C3-4導熱微分方程及其定界條件-穩(wěn)態(tài)導熱省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

2-2導熱微分方程式及定解條件作用：導熱微分方程式及定解條件是對導熱體數(shù)學描述，是理論求解導熱體溫度分布基礎。熱力學第一定律+傅里葉定律理論：導熱微分方程式建立基礎是：方法：對導熱體內任意一個微小單元進行分析，依據(jù)能量守恒關系，建立該處溫度與其它變量之間關系式。第1頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer一、導熱微分方程推導1.物理問題描述三維非穩(wěn)態(tài)導熱體，且物體內有內熱源（導熱以外其它形式熱量，如化學反應能、電能等）。2.假設條件(1)所研究物體是各向同性連續(xù)介質；(2)熱導率、比熱容和密度均為已知；(3)內熱源均勻分布，強度為[W/m3]；(4)導熱體與外界沒有功交換。第2頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer3.建立坐標系，取分析對象（微元體）在直角坐標系中進行分析。xyzdxdydz第3頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer因為是非穩(wěn)態(tài)導熱，微元體溫度隨時間改變，所以存在內能改變；從各個界面上有導入和導出微元體熱量；內熱源產生熱量。導入與導出凈熱量+內熱源發(fā)燒量=熱力學能增加（1）微元體熱力學能（內能）增量4.能量改變分析:第4頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer（2）導入與導出微元體熱量利用導熱基本定律可寫出各個表面上導入和導出微元體熱量。沿x軸方向、經x表面導入熱量：沿x軸方向、經x+dx表面導出熱量：xyz第5頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer沿x

軸方向導入與導出微元體凈熱量沿y軸方向導入與導出微元體凈熱量沿z

軸方向導入與導出微元體凈熱量同理可得：第6頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer導入與導出凈熱量:（3）微元體內熱源生成熱量5.導熱微分方程基本形式非穩(wěn)態(tài)項三個坐標方向凈導入熱量內熱源項第7頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer1.若導熱系數(shù)也為常數(shù)2.若物性參數(shù)為常數(shù)且無內熱源：二、一些詳細情況下簡化為材料擴散系數(shù)，單位：m2/s第8頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer3.若物性參數(shù)為常數(shù)、無內熱源穩(wěn)態(tài)導熱：4.一維穩(wěn)態(tài)含內熱源導熱：5.一維穩(wěn)態(tài)無內熱源導熱：第9頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer1.圓柱坐標系（r,,z）三、其它坐標系中導熱微分方程式第10頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer2.球坐標系（r,，）第11頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer四、導熱過程定解條件

導熱微分方程式理論基礎：傅里葉定律+能量守恒。描寫物體溫度隨時間和空間改變關系；沒有包括詳細、特定導熱過程。是通用表示式。定解條件：使得微分方程取得某一特定問題解附加條件。對于非穩(wěn)態(tài)導熱問題，需要描述初始時刻溫度分布初始條件，以及給出物體邊界上溫度或換熱邊界條件。穩(wěn)態(tài)導熱問題僅有邊界條件。導熱問題完整數(shù)學描述：導熱微分方程+定解條件第12頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer導熱問題常見邊界條件有三類：1.第一類邊界條件:指定邊界上溫度分布。0δxtw2tw1例：右圖中最簡單：tw=常數(shù)（穩(wěn)態(tài)導熱）非穩(wěn)態(tài)導熱：τ〉0，tw=f1（τ）第13頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer2.第二類邊界條件:給定邊界上熱流密度。0δxqw例：右圖中最簡單：qw=常數(shù)（穩(wěn)態(tài)導熱）非穩(wěn)態(tài)導熱：τ〉0，qw==f2（τ）第14頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer3.第三類邊界條件:給定邊界面與流體間換熱系數(shù)和流體溫度，也稱為對流換熱邊界。0δxhqwtf傅里葉定律：牛頓冷卻定律：例：右圖中第15頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer其它邊界條件——處理復雜實際工程問題（1）輻射邊界條件：導熱物體表面與溫度為Tc外界環(huán)境只發(fā)生輻射換熱。（2）界面連續(xù)條件:發(fā)生在不均勻材料中導熱問題，材料接觸良好，則滿足界面一和界面二上溫度和熱流密度連續(xù)條件。第16頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer課下作業(yè)：列出以下問題數(shù)學描述：1.一塊厚度為d

平板，兩側溫度分別為tw1和tw2。（1）導熱系數(shù)為常數(shù)；（2）導熱系數(shù)是溫度函數(shù)。2.一塊厚度為d

平板，平板內有均勻內熱源，熱源強度為，平板一側溫度為tw1，平板另一側絕熱。3.一塊厚度為d

平板，平板內有均勻內熱源，熱源強度為，平板一側絕熱，平板另一側與溫度為tf

流體對流換熱，且表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。第17頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer4.已知一單層圓筒壁內、外半徑分別為r1、r2，導熱系數(shù)

為常量，無內熱源，內、外壁面維持均勻恒定溫度tw1，tw2。rtw2r1r2tw1第18頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer2-3一維穩(wěn)態(tài)導熱穩(wěn)態(tài)導熱經過平壁導熱,直角坐標系中一維問題。經過圓筒壁導熱,圓柱坐標系中一維問題。經過球殼導熱,球坐標系中一維問題。溫度不隨時間而改變。第19頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer一、經過平壁導熱平壁長度和寬度都遠大于其厚度，且平板兩側保持均勻邊界條件，則該問題就能夠歸納為直角坐標系中一維導熱問題。0δxδ本章只討論穩(wěn)態(tài)情況，平壁兩側邊界條件有給定溫度、給定熱流及對流邊界等情況，另外還有平壁材料導熱系數(shù)是否是常數(shù)，是否有內熱源存在等區(qū)分。下面分別介紹。第20頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer1.無內熱源，λ為常數(shù)，兩側均為第一類邊界數(shù)學描述:對微分方程直接積分兩次，得微分方程通解0δxt2t1第21頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer利用兩個邊界條件將兩個積分常數(shù)代入原通解，可得平壁內溫度分布以下t2t10δxt線性分布第22頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer利用傅立葉導熱定律可得經過平壁熱流量第23頁高鵬.5傳熱學HeatTransferλ0、b為常數(shù)2.無內熱源，變導熱系數(shù)，兩側均為第一類邊界數(shù)學描述:t2t10δxt若導熱系數(shù)隨溫度線性改變第24頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer則導熱微分方程變?yōu)閷積分一次得對x再次積分得微分方程通解利用邊界條件最終得溫度分布為拋物線形式第25頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer其拋物線凹向取決于系數(shù)b正負。當b>0，λ=λ0(1+bt)，伴隨t增大，λ增大，即高溫區(qū)導熱系數(shù)大于低溫區(qū)。所以高溫區(qū)溫度梯度dt/dx較小，而形成上凸溫度分布。當b<0，情況相反。t2t10δxtb>0b<0第26頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer熱流密度計算式為:或式中從中不難看出，λm為平壁兩表面溫度下導熱系數(shù)值算術平均值，亦為平壁兩表面溫度算術平均值下導熱系數(shù)值。t2t10δxt第27頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer多層平壁：由幾層導熱系數(shù)不一樣材料組成復合平壁。3.經過多層平壁導熱，兩側均為第一類邊界對于類似這么問題，可采取熱阻概念進行分析。在穩(wěn)態(tài)、無內熱源情況下，經過各層熱流量相等。熱流量也等于總溫差比上總熱阻。0xtδ1δ2l1l2t3t1t2第28頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer二、經過圓筒壁導熱圓筒壁就是圓管壁面。當管子壁面相對于管長而言非常小，且管子內外壁面又保持均勻溫度時，經過管壁導熱就是圓柱坐標系上一維導熱問題。rr2r1

r1

r

r2第29頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer1、經過單層圓筒壁導熱(無內熱源，λ為常數(shù)，兩側均為第一類邊界)數(shù)學描述:積分上面微分方程兩次得到其通解為:

t1

r1

t2

r

r2

第30頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer利用兩個邊界條件將兩個積分常數(shù)代入原通解，可得圓筒壁內溫度分布以下溫度分布是一條對數(shù)曲線

t1

r1

t2

r

r2第31頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer經過圓筒壁熱流量式中為經過圓筒壁導熱熱阻第32頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer2.經過多層圓筒壁導熱采取熱阻概念進行分析。在穩(wěn)態(tài)、無內熱源情況下，經過各層熱流量相等。第33頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer三、經過球殼導熱內、外半徑分別為r1、r2，球殼材料導熱系數(shù)為常數(shù)，無內熱源，球殼內、外側壁面分別維持均勻恒定溫度t1、t2。數(shù)學描述:第34頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer溫度分布:熱流量:(2-24)第35頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer2-4經過肋片導熱第36頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer2-4經過肋片導熱肋片它是指那些從基礎表面上伸展出來固體表面。肋主要作用是經過提升面積來提升傳熱量。第37頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer第38頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer一、肋片分類第39頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer二、主要問題（1）經過肋片散熱熱流量；（2）肋片上溫度分布。第40頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer三、經過等截面直肋導熱分析和計算h，t∞第41頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer若肋片長度方向溫度不均能夠忽略話，肋片中溫度分布應是二維。不過，假如肋片很薄，導熱系數(shù)很大，肋片厚度方向溫差近似能夠忽略，則，肋片中溫度常僅是高度x函數(shù)。Hδx0dx將肋片表面散熱量虛擬為肋片中內熱源（吸熱）來進行處理，所以，該問題最終可簡化為一維、穩(wěn)態(tài)、含有內熱源導熱問題。h，t∞第42頁高鵬.5傳熱學HeatTransferHδx0dx導熱微分方程內熱源強度確實定：設橫截面積為Ac，界面周長為P。對dx微元段進行分析。h，t∞第43頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer為了數(shù)學求解方便，令導熱微分方程對應變成該導熱微分方程通解為第44頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer第一個邊界條件是在x=H邊界處，有三種情況Hδx0dxh，t∞H0t0t∞xt0Ht0t∞xtH0t0t∞xt第45頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer采取第二種情況，頂端絕熱用兩個邊界條件，能夠得到兩個未知常數(shù)C1和C2,最終，肋片中溫度分布可表示為第46頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer由肋片散失全部熱流量都必須經過肋根部，在此處應用傅立葉定律，可得h，t∞x0此時，肋片頂端溫度可表示為第47頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer肋片效率：肋片實際散熱量

與假定整個肋片表面都處于肋基溫度t0時理想散熱量

0比值。四、肋片效率Ht0t∞x0對于等截面直肋片其肋效率可表示為第48頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer肋片散熱量工程計算方法：（2）計算出理想情況下散熱量

0=hA(t0-t

)（1）由圖線或計算公式得到

f（3）由式=f

0

計算出實際散熱量

第49頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer例題2-5第50頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer五、肋片優(yōu)化1、最優(yōu)肋片型式tHt0t∞x0假定表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h保持常數(shù)，對流散熱熱流密度q將沿肋高逐步下降，所以，肋基處材料利用率顯著高于靠近肋端部分，最正確肋片型式就是希望單位重量肋片材料發(fā)揮相同作用，或者說在給定散熱量下，使肋材料消耗量最小。第51頁高鵬.5傳熱學HeatTransfer理論研究表明肋片外形是圓弧