程；當＝2時，關于方程是一元一次方程．【訓練與提高】1．B2．D3．D4．8(1－x)2＝4.55．50＋50（1＋x）＋50(1＋x)2＝1826．方程普通形式二次項系數一次項系數常數項1023－211－61－607．－18．（1）；（2）9．；【拓展與延伸】10．4.2一元二次方程解法（1）【實踐與摸索】例1用直接開平辦法解下列方程：（1）；（2）；（3）．解：（1）原方程變形為，∴，∴，即，∴，；（2）原方程變形為，∴；（3）原方程變形為，即．∵負數沒有平方根，故使方程成立實數不存在，∴原方程沒有實數根．例2解下列方程：（1）；（2）；（3）．解：（1）方程兩邊開平方，得，即，或，∴，．（2）移項，得，方程兩邊同除以9，得，兩邊直接開平方，得，即，或，解得，．（3）方程兩邊開平方，得，即，或，解得，．【訓練與提高】1．B2．D3．C4．A5．±13；－3；1±6．3，－77．（1），；（2），；（3），；（4），8．（1），；（2），；（3），；（4），【拓展與延伸】9．（1）ac＜0；（2）an＞04.2一元二次方程解法（2）【實踐與摸索】例1解下列方程：（1）；（2）；（3）解：（1）移項，得，配方，得，∴，解這個方程，得，即，．（2）移項，得，配方，得，∴，解這個方程，得，即，．（3）配方，得，∴，解這個方程，得，即，．例2用配辦法闡明代數式值恒不不大于零．解：＝，∵≥0，∴＞0，即代數式值恒不不大于零.【訓練與提高】1．B2．D3．D4．⑴9，3；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，；⑹，5．(1)±8；（2）8，－26．，7．48．（1），；（2），；（3），；（4），；（5）；（6），【拓展與延伸】9．∵＝，∴當x＝2時，有最小值1，∴不也許為0，且無最大值，只有小華、小明是對的4.2一元二次方程解法（3）【實踐與摸索】例1解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）兩邊都除以1，得，移項，得，配方，得，，解這個方程，得，∴，．（2）兩邊都除以3，得，移項，得，，配方，得，，，解這個方程，得，∴，．（3）兩邊都除以，得，配方，得，，解這個方程，得，∴．（4）兩邊都除以，得，移項，得配方，得，＜0，∴原方程沒有實數根．例2小華把二次三項式配成形式，過程如下：解：＝．問：小華解法與否有錯誤；如有，指出錯在哪里？并給出對的解答．解：小華解法錯在把二次三項式當成一元二次方程，對的解答如下：＝．【訓練與提高】1．A2．A3．（1）；（2）；（3）1，1；（4）－12y，24．5.16．（1），；（2），；（3），；（4）7．－1，28．（1）；（2）【拓展與延伸】9．，10．1s或2s4.2一元二次方程解法（4）【實踐與摸索】例1用公式法解下列方程：（1）；（2）；（3）．解：（1）∵，，，，∴，∴，．（2）∵，，，，∴，∴．（3）將原方程化成普通形式，得，即．∵，，，＜0，∴原方程沒有實數根．例2周教師：“兩個持續(xù)偶數平方和為100，求這兩個數．”小依說：“這兩個數是6和8”；小琳說：“這兩個數是－8和－6”．你以為她們說法對的嗎？若不對的，請寫出對的成果．解：設兩個持續(xù)偶數為、，則，將原方程化成普通形式，得，解得，，∴，或，，即這兩個數是6和8或－8和－6．∴她們說法都不完整．【訓練與提高】1．C2．D3．3，－14．，；原方程無實數根5．（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6）原方程無實數根6．1，【拓展與延伸】7．108．DC＝15－5，AD＝－5＋59．k＜－14.2一元二次方程解法（5）【實踐與摸索】例1不解方程，鑒別下列方程根狀況：（1）；（2）；（3）．解：（1）∵△＝＞0，∴原方程有兩個不相等實數根．（2）原方程可變形為，∵△＝，∴原方程有兩個相等實數根．（3）原方程可變形為，∵△＝＜0，∴原方程沒有實數根．例2已知關于一元二次方程有兩個相等實數根，試求出這兩個根．解：∵關于一元二次方程有兩個相等實數根，∴，且△＝0，而△＝，由，解得，．∵，∴．把代入原方程，整頓后，得，，解這個方程，得．例3閱讀材料：若關于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)兩個實根為x1、x2，則兩根與方程系數之間有如下關系：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)依照上述材料解答：（1）設方程2x2－4x－1＝0兩個根分別為x1、x2，你能寫出x1＋x2，x1x2值嗎？（2）如果方程一種根是，你會運用一元二次方程根與系數關系求出方程另一種根和值嗎？解：（1）x1＋x2＝2，x1x2＝－eq\f(1,2)（2）設方程另一種根為，由一元二次方程根與系數關系，得，，解上述方程，得，．【訓練與提高】1．A2．C3．D4．C5．－8，沒有實數根6．±47．1，，2，8．2，－249．（1）方程沒有實數根；（2）方程有兩個不相等實數根；（3）方程有兩個相等實數根10．（1）；（2）若k是負整數，k只能為－1或－2．如果k＝－1，原方程為．解得，，．（如果k＝－2，原方程為，解得，，．）【拓展與延伸】11．（1）；（2）由得．若，即，解得．∵＞，不合題意，舍去．若，即，，由（1）知．故當時，12．（1）∵△＝≥0，∴方程有兩個實數根；（2）△ABC周長為54.2一元二次方程解法（6）【實踐與摸索】例1用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解：（1）化簡得，，，，∴或，∴，；（2），，∴或，∴，；（3），或；∴，；（4），，，∴或，∴，．（5），，，或，∴，；（6），，∴，．例2用恰當辦法解下列方程：（1）7(2x－3)2＝28；（2）y2－2y－99＝0；（3）3t2－1＝6t；（4）4x(2x－3)＝3(2x－3)；（5）9y2－6y＋1＝0；（6）(x－1)2－7(x－1)－8＝0．解：（1）用直接開平辦法解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(5,2)；（2）用配辦法或因式分解法解得y1＝－9，y2＝11；（3）用公式法解得t1，t2；（4）用因式分解法解得x1＝eq\f(3,2)，x2＝eq\f(3,4)；（5）用因式分解法解得y1＝y(tǒng)2＝eq\f(1,3)；（6）用因式分解法解得x1＝0，x2＝9.【訓練與提高】1．C2．，3．，4．，5．36．（1），；（2），；（3），；（4）；（5），；（6），7．（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），【拓展與延伸】8．59．13cm，10．0，1，－4.3用一元二次方程解決問題（1）【實踐與摸索】例1一種兩位數，個位數字比十位數字小4，且個位數字與十位數字平方和比這個兩位數小4，求這個兩位數．解：設這個兩位數十位數字為，則個位數字為（）.依照題意，得．整頓，得．解這個方程，得，（不合題意，舍去）．∴，．答：這個兩位數是84.例2如圖4.3.1，要設計一本書封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一種與整個封面長寬比例相似矩形，如果要使四周彩色邊襯所占面積是封面面積四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設計四周邊襯寬度（精準到0.1解：設上下邊襯寬均為，左右邊襯寬均為，則中央矩形長為，寬為．圖4.3.1依照題意，得．圖4.3.1整頓，得．解這個方程，得≈2.8（不合題意，舍去），≈0.2．∴，答：上下邊襯寬均為，左右邊襯寬均為．【訓練與提高】1．25或362．2，4，6或4，6，83．0.5cm4．28m5．橫路寬度約為1.8m，縱路寬度約為【拓展與延伸】6．36歲7．（1）不符合.設小路寬度均為m，依照題意得：，解這個方程得：但不符合題意，應舍去，∴.∴小芳方案不符合條件，小路寬度均為2m（2）答案不唯一.例如：4.3用一元二次方程解決問題（2）【實踐與摸索】例1某市國內生產總值（GDP）比增長了12%，由于受到國際金融危機影響，預測今年比增長7%，求這兩年GDP年平均增長率．（成果精準到1%）解：設這兩年GDP年平均增長率為．依照題意，得，解這個方程，得≈0.09，≈－2.09（不合題意，舍去）．∴0.09．答：這兩年GDP年平均增長率約為9%．例2兩年前生產1噸甲種藥物成本是5000元，生產1噸乙種藥物成本是6000元，隨著生產技術進步，當前生產1噸甲種藥物成本是3000元，生產1噸乙種藥物成本是3600元．哪種藥物成本年平均下降率較大？解：設甲種藥物成本年平均下降率為，則，解這個方程，得≈0.225，≈1.775（不合題意，舍去），∴甲種藥物成本年平均下降率為22.5%．設乙種藥物成本年平均下降率為，則，解這個方程，得≈0.225，≈1.775（不合題意，舍去），∴乙種藥物成本年平均下降率為22.5%．答：兩種藥物成本年平均下降率相等．【訓練與提高】1．40%2．10%3．41%4．30%5．第一次八折，第二次六折【拓展與延伸】6．略7．9%4.3用一元二次方程解決問題（3）【實踐與摸索】例1將一條長為20cm鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲長度為周長做成一種正方形．（1）要使這兩個正方形面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后長度分別是多少？（2）兩個正方形面積之和也許等于12cm（1）解：設剪成兩段后其中一段為，則另一段為．由題意得：．解得：，．當時，；當時，∴這段鐵絲剪成兩段后長度分別是16cm和4（2）不能．理由是：．整頓得：．∵△＝＜0．∴此方程無解．即不能剪成兩段使得面積和為12cm例2兩條公路相交成直角，有甲、乙兩輛汽車同步由兩條公路通過這個十字路口．已知甲車距十字路口40km，速度為0.8km/min，乙車距十字路口30km，速度為0.5km/min解：設后這兩輛汽車相距16km．依照題意，得，．整頓，得，．解這個方程，得，．答：通過或這兩輛汽車相距16km．【訓練與提高】1．（1）平行于墻一邊長為5m，垂直于墻一邊長為42．10m3．10尺4．20【拓展與延伸】6．（1）雞場長15m，寬10m或長20m，寬7.5m；（2）當a＜15m時，此題無解；當15m≤a＜20m時，7．(1)2s或4s；（2）7s4.3用一元二次方程解決問題（4）【實踐與摸索】例1某公司生產某種產品，每件產品成本是3元，售價是4元，年銷售量為10萬件．為了獲得更好效益，公司準備拿出一定資金做廣告．依照經驗，每年投入廣告費為（萬元）時，產品年銷售量將是原銷售量倍，且．如果把利潤看作是銷售額減去成本費和廣告費，試求當年利潤為16萬元時，廣告費為多少萬元？解：依照題意，得，．整頓，得．解這個方程，得．答：當年利潤為16萬元時，廣告費為3萬元.例2有一批圖形計算器，原售價為每臺800元，在甲、乙兩家公司銷售．甲公司用如下辦法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺每臺都為760元．依此類推，即每多買一臺則所買各臺單價均再減20元，但最低不能低于每臺440元；乙公司一律按原售價75%促銷．某單位在同一家公司購買了一定數量圖形計算器正好耗費7500元，請問是在哪家公司購買，數量是多少？解：設該單位買臺，若在甲公司購買則需要耗費元；若在乙公司購買則需要耗費元．①若該單位是在甲公司耗費7

500元購買圖形計算器，則有，解之得．當時，每臺單價為，符合題意，當時，每臺單價為，不符合題意，舍去．②若該單位是在乙公司耗費7

500元購買圖形計算器，則有，解之得，不符合題意，舍去．故該單位是在甲公司購買圖形計算器，買了15臺．【訓練與提高】1．30元2．0.2元或0.3元3．10.5萬元或15萬元4．20元【拓展與延伸】5．（1）略（2）70元6．25天第4章復習題A組1．（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），；（7），；（8），2．另一種根為，3．，，4．6.5，1.55．6．梯形上底，下底，高，圖略7．長方體長，寬，高，圖略8．69．平行于墻一邊長10，垂直于墻一邊長10．（1）5%；（2）不會11．每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦，3輪感染后，被感染電腦會超過700臺12．（1）；（2）B組13.；，14．30名15．16．（1）2或；（2）收益無差別，但修公頃占地多、投入大；（3）63000元；（4）不一定第5章中心對稱圖形（二）5.1圓（1）【實踐與摸索】例1如圖5.1.1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4（1）以B為圓心，BC長為半徑畫⊙B，點A、C及AB中點E與⊙B有如何位置關系?（2）以A為圓心，R為半徑畫⊙A，若B、C、E三點中至少有一點在圓內，至少有一點在圓外，則⊙A半徑R應滿足什么條件呢?解：（1）∵∠C＝90°∴AB2＝AC2＋BC2.∴AB＝5∵⊙B半徑BC＝3∴AB＞BC.∴點A在⊙B外.又∵BC＝3cm，∴點C在⊙圖5.1.1∵AB＝5cm，E圖5∴BE＝AB＝cm＜3cm.∴點E在⊙B內.（2）cm＜＜5cm.例2畫出由所有到已知點O距離不不大于或等于2cm并且不大于或等于3cm解：滿足條件點集合是以O為圓心，分別以2cm和3cm為半徑兩個圓構成圓環(huán)，【訓練與提高】1．A2．B3．A4．上，外，上5．點P在⊙A內6．點P在⊙O上7．（1）以點A為圓心、1.5cm為半徑圓；（2）以點B為圓心、1.5cm（3）分別以點A和B為圓心、1.5cm為半徑圓兩個公共點；（4）分別以點A和B為圓心、1.5cm為半徑圓兩個公共某些（不含邊界）8．（1）圓9．點B在⊙O外，點C在⊙O上，點M在⊙O內10．在同一種圓上【拓展與延伸】11．生活區(qū)內至少要有兩個商場，r＞120m；三個商場都在生活區(qū)內，r＞15012．A城受風暴影響時間為小時5.1圓（2）圖5.1.圖5例1如圖5.1.2，大圓弦AB交小圓于點C、D則∠AOC與∠BOD相等嗎？為什么？解：(1)∠AOC與∠BOD相等．∵OA＝OB（同圓半徑相等），∴∠A＝∠B．∵OC＝OD（同圓半徑相等），∴∠OCD＝∠ODC．又∵∠OCD＝∠A＋∠AOC，∠ODC＝∠B＋∠BOD，∴∠AOC＝∠BOD.如圖5.1.3，AB是⊙O直徑，點C在⊙O上，CD⊥AB，垂足為D，且AD＝1，CD＝3，求直徑AB長．解：連接OC．設⊙O半徑為R，則OC＝R，OD＝R－1，在Rt△ODC中，由勾股定理得，OD2＋CD2＝OC2，∴（R－1）2＋32＝R2，圖5.1.3∴圖5∴直徑AB長為10.【訓練與提高】1．C2．C3．AB，AB、CD、EF，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EA))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EB))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EC))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ED))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(EF))，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABC))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABD))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABE))、eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(ABF))4．②④⑤5．66．60o7．（16，0）8．50o9．（1）略；（2）矩形【拓展與延伸】10．B11．26o5.2圓對稱性（1）【實踐與摸索】例1如圖5.2.1，在⊙O中，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))，∠ACB＝60°，則∠AOB＝∠BOC＝∠AOC嗎？為什么？解：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．∵eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))，∴AB＝AC（在同圓中，相等弧所對弦相等），圖5.2.1圖5又∵∠ACB＝60°．∴△ABC是等邊三角形，AB＝BC＝CA．∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC（在同圓中，相等弦所對圓心角相等）．例2如圖5.2.2，在△ABC中，∠C＝90o，∠B＝28o，以C為圓心，以CA長為半徑圓交AB于點D，交BC于點E，求eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))，eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE))度數．解：連接CD．∵∠C＝90o，∠B＝28o，∴∠A＝90o－28o＝62o．圖5.2.2∵CA＝CD，∴∠CDA＝∠圖5∴∠ACD＝56o，即eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AD))度數為56o（圓心角度數等于與它所對弧度數相等）．∴∠DCE＝34o，即eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE))度數為34o（圓心角度數等于與它所對弧度數相等）．【訓練與提高】1．（1）eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))，∠AOB＝∠COD；（2）AB＝CD，∠AOB＝∠COD；（3）eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))，AB＝CD2．①②③，①③，圖略3．30o4．75o5．AD與BC相等6．四邊形OABC是菱形【拓展與延伸】7．相等．提示：分別連接OC、OD8．不批準小林說法．eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))＝2eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))，但AB＜2CD5.2圓對稱性（2）【實踐與摸索】例1你懂得趙州橋嗎？它是1300近年前國內隋代建造石拱橋，是國內古代人民勤快與智慧結晶．它主橋拱是圓弧形，它跨度（弧所對弦長）為37.4m，拱高（弧中點到弦距離）為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱半徑嗎？（精準到解：如圖5.2.3，用eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))表達主橋拱，設eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))所在圓圓心為O，半徑為R．通過圓心O作弦AB垂線OC，D為垂足，OC與eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))相交于點C，圖5.2.3則D是AB中點，C是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AB))中點，CD就是拱高圖5（垂直于弦直徑平分這條弦，并且平分弦所對?。逜B＝37.4，CD＝7.2，∴AD＝AB＝×37.4＝18.7，∴OD＝OC－CD＝R－7.2.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即R2＝18.72＋（R－7.2）2.解得R≈27.9因而，趙州橋主橋拱半徑約為27.9m例2如圖5.2.4，AB、CD都是⊙O弦，且AB∥CD．eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))與eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))相等嗎？為什么？解：eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))．過點O作OE⊥AB，∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AE))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BE))（垂直于弦直徑平分弦所對?。帧逜B∥CD，∴OE⊥CD，∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CE))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE))（垂直于弦直徑平分弦所對弧）．圖5.2.4∴eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AE))－eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CE))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BE))－eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DE)).圖5即eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(AC))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))【訓練與提高】1．B2．C3．提示：（1）連接OA，過點A作弦MN⊥OA；（2）弦MN長最短4．（1）BE＝CE；eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(BD))＝eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(CD))；AC∥OD等（2）R＝55．545m6．四邊形ADOE是正方形7．3cm或21【拓展與延伸】9．20圖5.2.510．如圖5.2.5，設⊙O圖5由垂徑定理可知，AD＝DB＝3.6，在Rt△ODB中，由勾股定理，得OD2＋DB2＝OB2，即（R－2.4）2＋3.62＝R2，解得R＝3.9.∴OD＝OC－CD＝3.9－2.4＝1.5.在Rt△OHF中，由勾股定理，得OH2＋HF2＝OF2，即（DH＋1.5）2＋1.52＝3.92，解得DH＝2.1.∵2.1＞2∴這艘船能順利通過這座拱橋．5.3圓周角（1）【實踐與摸索】如圖5.3.1，⊙O兩條弦AB、CD相交于點P，（1）試闡明：PA·PB＝PC·PD．（2）若PD＝2PB，PC＝2cm，求PA長解：（1）連接AC、BD，則∠A＝∠D（同弧所對圓周角相等）．圖5.3.1又∠APC＝圖5∴△APC∽△DPB.∴.∴PA·PB＝PC·PD.（2）把PD＝2PB，PC＝2cm代入（1）式，得PA·PB＝2·2PB，∴PA＝4例2如圖5.3.2，△ABC是等邊三角形，⊙O過點B，C，且與BA、CA延長線分別交于點D，E．弦DF∥AC，EF延長線交BC延長線于點G．（1）判斷△BEF形狀，并闡明理由；（2）若BA＝4，CG＝2，求BF長．圖5.3.2解：（1）△圖5∵是等邊三角形，∴，∵DF∥AC，∴∴（同弧所對圓周角相等）．又∵（同弧所對圓周角相等），∴是等邊三角形．（2）∵，∴，又，∴∽．∴，又＝，，∴·＝24，可得【訓練與提高】1．C2．1403．28o4．80o5．42o6．略7．（1）60o；（2）60o或120o【拓展與延伸】8.75o9．（1）22.5°，67.5°；（2）∠B1＝15°，∠B2＝45°，∠B3＝75°；（3）5.3圓周角（2）【實踐與摸索】例1如圖5.3.3，已知AB為⊙O直徑，C為⊙O外一點，BC交于E，AC交于D，∠DOE＝60°.求∠C度數.解：連接DB.∵AB為⊙O直徑，圖5.3.3∴∠圖5∴∠BDC＝90°.∵∠DOE＝60°，∴∠DBC＝30°(同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角一半).∴∠C＝180°－∠BDC－∠DBC＝180°－90°－30°＝60°.例2如圖5.3.4，已知AB是⊙O直徑，點C是⊙O上一點，連接BC，AC，過點C作直線CD⊥AB于點D，點E是AB上一點，直線CE交⊙O于點F，連接BF，與直線CD交于點G．試闡明：BC2＝BG·BF解：∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°（直徑所對圓周角是直角）．又CD⊥AB于D，∴∠BCD＝∠A．又∠A＝∠F（同弧所對圓周角相等），∴∠F＝∠BCD＝∠BCG．在△BCG和△BFC中，圖5圖5∴△BCG∽△BFC，∴，即．【訓練與提高】1．552．33．704．B5．BC＝8cm，AD＝BD＝cm6．提示：連接BE7．略8．A（－，0），C（－，）【拓展與延伸】9．10．（1）相等．提示：連接BC；（2）提示：連接CF5.4擬定圓條件【實踐與摸索】例1如圖5.4.1，有一破殘輪片，現(xiàn)要制作一種與原輪片同樣大小圓形零件，請你能依照本課關于知識設計一種擬定零件半徑方案，并闡明理由．圖5.4.1解：在殘片弧上任取三點A、B、C，圖5CB，分別作AC、BC中垂線交于點O．則OA長即為所求半徑．ACDOBI例2如圖5.4.2，圓是外接圓，與平分線相交于點，延長交圓于點，連接．ACDOBI（1）試闡明：．（2）若⊙O半徑為10cm，，求面積．解：（1）平分，．平分，，圖5.圖5又，為等腰三角形．．（2）當時，為鈍角三角形，圓心在外，連接．，，為正三角形．又知，【訓練與提高】1．B2．D3．⊙O，△ABD，△ABD，直角4．cm5.6．27．（1）10cm；（2）cm28．（1）提示：作△ABC外接圓即可；（2）25平方米9．提示：(1)有2個；(2)存在最小圓，其圓心是AB中點，半徑為2.5【拓展與延伸】10．或11．(1)正方形、矩形、等腰梯形等；(2)∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°；(3)對角互補5.5直線與圓位置關系（1）【實踐與摸索】例1如圖5.5.1，已知Rt△ABC斜邊AB＝6cm，直角邊AC＝3cm．問：圓心為C，半徑分別為2cm、4cm兩個圓與直線AB有如何位置關系？半徑r多長時，直線AB與⊙C相切？若⊙C與邊圖5.5.1解：過點C作CD⊥AB圖5∵斜邊AB＝6cm，直角邊AC＝3cm，∴BC＝cm，CD＝cm．因而，圓心為C，半徑分別為2cm、4cm兩個圓與直線相交；而半徑r＝cm時，直線AB與⊙C相切；若⊙C與邊AB相交，則圓半徑r應滿足cm＜r＜cm．ABFEPC例2如圖5.5.2，A、B兩都市相距100km.現(xiàn)籌劃在這兩座都市間修筑一條高速公路（即線段AB），經測量，森林保護中心P在A都市北偏東30°和ABFEPC解：過點作，是垂足，則，，AC＝PC·tan30o，BC＝PC·tan45o，，∴PC·tan30o＋PC·tan45o＝100圖5.圖5，由于森林保護區(qū)中心與直線距離不不大于保護區(qū)半徑，因此籌劃修筑這條高速公路不會穿越保護區(qū)．【訓練與提高】1．B2．C3．A4．相交，5，相離5．（1）相交，1；（2）4.86．相切7．直線和圓分別相交、相切、相離，分別有2、1、0個公共點8．59．（1）不不大于30o；（2）等于30o；（3）不大于30o【拓展與延伸】10．答案不唯一．可供參照有：相離：相切：相交：其他：11．(1)向右平移2個單位，此時⊙A與x軸相交、點O在⊙A外，或⊙A向左平移4個單位，此時⊙A與x軸相交、點O在⊙A外；(2)⊙A向上平移1個單位，此時⊙A與y軸相交、點O在⊙A外，或⊙A向下平移5個單位，此時⊙A與y軸相交、點O在⊙A外；(3)(3，3)，(－3，3)，(－3，－3)，(3，－3)；(4)點A在以點O為圓心，3為半徑圓上5.5直線與圓位置關系（2）【實踐與摸索】例1如圖5.5.3，OA、OB是⊙O中互相垂直兩條半徑，M是OB上任一點，連接AM并延長交⊙O于C，過C作直線交MB延長線于D，如果滿足條件DM＝DC，那么直線CD是⊙O切線嗎？請闡明理由．解：直線CD是⊙O切線.連接OC.∵OA＝OC，∠ACO＝∠A．∵OA⊥OB，∴∠A＋∠AMO＝90°.圖5.5.3∵DM＝DC，∴∠DCM＝圖5∵∠AMO＝∠DMC，∴∠AMO＝∠DCM.∴∠ACO＋∠DCM＝90°.即∠DCO＝90°.∴直線CD是⊙O切線(通過半徑外端且垂直于這條半徑直線是圓切線).例2如圖5.5.4，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝12，BC＝9，D是AB上一點，以BD為直徑⊙O切AC于E，求AD長．解：連接OE，由題意得，OE⊥AC（圓切線垂直于通過切點半徑）．∵∠C＝90o，AC＝12，BC＝9，∴AB＝15.由△AOE∽△ABC，得．圖5.5.4設⊙O半徑為R，則，解得R＝圖5∴AD＝AB－2R＝．【訓練與提高】1．①②⑤2．36o3．（－1，－2）4．AC是⊙O切線5．直線BD和⊙O相切6．(1)5；(2)27．AE平分∠FAB，提示：連接OE8．（1）30o；（2）40o；（3）α；（4）圓切線與弦所成角等于它所夾弧所對圓周角【拓展與延伸】9．解：如圖，（1）AE與⊙O相切．理由：連接OC．∵CD∥OA∴，．又∵ODOC，∴．∴．在△AOC和△AOB中，OA＝OA，，OB＝OC，∴△AOC≌△AOB，∴．∵AB與⊙O相切，∴＝90°．∴AE與⊙O相切．（2）①選取a、b、c，或其中2個②解答舉例：若選取a、b、c；辦法一：由CD∥OA，，得．辦法二：在Rt△ABE中，由勾股定理，得．辦法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，，得．若選取a、b；辦法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：，得；辦法二：連接BC，由△DCE∽△CBE，得．若選取a、c；需綜合運用以上各種辦法，得．10．(1)∠P＋2∠A＝90°.提示：連接OC；(2)PB＝⊙O半徑；(3)不能.若∠A＝45°，則過點C切線與AB平行；(4)過點C切線與直線AB交點P在線段AB反向延長線上5.5直線與圓位置關系（3）【實踐與摸索】例1如圖5.5.5，⊙I切△ABC邊分別于點D，E，F(xiàn)，∠B＝70°，∠C＝60°，M是eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(DEF))上動點（與D，F(xiàn)不重疊），∠DMF大小一定嗎？若一定，求出∠DMF大?。蝗舨灰欢?，請闡明理由．解：∠DMF大小一定．連接ID、IF．由題意得，ID⊥AB，IF⊥AC．圖5.5.5由四邊形內角和知，∠A＋∠DIF＝圖5在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝60°，得∠A＝50o．因此，∠DIF＝180o－∠A＝130o．因而，∠DMF＝∠DIF＝65o（同弧所對圓周角等于圓心角一半）．例2如圖5.5.6，在Rt△ABC中，∠C＝90o，AB＝5，，求△ABC內切圓半徑r．解：設切點分別為D、E、F，分別連接OD、OE、OF、OA、OB、OC．則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．∴由題意得，，，解得AC＋BC＝7圖5.5.6圖5因此r＝1.【訓練與提高】1．C2．B3．C4．A5．C6．∠AOB＝120o，∠DEF＝60o7．8．提示：畫三角形內切圓【拓展與延伸】9．△DEF是銳角三角形10．（1）r＝eq\f(2s,L)；（2）；（3）5.5直線與圓位置關系（4）【實踐與摸索】如圖5.5.7，過半徑為6cm⊙O外一點切線PA、PB，連接PO交⊙O于F，過F作⊙O切線交PA、PB分別于D、E，如果PO＝10cm，∠APB＝40o（1）求△PED周長；圖5.5.7（2）求∠圖5解：（1）連接OA、OB，則OA⊥PA，OB⊥PB．∴.∵PA、PB、DE均為⊙O切線，∴PA＝PB，DA＝DF，F(xiàn)E＝BE（從圓外一點引圓兩條切線，它們切線長相等）．∴△PED周長＝PE＋EF＋FD＋PD＝PA＋PB＝2PA＝16cm（2）∵PA、PB、DE均為⊙O切線，∴∠AOD＝∠DOF，∠EOF＝∠EOB（從圓外一點引圓兩條切線，這點和圓心連線平分兩條切線夾角）∴∠DOE＝∠AOB＝（180o－∠APB）＝（180o－40o）＝70o.例2如圖5.5.8，△ABC內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF、BD解：設AF＝x，則AE＝x，圖5.5.8CD＝CE＝AC－AE＝13圖5BD＝BF＝AB－AF＝9－x（從圓外一點引圓兩條切線，它們切線長相等）．由BD＋CD＝BC可得(13－x)＋(9－x)＝14，解得x＝4.因而，AF＝4cm，BD＝5cm，CE＝【訓練與提高】1．502．23．704．（1）60°；（2）5．提示：連接AB6．(1)3a；(2)7．(1)四邊形OECF是正方形；(2)AC＝8，⊙O半徑為2【拓展與延伸】8．AB＋CD＝AD＋BC，圓外切四邊形兩組對邊之和相等9．（1）；（2）∠ACB＝60°；（3）5.6圓與圓位置關系【實踐與摸索】例1已知兩圓圓心距O1O2＝4，兩圓半徑R、r（R≥r）分別是方程x2－5x＋6＝0兩根，試判斷這兩圓位置關系.解：∵方程x2－5x＋6＝0兩根為2和3，∴R＋r＝5，R－r＝1.∵圓心距O1O2＝4cm，∴R－r＜O1O2＜R＋r∴兩圓相交.例2⊙O半徑為2cm，P為⊙O外一點，OP＝3cm，以P為圓心畫⊙P與⊙O相切，試擬定⊙P解：設⊙P與⊙O外切于點A，則PA＝OP－OA＝1cm設⊙P與⊙O內切于點B，則PB＝OP＋OB＝5cm.【訓練與提高】1．C2．D3．A4．(1)相交；(2)內含；(3)內切；(4)外切；(5)外離；(6)相交；(7)內含5．－2＜a＜26．(1)5cm，以O為圓心，5cm為半徑圓上；(2)3cm，以O為圓心7．1.5cm，2.5cm，3.5cm8．3cm＜O1【拓展與延伸】9．（1）當0≤t≤5.5時，函數表達式為d＝11－2t；當t＞5.5時，函數表達式為d＝2t－11．（2）兩圓相切可分為如下四種狀況：①當兩圓第一次外切，由題意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；②當兩圓第一次內切，由題意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；③當兩圓第二次內切，由題意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；④當兩圓第二次外切，由題意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13．因此，點A出發(fā)后3秒、秒、11秒、13秒兩圓相切．10．6個，提示：1o⊙O與⊙O1、⊙O2都外切